Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Pergunta disparadora

Como podemos calcular alturas e distâncias desconhecidas usando apenas um ângulo e um lado de um triângulo retângulo?

Objetivos da aula

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

reconhecer cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa em relação a um ângulo agudo de um triângulo retângulo;
compreender e aplicar as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente;
resolver problemas envolvendo alturas, distâncias, inclinações e medidas indiretas em triângulos retângulos.

Desenvolvimento

Na unidade anterior, estudamos geometria plana, triângulos, semelhança, Teorema de Pitágoras e relações métricas no triângulo retângulo.

Agora vamos avançar para a Trigonometria.

A palavra trigonometria está ligada à ideia de “medida dos triângulos”. Nesta primeira aula, vamos estudar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Essas razões permitem relacionar ângulos e lados de triângulos retângulos.

Com elas, podemos resolver problemas como:

calcular a altura de um prédio;
medir a largura de um rio sem atravessá-lo;
calcular o comprimento de uma rampa;
determinar a inclinação de uma escada;
analisar deslocamentos;
resolver problemas de física, engenharia, arquitetura e navegação.

A ideia central é que, em triângulos retângulos semelhantes, certas razões entre lados permanecem constantes quando o ângulo é o mesmo.

Essas razões recebem nomes especiais:

seno;
cosseno;
tangente.

1. Retomando o triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto.

Ou seja, um de seus ângulos mede:

\[ 90^\circ \]

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.

Os outros dois lados são chamados de catetos.

A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo.

Se os catetos medem \(a\) e \(b\), e a hipotenusa mede \(c\), então vale o Teorema de Pitágoras:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Nesta aula, porém, além dos lados, vamos observar também os ângulos agudos do triângulo.

2. Os ângulos agudos do triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo, um ângulo mede:

\[ 90^\circ \]

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é:

\[ 180^\circ \]

os outros dois ângulos somam:

\[ 90^\circ \]

Portanto, os outros dois ângulos são agudos.

Por exemplo, um triângulo retângulo pode ter ângulos:

\[ 30^\circ, \quad 60^\circ, \quad 90^\circ \]

ou:

\[ 45^\circ, \quad 45^\circ, \quad 90^\circ \]

ou ainda:

\[ 20^\circ, \quad 70^\circ, \quad 90^\circ \]

As razões trigonométricas serão definidas em relação a um dos ângulos agudos.

3. Cateto oposto e cateto adjacente

Para trabalhar com trigonometria, precisamos escolher um ângulo agudo do triângulo retângulo.

Em relação a esse ângulo, os catetos recebem nomes especiais:

cateto oposto;
cateto adjacente.

O cateto oposto é o cateto que fica em frente ao ângulo escolhido.

O cateto adjacente é o cateto que fica ao lado do ângulo escolhido, formando o ângulo junto com a hipotenusa.

A hipotenusa continua sendo o lado oposto ao ângulo reto.

4. Exemplo de identificação dos lados

Considere um triângulo retângulo \(ABC\), com ângulo reto em \(C\).

Nesse caso, a hipotenusa é o lado:

\[ AB \]

Agora, observe o ângulo \(\widehat{A}\).

Em relação ao ângulo \(\widehat{A}\):

o cateto oposto é \(BC\);
o cateto adjacente é \(AC\);
a hipotenusa é \(AB\).

Agora observe o ângulo \(\widehat{B}\).

Em relação ao ângulo \(\widehat{B}\):

o cateto oposto é \(AC\);
o cateto adjacente é \(BC\);
a hipotenusa é \(AB\).

Portanto, o cateto oposto e o cateto adjacente dependem do ângulo escolhido.

A hipotenusa não muda.

5. Por que aparecem razões?

Em triângulos retângulos semelhantes, os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais.

Isso significa que, se fixarmos um ângulo agudo, as razões entre certos lados permanecem constantes.

Por exemplo, todos os triângulos retângulos que possuem um ângulo de \(30^\circ\) são semelhantes entre si.

Assim, a razão entre o cateto oposto a \(30^\circ\) e a hipotenusa será sempre a mesma.

Essa razão recebe o nome de seno.

De modo parecido, surgem o cosseno e a tangente.

6. Seno de um ângulo agudo

O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

Se o ângulo é \(\theta\), escrevemos:

\[ \sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Em muitos materiais, também aparece a notação:

\[ \sin(\theta) \]

Nesta aula, usaremos principalmente \(\sin(\theta)\).

Exemplo

Em um triângulo retângulo, em relação ao ângulo \(\theta\):

o cateto oposto mede \(3\);
a hipotenusa mede \(5\).

Então:

\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]

Logo:

\[ \sin(\theta) = 0{,}6 \]

7. Cosseno de um ângulo agudo

O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

Se o ângulo é \(\theta\), escrevemos:

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

Exemplo

Em um triângulo retângulo, em relação ao ângulo \(\theta\):

o cateto adjacente mede \(4\);
a hipotenusa mede \(5\).

Então:

\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]

Logo:

\[ \cos(\theta) = 0{,}8 \]

8. Tangente de um ângulo agudo

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Se o ângulo é \(\theta\), escrevemos:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Também é comum aparecer:

\[ \tg(\theta) \]

Nesta aula, usaremos principalmente \(\tan(\theta)\).

Exemplo

Em um triângulo retângulo, em relação ao ângulo \(\theta\):

o cateto oposto mede \(3\);
o cateto adjacente mede \(4\).

Então:

\[ \tan(\theta) = \frac{3}{4} \]

Logo:

\[ \tan(\theta) = 0{,}75 \]

9. Resumo das razões trigonométricas

As três razões trigonométricas principais no triângulo retângulo são:

\[ \sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Uma forma de lembrar é:

seno usa oposto sobre hipotenusa;
cosseno usa adjacente sobre hipotenusa;
tangente usa oposto sobre adjacente.

O mais importante, porém, é entender a figura e identificar corretamente os lados em relação ao ângulo escolhido.

10. Exemplo completo com triângulo \(3\), \(4\), \(5\)

Considere um triângulo retângulo com catetos medindo \(3\) e \(4\), e hipotenusa medindo \(5\).

Escolha o ângulo \(\theta\) oposto ao cateto de medida \(3\).

Então, em relação a \(\theta\):

cateto oposto: \(3\);
cateto adjacente: \(4\);
hipotenusa: \(5\).

Assim:

\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{3}{4} \]

Em forma decimal:

\[ \sin(\theta) = 0{,}6 \]

\[ \cos(\theta) = 0{,}8 \]

\[ \tan(\theta) = 0{,}75 \]

11. O mesmo triângulo, outro ângulo

Agora, no mesmo triângulo \(3\), \(4\), \(5\), escolha o outro ângulo agudo, que chamaremos de \(\alpha\).

Esse ângulo é oposto ao cateto de medida \(4\).

Então, em relação a \(\alpha\):

cateto oposto: \(4\);
cateto adjacente: \(3\);
hipotenusa: \(5\).

Assim:

\[ \sin(\alpha) = \frac{4}{5} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{4}{3} \]

Observe que, ao trocar o ângulo de referência, os papéis de cateto oposto e cateto adjacente também mudam.

12. Relação entre seno, cosseno e tangente

A tangente de um ângulo pode ser obtida pela razão entre o seno e o cosseno.

De fato:

\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \]

Vamos verificar no triângulo \(3\), \(4\), \(5\), para o ângulo \(\theta\) oposto ao cateto \(3\).

Temos:

\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]

Então:

\[ \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \]

Dividindo as frações:

\[ \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} \]

\[ = \frac{3}{4} \]

Como:

\[ \tan(\theta) = \frac{3}{4} \]

temos:

\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \]

13. Relação fundamental da trigonometria

No triângulo retângulo, também vale uma relação muito importante:

\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \]

Essa relação vem do Teorema de Pitágoras.

Para entender, considere um triângulo retângulo em que:

cateto oposto ao ângulo \(\theta\): \(a\);
cateto adjacente ao ângulo \(\theta\): \(b\);
hipotenusa: \(c\).

Então:

\[ \sin(\theta) = \frac{a}{c} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{b}{c} \]

Logo:

\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 \]

\[ = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \]

\[ = \frac{a^2+b^2}{c^2} \]

Pelo Teorema de Pitágoras:

\[ a^2+b^2 = c^2 \]

Portanto:

\[ \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1 \]

Assim:

\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \]

14. Valores notáveis: \(30^\circ\), \(45^\circ\) e \(60^\circ\)

Alguns ângulos aparecem com muita frequência em problemas.

Os principais são:

\[ 30^\circ, \quad 45^\circ, \quad 60^\circ \]

Os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos são chamados de valores notáveis.

Eles serão muito úteis em exercícios e aplicações.

15. Tabela dos valores notáveis

A tabela principal é:

Ângulo	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan\)
\(30^\circ\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)

Essa tabela deve ser compreendida e usada com frequência.

Com o tempo, os valores se tornam familiares.

16. Triângulo de \(45^\circ\), \(45^\circ\) e \(90^\circ\)

Um triângulo retângulo isósceles tem ângulos:

\[ 45^\circ, \quad 45^\circ, \quad 90^\circ \]

Como os dois ângulos agudos são iguais, os dois catetos também são iguais.

Se cada cateto mede \(1\), então a hipotenusa é encontrada pelo Teorema de Pitágoras:

\[ h^2 = 1^2 + 1^2 \]

\[ h^2 = 2 \]

\[ h = \sqrt{2} \]

Assim, para um ângulo de \(45^\circ\):

\[ \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Racionalizando:

\[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Da mesma forma:

\[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \tan(45^\circ) = \frac{1}{1} = 1 \]

17. Triângulo de \(30^\circ\), \(60^\circ\) e \(90^\circ\)

Outro triângulo importante tem ângulos:

\[ 30^\circ, \quad 60^\circ, \quad 90^\circ \]

Esse triângulo pode ser obtido dividindo um triângulo equilátero ao meio.

Considere um triângulo equilátero de lado \(2\).

Ao traçar sua altura, ele se divide em dois triângulos retângulos congruentes.

Cada triângulo retângulo terá:

hipotenusa \(2\);
um cateto \(1\);
outro cateto \(\sqrt{3}\).

Isso ocorre porque:

\[ h^2 + 1^2 = 2^2 \]

\[ h^2 + 1 = 4 \]

\[ h^2 = 3 \]

\[ h = \sqrt{3} \]

Portanto, no triângulo \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\), os lados estão na razão:

\[ 1 : \sqrt{3} : 2 \]

18. Valores de \(30^\circ\) e \(60^\circ\)

No triângulo \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\):

o lado oposto a \(30^\circ\) mede \(1\);
o lado oposto a \(60^\circ\) mede \(\sqrt{3}\);
a hipotenusa mede \(2\).

Para o ângulo de \(30^\circ\):

\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Para o ângulo de \(60^\circ\):

\[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]

\[ \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \]

19. Usando a calculadora

Para ângulos que não são notáveis, podemos usar uma calculadora científica.

Por exemplo:

\[ \sin(35^\circ) \]

ou:

\[ \cos(72^\circ) \]

ou:

\[ \tan(18^\circ) \]

Nesses casos, é importante verificar se a calculadora está configurada em graus.

Em muitas calculadoras, o modo de graus aparece como:

\[ DEG \]

Se a calculadora estiver em radianos, os resultados serão diferentes.

Neste curso, por enquanto, trabalharemos principalmente com graus.

20. Calculando um cateto usando seno

Considere um triângulo retângulo em que:

a hipotenusa mede \(10\);
um ângulo agudo mede \(30^\circ\);
queremos calcular o cateto oposto a esse ângulo.

Usamos:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Substituindo:

\[ \frac{1}{2} = \frac{x}{10} \]

Multiplicando em cruz:

\[ 2x = 10 \]

Logo:

\[ x = 5 \]

O cateto oposto mede:

\[ 5 \]

21. Calculando um cateto usando cosseno

Considere um triângulo retângulo em que:

a hipotenusa mede \(12\);
um ângulo agudo mede \(60^\circ\);
queremos calcular o cateto adjacente a esse ângulo.

Usamos:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

Substituindo:

\[ \frac{1}{2} = \frac{x}{12} \]

Multiplicando em cruz:

\[ 2x = 12 \]

Logo:

\[ x = 6 \]

O cateto adjacente mede:

\[ 6 \]

22. Calculando um cateto usando tangente

Considere um triângulo retângulo em que:

um ângulo agudo mede \(45^\circ\);
o cateto adjacente a esse ângulo mede \(8\);
queremos calcular o cateto oposto.

Usamos:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Como:

\[ \tan(45^\circ) = 1 \]

temos:

\[ 1 = \frac{x}{8} \]

Logo:

\[ x = 8 \]

O cateto oposto mede:

\[ 8 \]

23. Calculando a hipotenusa usando seno

Considere um triângulo retângulo em que:

um ângulo agudo mede \(30^\circ\);
o cateto oposto a esse ângulo mede \(7\);
queremos calcular a hipotenusa.

Usamos:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Substituindo:

\[ \frac{1}{2} = \frac{7}{h} \]

Multiplicando em cruz:

\[ h = 14 \]

A hipotenusa mede:

\[ 14 \]

24. Calculando a hipotenusa usando cosseno

Considere um triângulo retângulo em que:

um ângulo agudo mede \(60^\circ\);
o cateto adjacente a esse ângulo mede \(9\);
queremos calcular a hipotenusa.

Usamos:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

Substituindo:

\[ \frac{1}{2} = \frac{9}{h} \]

Multiplicando em cruz:

\[ h = 18 \]

A hipotenusa mede:

\[ 18 \]

25. Escolhendo a razão trigonométrica adequada

Para escolher entre seno, cosseno e tangente, observe quais lados aparecem no problema.

Em relação ao ângulo dado:

se aparecem cateto oposto e hipotenusa, use seno;
se aparecem cateto adjacente e hipotenusa, use cosseno;
se aparecem cateto oposto e cateto adjacente, use tangente.

Uma estratégia prática é:

identifique o ângulo de referência;
marque a hipotenusa;
identifique o cateto oposto;
identifique o cateto adjacente;
escolha a razão que envolve as medidas conhecidas e a medida desconhecida.

26. Aplicação: altura de um prédio

Uma pessoa observa o topo de um prédio sob um ângulo de elevação de \(30^\circ\).

Ela está a \(40\) m da base do prédio.

Desprezando a altura dos olhos da pessoa, calcule a altura do prédio.

Parte 1: interpretar a situação

Temos um triângulo retângulo.

Em relação ao ângulo de \(30^\circ\):

a distância até o prédio é o cateto adjacente;
a altura do prédio é o cateto oposto.

Portanto, usamos tangente:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Parte 2: substituir os valores

Sabemos que:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Então:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{40} \]

Logo:

\[ h = \frac{40\sqrt{3}}{3} \]

Usando:

\[ \sqrt{3} \approx 1{,}732 \]

temos:

\[ h \approx \frac{40 \cdot 1{,}732}{3} \]

\[ h \approx \frac{69{,}28}{3} \]

\[ h \approx 23{,}09 \]

A altura do prédio é aproximadamente:

\[ 23{,}09 \text{ m} \]

27. Aplicação: comprimento de uma rampa

Uma rampa forma um ângulo de \(30^\circ\) com o chão.

Ela deve atingir uma altura de \(2\) m.

Qual deve ser o comprimento da rampa?

Parte 1: interpretar a situação

A rampa é a hipotenusa do triângulo retângulo.

A altura de \(2\) m é o cateto oposto ao ângulo de \(30^\circ\).

Usamos seno:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Parte 2: substituir os valores

Como:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

temos:

\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{x} \]

Multiplicando em cruz:

\[ x = 4 \]

A rampa deve ter comprimento de:

\[ 4 \text{ m} \]

28. Aplicação: largura de um rio

Um observador está em uma margem de um rio e deseja estimar sua largura.

Ele marca um ponto na margem oposta e se desloca \(30\) m ao longo da margem.

A partir do novo ponto, observa o ponto da margem oposta sob um ângulo de \(45^\circ\) em relação à margem.

Supondo que a situação forme um triângulo retângulo, qual é a largura do rio?

Parte 1: interpretar a situação

Temos um triângulo retângulo em que:

a distância percorrida ao longo da margem é o cateto adjacente;
a largura do rio é o cateto oposto;
o ângulo é \(45^\circ\).

Usamos tangente:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Parte 2: substituir os valores

Como:

\[ \tan(45^\circ) = 1 \]

temos:

\[ 1 = \frac{x}{30} \]

Logo:

\[ x = 30 \]

A largura do rio é:

\[ 30 \text{ m} \]

29. Aplicação: inclinação de uma escada

Uma escada de \(10\) m está apoiada em uma parede e forma um ângulo de \(60^\circ\) com o chão.

A que altura a escada encosta na parede?

Parte 1: interpretar a situação

A escada é a hipotenusa.

A altura na parede é o cateto oposto ao ângulo de \(60^\circ\).

Usamos seno:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Parte 2: substituir os valores

Sabemos que:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Então:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{10} \]

Logo:

\[ h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ h = 5\sqrt{3} \]

Usando:

\[ \sqrt{3} \approx 1{,}732 \]

temos:

\[ h \approx 5 \cdot 1{,}732 \]

\[ h \approx 8{,}66 \]

A escada encosta na parede a aproximadamente:

\[ 8{,}66 \text{ m} \]

30. Ângulo de elevação e ângulo de depressão

Em problemas de aplicação, aparecem frequentemente os termos:

ângulo de elevação;
ângulo de depressão.

O ângulo de elevação é o ângulo formado quando olhamos para cima em relação à horizontal.

Exemplo:

Uma pessoa observa o topo de uma torre sob ângulo de elevação de \(40^\circ\).

O ângulo de depressão é o ângulo formado quando olhamos para baixo em relação à horizontal.

Exemplo:

Do alto de um prédio, uma pessoa observa um carro na rua sob ângulo de depressão de \(35^\circ\).

Esses ângulos são muito usados em problemas de alturas e distâncias.

31. Erros comuns

Erro 1: não identificar o ângulo de referência

Cateto oposto e cateto adjacente dependem do ângulo escolhido.

Antes de usar seno, cosseno ou tangente, identifique o ângulo de referência.

Erro 2: confundir cateto oposto com cateto adjacente

O cateto oposto fica em frente ao ângulo.

O cateto adjacente encosta no ângulo junto com a hipotenusa.

Erro 3: usar a hipotenusa no lugar de um cateto

A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto e sempre o maior lado do triângulo retângulo.

Erro 4: escolher a razão errada

Use:

\[ \sin(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} \]

Erro 5: calculadora no modo errado

Se o problema usa graus, a calculadora deve estar no modo graus.

Procure a indicação:

\[ DEG \]

32. Atividade resolvida integradora

Um observador está a \(50\) m da base de uma torre.

Ele observa o topo da torre sob um ângulo de elevação de \(60^\circ\).

Desprezando a altura dos olhos do observador, calcule a altura da torre.

Parte 1: desenhar mentalmente o triângulo

A distância horizontal até a torre é:

\[ 50 \text{ m} \]

Essa distância é o cateto adjacente ao ângulo de \(60^\circ\).

A altura da torre é o cateto oposto.

Queremos encontrar o cateto oposto.

Parte 2: escolher a razão trigonométrica

Como aparecem cateto oposto e cateto adjacente, usamos tangente:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Parte 3: substituir os valores

Sabemos que:

\[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]

Então:

\[ \sqrt{3} = \frac{h}{50} \]

Logo:

\[ h = 50\sqrt{3} \]

Parte 4: aproximar

Usando:

\[ \sqrt{3} \approx 1{,}732 \]

temos:

\[ h \approx 50 \cdot 1{,}732 \]

\[ h \approx 86{,}6 \]

Portanto, a altura da torre é aproximadamente:

\[ 86{,}6 \text{ m} \]

33. Exercícios

Resolva os exercícios a seguir.

Exercício 1

O que é a hipotenusa de um triângulo retângulo?

Exercício 2

Em relação a um ângulo agudo, o que é o cateto oposto?

Exercício 3

Em relação a um ângulo agudo, o que é o cateto adjacente?

Exercício 4

Escreva a definição de seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.

Exercício 5

Escreva a definição de cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.

Exercício 6

Escreva a definição de tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.

Exercício 7

Em um triângulo retângulo, em relação ao ângulo \(\theta\), o cateto oposto mede \(6\) e a hipotenusa mede \(10\). Calcule \(\sen(\theta)\).

Exercício 8

Em um triângulo retângulo, em relação ao ângulo \(\theta\), o cateto adjacente mede \(8\) e a hipotenusa mede \(10\). Calcule \(\cos(\theta)\).

Exercício 9

Em um triângulo retângulo, em relação ao ângulo \(\theta\), o cateto oposto mede \(9\) e o cateto adjacente mede \(12\). Calcule \(\tan(\theta)\).

Exercício 10

Em um triângulo retângulo \(3\), \(4\), \(5\), considerando o ângulo oposto ao cateto de medida \(3\), calcule seno, cosseno e tangente.

Exercício 11

Calcule:

\[ \sin(30^\circ) \]

Exercício 12

Calcule:

\[ \cos(60^\circ) \]

Exercício 13

Calcule:

\[ \tan(45^\circ) \]

Exercício 14

Calcule:

\[ \sin(60^\circ) \]

Exercício 15

Calcule:

\[ \cos(45^\circ) \]

Exercício 16

Calcule:

\[ \tan(30^\circ) \]

Exercício 17

Um triângulo retângulo tem hipotenusa \(20\) e um ângulo agudo de \(30^\circ\). Calcule o cateto oposto a esse ângulo.

Exercício 18

Um triângulo retângulo tem hipotenusa \(18\) e um ângulo agudo de \(60^\circ\). Calcule o cateto adjacente a esse ângulo.

Exercício 19

Um triângulo retângulo tem cateto adjacente \(10\) a um ângulo de \(45^\circ\). Calcule o cateto oposto.

Exercício 20

Uma escada de \(12\) m forma um ângulo de \(30^\circ\) com o chão. A que altura ela encosta na parede?

Exercício 21

Uma rampa forma um ângulo de \(30^\circ\) com o chão e atinge uma altura de \(3\) m. Qual é o comprimento da rampa?

Exercício 22

Um observador está a \(40\) m de uma torre e vê seu topo sob ângulo de elevação de \(45^\circ\). Calcule a altura da torre, desprezando a altura dos olhos do observador.

Exercício 23

Um prédio projeta uma sombra de \(30\) m quando o ângulo de elevação do Sol é \(60^\circ\). Calcule a altura do prédio.

Exercício 24

Uma pessoa observa o topo de uma árvore sob ângulo de elevação de \(30^\circ\). Ela está a \(18\) m da base da árvore. Calcule a altura da árvore em forma exata.

34. Gabarito comentado

Exercício 1

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto.

Ela é sempre o maior lado de um triângulo retângulo.

Exercício 2

O cateto oposto é o cateto que fica em frente ao ângulo agudo escolhido.

Exercício 3

O cateto adjacente é o cateto que fica ao lado do ângulo agudo escolhido, formando esse ângulo junto com a hipotenusa.

Exercício 4

O seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

\[ \sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Exercício 5

O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

Exercício 6

A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Exercício 7

Temos:

\[ \sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} \]

Substituindo:

\[ \sin(\theta) = \frac{6}{10} \]

Simplificando:

\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]

ou:

\[ \sin(\theta) = 0{,}6 \]

Exercício 8

Temos:

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \]

Substituindo:

\[ \cos(\theta) = \frac{8}{10} \]

Simplificando:

\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]

ou:

\[ \cos(\theta) = 0{,}8 \]

Exercício 9

Temos:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \]

Substituindo:

\[ \tan(\theta) = \frac{9}{12} \]

Simplificando:

\[ \tan(\theta) = \frac{3}{4} \]

ou:

\[ \tan(\theta) = 0{,}75 \]

Exercício 10

No triângulo \(3\), \(4\), \(5\), considerando o ângulo oposto ao cateto \(3\):

cateto oposto: \(3\);
cateto adjacente: \(4\);
hipotenusa: \(5\).

Assim:

\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]

\[ \tan(\theta) = \frac{3}{4} \]