Princípio fundamental da contagem

Pergunta disparadora

Como podemos contar todas as possibilidades de uma situação sem precisar listar uma por uma?

Objetivos da aula

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

compreender o princípio fundamental da contagem;
resolver problemas de contagem envolvendo escolhas sucessivas;
organizar situações combinatórias por meio de árvores de possibilidades, tabelas e multiplicações.

Desenvolvimento

Nesta unidade, iniciaremos o estudo de contagem e probabilidade.

A contagem aparece em muitas situações do cotidiano:

quantas senhas diferentes podem ser criadas?
quantas combinações de roupas são possíveis?
quantos caminhos existem entre dois lugares?
quantos cardápios diferentes podem ser montados?
quantos números podem ser formados com certos algarismos?
quantas placas de veículos podem existir com determinado padrão?
quantas maneiras há de escolher representantes de uma turma?

Em muitos desses problemas, listar todas as possibilidades pode ser demorado.

Por isso, precisamos de estratégias matemáticas para contar de forma organizada.

A primeira e mais importante dessas estratégias é o princípio fundamental da contagem.

Ele também é chamado de princípio multiplicativo.

A ideia é simples:

quando uma escolha é feita em etapas sucessivas, multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa.

1. Uma situação inicial

Imagine que uma pessoa tenha:

\(3\) camisetas;
\(2\) calças.

Quantos conjuntos diferentes ela pode formar escolhendo uma camiseta e uma calça?

Vamos chamar as camisetas de:

\[ C_1,\quad C_2,\quad C_3 \]

e as calças de:

\[ P_1,\quad P_2 \]

Para cada camiseta, existem \(2\) possibilidades de calça.

Então:

com \(C_1\), podemos usar \(P_1\) ou \(P_2\);
com \(C_2\), podemos usar \(P_1\) ou \(P_2\);
com \(C_3\), podemos usar \(P_1\) ou \(P_2\).

Listando:

\[ (C_1,P_1),\quad (C_1,P_2) \]

\[ (C_2,P_1),\quad (C_2,P_2) \]

\[ (C_3,P_1),\quad (C_3,P_2) \]

Temos \(6\) conjuntos possíveis.

Mas também poderíamos calcular diretamente:

\[ 3\cdot 2=6 \]

Esse é o princípio fundamental da contagem em ação.

2. O princípio fundamental da contagem

Se uma escolha pode ser feita em duas etapas, sendo:

a primeira etapa com \(m\) possibilidades;
a segunda etapa com \(n\) possibilidades;

então o número total de possibilidades é:

\[ m\cdot n \]

De forma mais geral, se uma escolha ocorre em várias etapas, multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa.

Se há:

\(n_1\) possibilidades na primeira etapa;
\(n_2\) possibilidades na segunda etapa;
\(n_3\) possibilidades na terceira etapa;
e assim por diante;

então o número total de possibilidades é:

\[ n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots \]

3. Por que multiplicamos?

Multiplicamos porque, para cada possibilidade da primeira etapa, existem várias possibilidades da segunda etapa.

Voltando ao exemplo das roupas:

para cada uma das \(3\) camisetas, existem \(2\) calças.

Então:

\[ 3+3 \]

ou:

\[ 2+2+2 \]

seria o mesmo que:

\[ 3\cdot 2 \]

A multiplicação é uma forma rápida de representar escolhas repetidas.

4. Árvore de possibilidades

Uma forma visual de entender o princípio da contagem é usar uma árvore de possibilidades.

No exemplo das roupas:

Camiseta C1
├── Calça P1
└── Calça P2

Camiseta C2
├── Calça P1
└── Calça P2

Camiseta C3
├── Calça P1
└── Calça P2

Cada caminho completo da árvore representa uma escolha possível.

Como temos \(3\) camisetas e, para cada camiseta, \(2\) calças, temos:

\[ 3\cdot 2=6 \]

possibilidades.

5. Exemplo com lanche

Uma lanchonete oferece:

\(4\) tipos de sanduíche;
\(3\) tipos de suco.

Quantos lanches diferentes podem ser formados escolhendo um sanduíche e um suco?

Temos duas etapas:

escolher o sanduíche;
escolher o suco.

A primeira etapa tem:

\[ 4 \]

possibilidades.

A segunda etapa tem:

\[ 3 \]

possibilidades.

Logo, o total de lanches diferentes é:

\[ 4\cdot 3=12 \]

Portanto, podem ser formados:

\[ 12 \]

lanches diferentes.

6. Exemplo com três etapas

Agora imagine que a lanchonete oferece:

\(4\) tipos de sanduíche;
\(3\) tipos de suco;
\(2\) tipos de sobremesa.

Quantos combos diferentes podem ser formados escolhendo um sanduíche, um suco e uma sobremesa?

Temos três etapas:

escolher o sanduíche;
escolher o suco;
escolher a sobremesa.

O total é:

\[ 4\cdot 3\cdot 2 \]

Calculando:

\[ 4\cdot 3=12 \]

\[ 12\cdot 2=24 \]

Logo, existem:

\[ 24 \]

combos possíveis.

7. Contagem com etapas sucessivas

O princípio fundamental da contagem é usado quando uma escolha acontece em etapas.

Algumas palavras ajudam a reconhecer esse tipo de situação:

escolher uma peça e outra peça;
formar um código com vários caracteres;
montar um cardápio com entrada, prato e sobremesa;
escolher um caminho com trechos sucessivos;
formar um número com algarismos;
criar uma senha com letras e números;
escolher uma sequência de ações.

Sempre que as escolhas forem sucessivas, devemos pensar:

Quantas possibilidades existem em cada etapa?

Depois, multiplicamos.

8. Exemplo com caminhos

Uma pessoa quer ir da cidade \(A\) até a cidade \(C\), passando pela cidade \(B\).

Há:

\(3\) caminhos de \(A\) até \(B\);
\(4\) caminhos de \(B\) até \(C\).

Quantos caminhos diferentes existem de \(A\) até \(C\), passando por \(B\)?

Para cada caminho de \(A\) até \(B\), existem \(4\) caminhos de \(B\) até \(C\).

Logo:

\[ 3\cdot 4=12 \]

Existem:

\[ 12 \]

caminhos possíveis.

9. Exemplo com senha simples

Uma senha é formada por uma letra seguida de um algarismo.

Considere que podemos usar:

\(26\) letras;
\(10\) algarismos, de \(0\) a \(9\).

Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

Temos duas etapas:

escolher a letra;
escolher o algarismo.

A primeira etapa tem:

\[ 26 \]

possibilidades.

A segunda etapa tem:

\[ 10 \]

possibilidades.

Logo:

\[ 26\cdot 10=260 \]

Podem ser formadas:

\[ 260 \]

senhas diferentes.

10. Senhas com repetição permitida

Considere agora uma senha formada por \(3\) algarismos.

Os algarismos podem se repetir.

Quantas senhas são possíveis?

Cada posição pode ser preenchida por qualquer um dos \(10\) algarismos:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \]

Temos:

\(10\) possibilidades para a primeira posição;
\(10\) possibilidades para a segunda posição;
\(10\) possibilidades para a terceira posição.

Como a repetição é permitida:

\[ 10\cdot 10\cdot 10=1000 \]

Logo, existem:

\[ 1000 \]

senhas possíveis.

11. Senhas sem repetição

Agora considere uma senha formada por \(3\) algarismos distintos.

Os algarismos não podem se repetir.

Quantas senhas são possíveis?

Na primeira posição, podemos escolher qualquer um dos \(10\) algarismos.

Depois de escolher o primeiro, restam \(9\) possibilidades para a segunda posição.

Depois de escolher os dois primeiros, restam \(8\) possibilidades para a terceira posição.

Logo:

\[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]

Existem:

\[ 720 \]

senhas possíveis.

12. Diferença entre permitir e não permitir repetição

A repetição muda o número de possibilidades.

Com repetição

Senha de \(3\) algarismos:

\[ 10\cdot 10\cdot 10=1000 \]

Sem repetição

Senha de \(3\) algarismos distintos:

\[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]

Quando a repetição é permitida, o número de possibilidades em cada etapa pode permanecer igual.

Quando a repetição não é permitida, o número de possibilidades geralmente diminui a cada escolha.

13. Exemplo com números de dois algarismos

Quantos números de dois algarismos podem ser formados usando os algarismos:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4 \]

com repetição permitida?

Temos duas posições:

dezena;
unidade.

Para a dezena, há \(4\) possibilidades.

Para a unidade, também há \(4\) possibilidades, pois a repetição é permitida.

Logo:

\[ 4\cdot 4=16 \]

Podem ser formados:

\[ 16 \]

números.

14. Números de dois algarismos sem repetição

Quantos números de dois algarismos podem ser formados usando os algarismos:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4 \]

sem repetição?

Para a dezena, há:

\[ 4 \]

possibilidades.

Depois de escolhida a dezena, restam:

\[ 3 \]

possibilidades para a unidade.

Logo:

\[ 4\cdot 3=12 \]

Podem ser formados:

\[ 12 \]

números.

15. Cuidado com o zero na primeira posição

Quando formamos números, precisamos prestar atenção ao algarismo zero.

Por exemplo, quantos números de três algarismos podem ser formados usando os algarismos:

\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4 \]

com repetição permitida?

Um número de três algarismos não pode começar com zero.

Por exemplo, \(012\) não é considerado número de três algarismos, mas sim \(12\).

Então:

para a centena, podemos usar \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\): \(4\) possibilidades;
para a dezena, podemos usar qualquer um dos \(5\) algarismos;
para a unidade, também podemos usar qualquer um dos \(5\) algarismos.

Logo:

\[ 4\cdot 5\cdot 5=100 \]

Podem ser formados:

\[ 100 \]

números de três algarismos.

16. Exemplo sem repetição e com zero

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando:

\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4 \]

sem repetição?

A primeira posição não pode ser zero.

Então, para a centena, temos:

\[ 4 \]

possibilidades:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4 \]

Depois de escolhida a centena, restam \(4\) algarismos para a dezena, pois um dos \(5\) já foi usado.

Para a unidade, restam \(3\) algarismos.

Logo:

\[ 4\cdot 4\cdot 3=48 \]

Podem ser formados:

\[ 48 \]

números.

17. Escolhas independentes

No princípio fundamental da contagem, muitas situações envolvem escolhas independentes.

Dizemos que uma escolha é independente quando a quantidade de possibilidades de uma etapa não depende do resultado específico da etapa anterior.

Exemplo:

escolher uma camiseta;
escolher uma calça.

A quantidade de calças disponíveis não muda conforme a camiseta escolhida.

Nesse caso, multiplicamos diretamente.

18. Escolhas dependentes

Em outras situações, uma escolha afeta as possibilidades seguintes.

Exemplo:

Formar uma senha com algarismos sem repetição.

Depois de escolher um algarismo, ele não pode mais ser usado.

Então as possibilidades diminuem.

Mesmo assim, usamos o princípio fundamental da contagem, mas atualizando o número de escolhas em cada etapa.

Exemplo:

\[ 10\cdot 9\cdot 8 \]

para uma senha de \(3\) algarismos distintos.

19. Contagem com restrições

Alguns problemas trazem restrições.

Exemplos:

o número não pode começar com zero;
a senha não pode repetir caracteres;
a primeira letra deve ser vogal;
o último algarismo deve ser par;
duas pessoas não podem ficar juntas;
uma escolha exclui outra.

Nesses casos, devemos tratar primeiro as posições ou etapas com restrição.

Essa estratégia evita erros.

20. Exemplo com último algarismo par

Quantos números de três algarismos podem ser formados usando os algarismos:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 5 \]

sem repetição e com último algarismo par?

Os algarismos pares disponíveis são:

\[ 2,\quad 4 \]

Como o último algarismo deve ser par, começamos pela unidade.

Unidade

Há:

\[ 2 \]

possibilidades.

Centena

Depois de escolher a unidade, restam \(4\) algarismos para a centena.

Como não há zero nesse conjunto, qualquer um deles pode ocupar a centena.

Então há:

\[ 4 \]

possibilidades.

Dezena

Depois de escolher unidade e centena, restam:

\[ 3 \]

possibilidades.

Logo:

\[ 2\cdot 4\cdot 3=24 \]

Podem ser formados:

\[ 24 \]

números.

21. Exemplo com primeira letra fixa

Uma senha tem \(4\) caracteres.

O primeiro caractere deve ser a letra \(A\).

Os outros três caracteres devem ser algarismos de \(0\) a \(9\), com repetição permitida.

Quantas senhas podem ser formadas?

A primeira posição está fixa:

\[ 1 \]

possibilidade.

Cada uma das outras três posições tem:

\[ 10 \]

possibilidades.

Logo:

\[ 1\cdot 10\cdot 10\cdot 10=1000 \]

Podem ser formadas:

\[ 1000 \]

senhas.

22. Exemplo com vogal e algarismo

Uma senha é formada por:

uma vogal;
uma consoante;
um algarismo.

Considere as \(5\) vogais:

\[ A,\ E,\ I,\ O,\ U \]

Considere \(21\) consoantes.

Considere os \(10\) algarismos de \(0\) a \(9\).

Quantas senhas podem ser formadas nessa ordem?

Temos:

\(5\) possibilidades para a vogal;
\(21\) possibilidades para a consoante;
\(10\) possibilidades para o algarismo.

Logo:

\[ 5\cdot 21\cdot 10=1050 \]

Podem ser formadas:

\[ 1050 \]

senhas.

23. Contagem usando tabela

Às vezes, uma tabela ajuda a visualizar as possibilidades.

Imagine que uma pessoa pode escolher:

uma entrada: salada ou sopa;
um prato principal: massa, peixe ou frango.

A tabela de possibilidades é:

Entrada	Massa	Peixe	Frango
Salada	Salada e massa	Salada e peixe	Salada e frango
Sopa	Sopa e massa	Sopa e peixe	Sopa e frango

Há \(2\) entradas e \(3\) pratos principais.

Logo:

\[ 2\cdot 3=6 \]

possibilidades.

24. Contagem usando diagrama de árvore

O diagrama de árvore é útil quando queremos listar possibilidades de forma organizada.

Exemplo: lançar uma moeda duas vezes.

Cada lançamento tem duas possibilidades:

\[ C \]

para cara e:

\[ K \]

para coroa.

A árvore é:

Primeiro lançamento
├── C
│   ├── C
│   └── K
└── K
    ├── C
    └── K

Os resultados possíveis são:

\[ CC,\quad CK,\quad KC,\quad KK \]

Como há \(2\) possibilidades no primeiro lançamento e \(2\) no segundo:

\[ 2\cdot 2=4 \]

resultados possíveis.

25. Relação com probabilidade

A contagem é importante para a probabilidade.

Em muitos problemas, calculamos a probabilidade por:

\[ P(\text{evento})=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} \]

Para usar essa fórmula, precisamos saber contar:

quantos são os casos possíveis;
quantos são os casos favoráveis.

Por isso, o princípio fundamental da contagem é uma base para o estudo da probabilidade.

26. Exemplo com lançamento de moeda e dado

Uma moeda é lançada e um dado comum é lançado.

Quantos resultados possíveis existem?

A moeda tem:

\[ 2 \]

resultados possíveis:

\[ \text{cara},\quad \text{coroa} \]

O dado tem:

\[ 6 \]

resultados possíveis:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 5,\quad 6 \]

Como os lançamentos são sucessivos ou combinados, multiplicamos:

\[ 2\cdot 6=12 \]

Existem:

\[ 12 \]

resultados possíveis.

27. Listando os resultados

Podemos representar os resultados como pares.

Se usamos \(C\) para cara e \(K\) para coroa, temos:

\[ (C,1),\quad (C,2),\quad (C,3),\quad (C,4),\quad (C,5),\quad (C,6) \]

\[ (K,1),\quad (K,2),\quad (K,3),\quad (K,4),\quad (K,5),\quad (K,6) \]

São \(12\) resultados.

A multiplicação evitou que precisássemos listar tudo desde o início.

28. Exemplo com placas

Suponha que uma placa seja formada por:

\(3\) letras;
\(4\) algarismos.

Considere \(26\) letras e \(10\) algarismos.

Se letras e algarismos podem se repetir, quantas placas diferentes podem ser formadas?

Temos:

\(26\) possibilidades para cada letra;
\(10\) possibilidades para cada algarismo.

Logo:

\[ 26\cdot 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]

ou:

\[ 26^3\cdot 10^4 \]

Calculando por partes:

\[ 26^3=17576 \]

\[ 10^4=10000 \]

Então:

\[ 17576\cdot 10000=175760000 \]

Podem ser formadas:

\[ 175\,760\,000 \]

placas diferentes.

29. Potências em problemas de contagem

Quando uma mesma quantidade de possibilidades se repete em várias etapas, podemos usar potências.

Exemplo:

Uma senha tem \(5\) algarismos, com repetição permitida.

Cada posição tem \(10\) possibilidades.

Logo:

\[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^5 \]

Como:

\[ 10^5=100000 \]

existem:

\[ 100000 \]

senhas possíveis.

30. Exemplo com respostas de verdadeiro ou falso

Uma prova tem \(8\) questões de verdadeiro ou falso.

Quantas sequências diferentes de respostas são possíveis?

Cada questão tem:

\[ 2 \]

possibilidades:

verdadeiro;
falso.

Como são \(8\) questões:

\[ 2^8 \]

Calculando:

\[ 2^8=256 \]

Logo, existem:

\[ 256 \]

sequências possíveis de respostas.

31. Exemplo com múltipla escolha

Uma prova tem \(6\) questões de múltipla escolha.

Cada questão tem \(5\) alternativas.

Quantos gabaritos diferentes são possíveis?

Cada questão tem:

\[ 5 \]

possibilidades.

Como são \(6\) questões:

\[ 5^6 \]

Calculando:

\[ 5^6=15625 \]

Logo, existem:

\[ 15625 \]

gabaritos possíveis.

32. Soma ou multiplicação?

Em problemas de contagem, é importante distinguir quando somar e quando multiplicar.

Multiplicamos

Quando uma escolha é formada por etapas sucessivas.

Exemplo:

escolher uma camiseta e uma calça.

Se há \(3\) camisetas e \(2\) calças:

\[ 3\cdot 2=6 \]

Somamos

Quando temos alternativas separadas, isto é, uma opção ou outra.

Exemplo:

escolher uma sobremesa entre \(4\) doces ou \(3\) frutas.

Se a pessoa escolhe apenas uma sobremesa, o total é:

\[ 4+3=7 \]

33. Exemplo com soma e multiplicação

Uma cantina oferece dois tipos de lanche:

Tipo 1

sanduíche: \(4\) opções;
suco: \(3\) opções.

Tipo 2

salgado: \(5\) opções;
refrigerante: \(2\) opções.

A pessoa escolherá um lanche do tipo 1 ou um lanche do tipo 2.

Quantas opções há ao todo?

Para o tipo 1:

\[ 4\cdot 3=12 \]

Para o tipo 2:

\[ 5\cdot 2=10 \]

Como a escolha é tipo 1 ou tipo 2, somamos:

\[ 12+10=22 \]

Logo, existem:

\[ 22 \]

opções.

34. Outro exemplo com restrição

Uma senha tem \(3\) caracteres.

Ela pode ser de um dos dois tipos:

Tipo A

duas letras;
um algarismo.

Tipo B

uma letra;
dois algarismos.

Considere \(26\) letras e \(10\) algarismos, com repetição permitida.

Quantas senhas podem ser formadas?

Para o tipo A:

\[ 26\cdot 26\cdot 10 \]

\[ =6760 \]

Para o tipo B:

\[ 26\cdot 10\cdot 10 \]

\[ =2600 \]

Como a senha pode ser do tipo A ou do tipo B, somamos:

\[ 6760+2600=9360 \]

Logo, podem ser formadas:

\[ 9360 \]

senhas.

35. Estratégia para resolver problemas de contagem

Ao resolver problemas de contagem, siga estes passos.

Etapa 1: entenda o que será formado

Pode ser uma senha, um número, uma roupa, um caminho, um cardápio, uma sequência ou uma placa.

Etapa 2: identifique as etapas

Pergunte:

quais escolhas precisam ser feitas?
em que ordem?
quantas posições existem?

Etapa 3: conte as possibilidades de cada etapa

Observe se há restrições.

Etapa 4: verifique se há repetição

Pergunte:

pode repetir?
não pode repetir?
a escolha anterior reduz as próximas?

Etapa 5: multiplique as etapas sucessivas

Use o princípio fundamental da contagem.

Etapa 6: some casos separados, quando houver

Se o problema envolve “ou”, pode haver soma de casos.

Etapa 7: revise restrições

Verifique se zero, repetição, ordem ou condições especiais foram tratados corretamente.

36. Erros comuns

Erro 1: listar sem necessidade

Listar pode ajudar em problemas pequenos, mas em problemas grandes é melhor usar multiplicação.

Erro 2: somar quando deveria multiplicar

Se as escolhas acontecem em etapas sucessivas, devemos multiplicar.

Erro 3: multiplicar quando deveria somar

Se os casos são alternativos, como “tipo A ou tipo B”, calculamos cada caso e somamos.

Erro 4: esquecer restrições

Se um número não pode começar com zero, isso deve ser considerado na primeira posição.

Erro 5: esquecer se há repetição

Com repetição e sem repetição geram resultados diferentes.

Erro 6: tratar todas as posições do mesmo jeito quando há restrição

Se o último algarismo deve ser par, talvez seja melhor começar a contagem pela última posição.

Erro 7: confundir número com senha

Uma senha pode começar com zero.

Um número de três algarismos não pode começar com zero.

Por exemplo, a senha \(012\) é válida se o sistema permitir.

Mas \(012\) como número é simplesmente \(12\).

37. Atividade resolvida integradora

Uma senha é formada por \(4\) caracteres.

As condições são:

o primeiro caractere deve ser uma letra;
o segundo caractere deve ser um algarismo;
o terceiro caractere deve ser uma letra;
o quarto caractere deve ser um algarismo;
letras podem se repetir;
algarismos podem se repetir.

Considere \(26\) letras e \(10\) algarismos.

Quantas senhas podem ser formadas?

Parte 1: identificar as etapas

A senha tem quatro posições:

Letra - Algarismo - Letra - Algarismo

Parte 2: contar cada etapa

Primeira posição:

\[ 26 \]

possibilidades.

Segunda posição:

\[ 10 \]

possibilidades.

Terceira posição:

\[ 26 \]

possibilidades.

Quarta posição:

\[ 10 \]

possibilidades.

Parte 3: multiplicar

Como as escolhas são sucessivas:

\[ 26\cdot 10\cdot 26\cdot 10 \]

Agrupando:

\[ 26^2\cdot 10^2 \]

Calculando:

\[ 26^2=676 \]

\[ 10^2=100 \]

Logo:

\[ 676\cdot 100=67600 \]

Portanto, podem ser formadas:

\[ 67600 \]

senhas.

38. Segunda atividade resolvida

Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados usando:

\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 5 \]

Parte 1: cuidado com a primeira posição

O número tem quatro algarismos, então a primeira posição não pode ser zero.

Para a primeira posição, temos:

\[ 5 \]

possibilidades:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 5 \]

Parte 2: segunda posição

Depois da primeira escolha, restam \(5\) algarismos disponíveis, incluindo o zero, se ele ainda não tiver sido usado.

Então há:

\[ 5 \]

possibilidades.

Parte 3: terceira posição

Restam:

\[ 4 \]

possibilidades.

Parte 4: quarta posição

Restam:

\[ 3 \]

possibilidades.

Parte 5: multiplicar

\[ 5\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \]

\[ =25\cdot 12 \]

\[ =300 \]

Logo, podem ser formados:

\[ 300 \]

números de quatro algarismos distintos.

39. Terceira atividade resolvida

Uma pizzaria oferece:

\(3\) tamanhos de pizza;
\(5\) sabores;
\(2\) tipos de borda;
\(4\) opções de bebida.

Quantos pedidos diferentes podem ser feitos escolhendo um tamanho, um sabor, uma borda e uma bebida?

Temos quatro etapas:

escolher tamanho;
escolher sabor;
escolher borda;
escolher bebida.

Logo:

\[ 3\cdot 5\cdot 2\cdot 4 \]

Calculando:

\[ 3\cdot 5=15 \]

\[ 2\cdot 4=8 \]

\[ 15\cdot 8=120 \]

Portanto, podem ser feitos:

\[ 120 \]

pedidos diferentes.

40. Exercícios

Resolva os exercícios a seguir.

Exercício 1

O que afirma o princípio fundamental da contagem?

Exercício 2

Uma pessoa tem \(4\) camisetas e \(3\) calças. Quantos conjuntos diferentes pode formar escolhendo uma camiseta e uma calça?

Exercício 3

Uma lanchonete oferece \(5\) sanduíches e \(4\) bebidas. Quantos lanches diferentes podem ser formados escolhendo um sanduíche e uma bebida?

Exercício 4

Uma refeição é composta por entrada, prato principal e sobremesa. Há \(3\) entradas, \(4\) pratos principais e \(2\) sobremesas. Quantas refeições diferentes podem ser montadas?

Exercício 5

Uma senha é formada por uma letra seguida de um algarismo. Considerando \(26\) letras e \(10\) algarismos, quantas senhas podem ser formadas?

Exercício 6

Uma senha é formada por \(4\) algarismos, com repetição permitida. Quantas senhas são possíveis?

Exercício 7

Uma senha é formada por \(4\) algarismos distintos. Quantas senhas são possíveis usando os algarismos de \(0\) a \(9\)?

Exercício 8

Quantos números de dois algarismos podem ser formados usando os algarismos \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\), com repetição permitida?

Exercício 9

Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\)?

Exercício 10

Quantos números de três algarismos podem ser formados usando os algarismos \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\), com repetição permitida?

Exercício 11

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\)?

Exercício 12

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\), terminando em algarismo par?

Exercício 13

Uma moeda é lançada duas vezes. Quantos resultados possíveis existem?

Exercício 14

Uma moeda e um dado comum são lançados. Quantos resultados possíveis existem?

Exercício 15

Uma prova tem \(10\) questões de verdadeiro ou falso. Quantas sequências de respostas são possíveis?

Exercício 16

Uma prova tem \(5\) questões de múltipla escolha, cada uma com \(4\) alternativas. Quantos gabaritos diferentes são possíveis?

Exercício 17

Uma placa é formada por \(2\) letras seguidas de \(3\) algarismos. Considerando \(26\) letras e \(10\) algarismos, com repetição permitida, quantas placas podem ser formadas?

Exercício 18

Uma senha tem \(3\) caracteres: uma vogal, uma consoante e um algarismo, nessa ordem. Considerando \(5\) vogais, \(21\) consoantes e \(10\) algarismos, quantas senhas são possíveis?

Exercício 19

Uma cantina oferece \(3\) tipos de salgado ou \(4\) tipos de doce. A pessoa escolherá apenas um item. Quantas opções há?

Exercício 20

Uma cantina oferece dois combos. O combo A tem \(3\) opções de salgado e \(2\) opções de suco. O combo B tem \(4\) opções de sanduíche e \(3\) opções de refrigerante. A pessoa escolherá um combo A ou um combo B. Quantas opções há ao todo?

Exercício 21

Explique a diferença entre problemas em que devemos somar e problemas em que devemos multiplicar.

Exercício 22

Por que um número de três algarismos não pode começar com zero?

41. Gabarito comentado

Exercício 1

O princípio fundamental da contagem afirma que, quando uma escolha ocorre em etapas sucessivas, o número total de possibilidades é o produto do número de possibilidades de cada etapa.

Se uma etapa tem \(m\) possibilidades e outra tem \(n\), o total é:

\[ m\cdot n \]

Exercício 2

Há \(4\) possibilidades de camiseta e \(3\) possibilidades de calça.

Logo:

\[ 4\cdot 3=12 \]

Podem ser formados \(12\) conjuntos.

Exercício 3

Há \(5\) opções de sanduíche e \(4\) opções de bebida.

Logo:

\[ 5\cdot 4=20 \]

Podem ser formados \(20\) lanches.

Exercício 4

Temos:

\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]

Podem ser montadas \(24\) refeições diferentes.

Exercício 5

Há \(26\) possibilidades para a letra e \(10\) para o algarismo.

Logo:

\[ 26\cdot 10=260 \]

Podem ser formadas \(260\) senhas.

Exercício 6

Cada uma das \(4\) posições pode receber qualquer um dos \(10\) algarismos.

Como há repetição:

\[ 10^4=10000 \]

São possíveis \(10000\) senhas.

Exercício 7

A senha tem \(4\) algarismos distintos.

Para a primeira posição: \(10\) possibilidades.

Para a segunda: \(9\).

Para a terceira: \(8\).

Para a quarta: \(7\).

Logo:

\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040 \]

São possíveis \(5040\) senhas.

Exercício 8

Há \(5\) possibilidades para a dezena e \(5\) para a unidade.

Como há repetição:

\[ 5\cdot 5=25 \]

Podem ser formados \(25\) números.

Exercício 9

Para a dezena há \(5\) possibilidades.

Para a unidade, restam \(4\) possibilidades.

Logo:

\[ 5\cdot 4=20 \]

Podem ser formados \(20\) números.

Exercício 10

A primeira posição não pode ser zero.

Para a centena, há \(4\) possibilidades:

\[ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4 \]

Para a dezena, há \(5\) possibilidades.

Para a unidade, há \(5\) possibilidades.

Logo:

\[ 4\cdot 5\cdot 5=100 \]

Podem ser formados \(100\) números.

Exercício 11

A centena não pode ser zero.

Para a centena, há \(4\) possibilidades.

Depois, restam \(4\) possibilidades para a dezena.

Depois, restam \(3\) possibilidades para a unidade.

Logo:

\[ 4\cdot 4\cdot 3=48 \]

Podem ser formados \(48\) números.

Exercício 12

Os algarismos pares são:

\[ 2,\quad 4 \]

Começamos pela unidade, que deve ser par:

\[ 2 \]

possibilidades.

Depois, para a centena restam:

\[ 4 \]

possibilidades.

Para a dezena restam:

\[ 3 \]

possibilidades.

Logo:

\[ 2\cdot 4\cdot 3=24 \]

Podem ser formados \(24\) números.

Exercício 13

Cada lançamento da moeda tem \(2\) possibilidades.

Como são dois lançamentos:

\[ 2\cdot 2=4 \]

Os resultados são:

\[ CC,\quad CK,\quad KC,\quad KK \]

Exercício 14

A moeda tem \(2\) possibilidades.

O dado tem \(6\) possibilidades.

Logo:

\[ 2\cdot 6=12 \]

Existem \(12\) resultados possíveis.

Exercício 15

Cada questão tem \(2\) possibilidades.

Como são \(10\) questões:

\[ 2^{10}=1024 \]

Há \(1024\) sequências possíveis.

Exercício 16

Cada questão tem \(4\) alternativas.

Como são \(5\) questões:

\[ 4^5=1024 \]

Há \(1024\) gabaritos possíveis.

Exercício 17

A placa tem:

\(2\) letras;
\(3\) algarismos.

Com repetição permitida:

\[ 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]

ou:

\[ 26^2\cdot 10^3 \]

Calculando:

\[ 26^2=676 \]

\[ 10^3=1000 \]

Logo:

\[ 676\cdot 1000=676000 \]

Podem ser formadas \(676000\) placas.

Exercício 18

Temos:

\(5\) possibilidades para a vogal;
\(21\) para a consoante;
\(10\) para o algarismo.

Logo:

\[ 5\cdot 21\cdot 10=1050 \]

São possíveis \(1050\) senhas.

Exercício 19

A pessoa escolherá um salgado ou um doce.

Como são opções alternativas, somamos:

\[ 3+4=7 \]

Há \(7\) opções.

Exercício 20

Para o combo A:

\[ 3\cdot 2=6 \]

Para o combo B:

\[ 4\cdot 3=12 \]

Como a pessoa escolherá combo A ou combo B, somamos:

\[ 6+12=18 \]

Há \(18\) opções ao todo.

Exercício 21

Multiplicamos quando as escolhas acontecem em etapas sucessivas, como escolher uma camiseta e uma calça.

Somamos quando temos casos alternativos, como escolher um salgado ou um doce.

Exercício 22

Um número de três algarismos precisa ter centena diferente de zero.

Se começar com zero, como em \(012\), ele representa o número \(12\), que tem dois algarismos.

Por isso, a primeira posição de um número de três algarismos não pode ser zero.

Síntese da aula

Nesta aula, estudamos o princípio fundamental da contagem.

Vimos que ele permite contar possibilidades em situações formadas por etapas sucessivas.

Se uma escolha tem \(m\) possibilidades na primeira etapa e \(n\) possibilidades na segunda, o total de possibilidades é:

\[ m\cdot n \]

Para várias etapas, multiplicamos todas as possibilidades:

\[ n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots \]

Estudamos situações envolvendo roupas, cardápios, caminhos, senhas, números, placas, provas, moedas e dados.

Também vimos a diferença entre situações com repetição e sem repetição.

Quando a repetição é permitida, o número de possibilidades pode permanecer igual em cada etapa.

Quando a repetição não é permitida, as possibilidades diminuem a cada escolha.

Aprendemos a tomar cuidado com restrições, como números que não podem começar com zero ou algarismos que precisam ser pares.

Também diferenciamos quando devemos multiplicar e quando devemos somar.

Multiplicamos etapas sucessivas.

Somamos casos alternativos.

A ideia central da aula é que contar bem exige organizar o problema em etapas, observar restrições e aplicar a multiplicação de forma cuidadosa.

Próximo passo

Na próxima aula, estudaremos permutações.

Vamos analisar situações em que queremos ordenar elementos, formar filas, organizar sequências e contar arranjos em que todos os objetos são usados.