Porcentagem e variação percentual
Porcentagem e variação percentual
Pergunta disparadora
Como podemos comparar aumentos, descontos e mudanças de valor usando porcentagens de forma clara e correta?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender porcentagem como uma razão de denominador \(100\);
- calcular porcentagens, aumentos, descontos e valores finais;
- interpretar variações percentuais em situações reais, evitando erros comuns.
Desenvolvimento
Nesta unidade, iniciaremos o estudo de Matemática Financeira.
A Matemática Financeira aparece em muitas situações do cotidiano:
- descontos em lojas;
- aumento de preços;
- inflação;
- reajuste salarial;
- juros em empréstimos;
- rendimento de aplicações;
- parcelamentos;
- impostos;
- taxas bancárias;
- comparação de preços;
- crescimento de uma dívida;
- planejamento financeiro.
Antes de estudar juros simples, juros compostos e financiamentos, precisamos dominar uma ferramenta fundamental: a porcentagem.
A porcentagem é uma forma de comparar uma parte com um todo.
Quando dizemos que um produto teve desconto de \(20\%\), estamos dizendo que o desconto corresponde a \(20\) partes de cada \(100\) partes do preço original.
Quando dizemos que um salário aumentou \(10\%\), estamos dizendo que o aumento corresponde a \(10\) partes de cada \(100\) partes do salário anterior.
Por isso, porcentagem é uma linguagem essencial para interpretar variações de valores.
1. O que significa porcentagem?
A palavra porcentagem vem da ideia de “por cento”, isto é, “por \(100\)”.
Assim:
\[ 1\%=\frac{1}{100} \]
Logo:
\[ 20\%=\frac{20}{100} \]
e:
\[ 75\%=\frac{75}{100} \]
Porcentagem é uma razão com denominador \(100\).
2. Porcentagem, fração e número decimal
Toda porcentagem pode ser escrita como fração e como número decimal.
Exemplos:
| Porcentagem | Fração | Decimal |
|---|---|---|
| \(10\%\) | \(\frac{10}{100}\) | \(0{,}10\) |
| \(25\%\) | \(\frac{25}{100}\) | \(0{,}25\) |
| \(50\%\) | \(\frac{50}{100}\) | \(0{,}50\) |
| \(75\%\) | \(\frac{75}{100}\) | \(0{,}75\) |
| \(100\%\) | \(\frac{100}{100}\) | \(1\) |
| \(150\%\) | \(\frac{150}{100}\) | \(1{,}5\) |
Para transformar uma porcentagem em decimal, dividimos por \(100\).
Por exemplo:
\[ 35\%=\frac{35}{100}=0{,}35 \]
3. Transformando decimal em porcentagem
Para transformar um número decimal em porcentagem, multiplicamos por \(100\%\).
Exemplos:
\[ 0{,}2=20\% \]
\[ 0{,}45=45\% \]
\[ 0{,}08=8\% \]
\[ 1{,}3=130\% \]
Observe que porcentagens maiores que \(100\%\) são possíveis.
Elas indicam valores maiores que o todo original.
4. Calculando uma porcentagem de um valor
Para calcular \(p\%\) de um valor, multiplicamos esse valor por:
\[ \frac{p}{100} \]
Ou seja:
\[ p\%\text{ de }V=\frac{p}{100}\cdot V \]
Exemplo
Calcule \(20\%\) de \(80\).
Como:
\[ 20\%=\frac{20}{100}=0{,}20 \]
temos:
\[ 20\%\text{ de }80=0{,}20\cdot 80 \]
\[ =16 \]
Logo:
\[ 20\%\text{ de }80=16 \]
5. Exemplos rápidos
Exemplo 1
Calcule \(10\%\) de \(250\).
\[ 10\%=\frac{10}{100}=0{,}10 \]
\[ 0{,}10\cdot 250=25 \]
Logo:
\[ 10\%\text{ de }250=25 \]
Exemplo 2
Calcule \(25\%\) de \(120\).
\[ 25\%=\frac{25}{100}=0{,}25 \]
\[ 0{,}25\cdot 120=30 \]
Logo:
\[ 25\%\text{ de }120=30 \]
Exemplo 3
Calcule \(50\%\) de \(90\).
\[ 50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2} \]
Logo:
\[ 50\%\text{ de }90=45 \]
6. Algumas porcentagens úteis
Algumas porcentagens aparecem com muita frequência.
| Porcentagem | Fração equivalente | Interpretação |
|---|---|---|
| \(50\%\) | \(\frac{1}{2}\) | metade |
| \(25\%\) | \(\frac{1}{4}\) | quarta parte |
| \(75\%\) | \(\frac{3}{4}\) | três quartos |
| \(10\%\) | \(\frac{1}{10}\) | décima parte |
| \(20\%\) | \(\frac{1}{5}\) | quinta parte |
| \(5\%\) | \(\frac{1}{20}\) | vigésima parte |
Essas equivalências ajudam a fazer cálculos mentalmente.
7. Porcentagem como comparação
A porcentagem também é usada para comparar uma parte com um todo.
Se uma turma tem \(40\) estudantes e \(12\) usam óculos, qual porcentagem da turma usa óculos?
A parte é:
\[ 12 \]
O todo é:
\[ 40 \]
Calculamos:
\[ \frac{12}{40} \]
\[ =0{,}3 \]
Transformando em porcentagem:
\[ 0{,}3=30\% \]
Logo, \(30\%\) da turma usa óculos.
8. Fórmula da porcentagem de uma parte
Se uma parte \(P\) pertence a um total \(T\), então a porcentagem correspondente é:
\[ \frac{P}{T}\cdot 100\% \]
Exemplo
Em uma escola, \(180\) dos \(600\) estudantes estão no ensino médio.
Qual porcentagem dos estudantes está no ensino médio?
\[ \frac{180}{600}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}3\cdot 100\% \]
\[ =30\% \]
Portanto, \(30\%\) dos estudantes estão no ensino médio.
9. Aumentos percentuais
Um aumento percentual ocorre quando um valor cresce em certa porcentagem em relação ao valor inicial.
Por exemplo:
Um produto de R$ \(100\) teve aumento de \(20\%\).
O aumento é:
\[ 20\%\text{ de }100=20 \]
Então o novo preço é:
\[ 100+20=120 \]
Logo, o preço final é:
\[ \text{R\$ }120 \]
10. Fórmula do aumento percentual
Se um valor inicial \(V\) sofre aumento de \(p\%\), o valor final é:
\[ V_f=V\left(1+\frac{p}{100}\right) \]
O fator:
\[ 1+\frac{p}{100} \]
é chamado de fator de aumento.
Exemplo
Um produto de R$ \(80\) teve aumento de \(15\%\).
O fator de aumento é:
\[ 1+\frac{15}{100}=1+0{,}15=1{,}15 \]
Logo:
\[ V_f=80\cdot 1{,}15 \]
\[ V_f=92 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }92 \]
11. Descontos percentuais
Um desconto percentual ocorre quando um valor diminui em certa porcentagem em relação ao valor inicial.
Por exemplo:
Um produto de R$ \(200\) teve desconto de \(30\%\).
O desconto é:
\[ 30\%\text{ de }200=0{,}30\cdot 200 \]
\[ =60 \]
Então o preço final é:
\[ 200-60=140 \]
Logo, o preço final é:
\[ \text{R\$ }140 \]
12. Fórmula do desconto percentual
Se um valor inicial \(V\) sofre desconto de \(p\%\), o valor final é:
\[ V_f=V\left(1-\frac{p}{100}\right) \]
O fator:
\[ 1-\frac{p}{100} \]
é chamado de fator de desconto.
Exemplo
Um produto de R$ \(150\) teve desconto de \(20\%\).
O fator de desconto é:
\[ 1-\frac{20}{100}=1-0{,}20=0{,}80 \]
Logo:
\[ V_f=150\cdot 0{,}80 \]
\[ V_f=120 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }120 \]
13. Fator multiplicativo
O fator multiplicativo é um número que multiplica o valor inicial para obter o valor final.
Aumento
Aumento de \(p\%\):
\[ \text{fator}=1+\frac{p}{100} \]
Desconto
Desconto de \(p\%\):
\[ \text{fator}=1-\frac{p}{100} \]
Exemplos:
| Variação | Fator multiplicativo |
|---|---|
| aumento de \(10\%\) | \(1{,}10\) |
| aumento de \(25\%\) | \(1{,}25\) |
| aumento de \(50\%\) | \(1{,}50\) |
| desconto de \(10\%\) | \(0{,}90\) |
| desconto de \(25\%\) | \(0{,}75\) |
| desconto de \(40\%\) | \(0{,}60\) |
14. Variação percentual
A variação percentual mede quanto um valor mudou em relação ao valor inicial.
Se um valor passou de \(V_i\) para \(V_f\), a variação percentual é:
\[ \frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\% \]
Nessa fórmula:
- \(V_i\) é o valor inicial;
- \(V_f\) é o valor final;
- \(V_f-V_i\) é a variação absoluta.
Se o resultado for positivo, houve aumento.
Se o resultado for negativo, houve queda.
15. Exemplo de aumento percentual
Um produto passou de R$ \(80\) para R$ \(100\).
Qual foi o aumento percentual?
O valor inicial é:
\[ V_i=80 \]
O valor final é:
\[ V_f=100 \]
A variação absoluta é:
\[ 100-80=20 \]
Agora calculamos a variação percentual em relação ao valor inicial:
\[ \frac{20}{80}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}25\cdot 100\% \]
\[ =25\% \]
Logo, o produto teve aumento de:
\[ 25\% \]
16. Exemplo de queda percentual
Um produto passou de R$ \(200\) para R$ \(150\).
Qual foi a variação percentual?
O valor inicial é:
\[ V_i=200 \]
O valor final é:
\[ V_f=150 \]
A variação absoluta é:
\[ 150-200=-50 \]
Agora:
\[ \frac{-50}{200}\cdot 100\% \]
\[ =-0{,}25\cdot 100\% \]
\[ =-25\% \]
Logo, houve queda de:
\[ 25\% \]
ou variação percentual de:
\[ -25\% \]
17. A base da porcentagem importa
Um erro comum é esquecer que porcentagens dependem da base de comparação.
Por exemplo:
Um produto aumenta de R$ \(100\) para R$ \(120\).
O aumento foi:
\[ 20\% \]
pois:
\[ \frac{20}{100}=20\% \]
Agora, para voltar de R$ \(120\) para R$ \(100\), o desconto não é \(20\%\).
A queda é:
\[ 120-100=20 \]
mas a base agora é \(120\).
Logo:
\[ \frac{20}{120}\cdot 100\% \]
\[ \approx 16{,}67\% \]
Portanto, um aumento de \(20\%\) não é desfeito por um desconto de \(20\%\).
18. Aumento seguido de desconto
Considere um produto de R$ \(100\).
Primeiro, ele sofre aumento de \(20\%\).
Depois, sofre desconto de \(20\%\).
Qual é o preço final?
Primeiro passo: aumento de \(20\%\)
Fator de aumento:
\[ 1{,}20 \]
Valor após aumento:
\[ 100\cdot 1{,}20=120 \]
Segundo passo: desconto de \(20\%\)
Fator de desconto:
\[ 0{,}80 \]
Valor final:
\[ 120\cdot 0{,}80=96 \]
Logo, o preço final é:
\[ \text{R\$ }96 \]
Não voltou para R$ \(100\).
Isso acontece porque o desconto de \(20\%\) foi calculado sobre R$ \(120\), não sobre R$ \(100\).
19. Desconto seguido de aumento
Agora considere um produto de R$ \(100\).
Primeiro, ele sofre desconto de \(20\%\).
Depois, sofre aumento de \(20\%\).
Primeiro passo: desconto de \(20\%\)
\[ 100\cdot 0{,}80=80 \]
Segundo passo: aumento de \(20\%\)
\[ 80\cdot 1{,}20=96 \]
O valor final também é:
\[ \text{R\$ }96 \]
A ordem dos fatores \(1{,}20\) e \(0{,}80\) não altera o produto:
\[ 100\cdot 1{,}20\cdot 0{,}80=96 \]
mas o resultado não é o valor inicial.
20. Variações percentuais sucessivas
Quando há variações percentuais sucessivas, multiplicamos os fatores.
Se um valor sofre aumento de \(10\%\) e depois aumento de \(20\%\), o fator total é:
\[ 1{,}10\cdot 1{,}20 \]
Calculando:
\[ 1{,}10\cdot 1{,}20=1{,}32 \]
Isso significa aumento total de:
\[ 32\% \]
e não de \(30\%\).
21. Exemplo de aumentos sucessivos
Um produto custa R$ \(200\).
Ele sofre aumento de \(10\%\) e depois aumento de \(20\%\).
Qual é o preço final?
Primeiro aumento:
\[ 200\cdot 1{,}10=220 \]
Segundo aumento:
\[ 220\cdot 1{,}20=264 \]
Ou diretamente:
\[ 200\cdot 1{,}10\cdot 1{,}20=200\cdot 1{,}32=264 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }264 \]
O aumento total foi de R$ \(64\).
Em relação ao valor inicial:
\[ \frac{64}{200}\cdot 100\%=32\% \]
22. Exemplo de descontos sucessivos
Um produto custa R$ \(500\).
Ele recebe desconto de \(10\%\) e depois desconto de \(20\%\).
Qual é o preço final?
Primeiro desconto:
\[ 500\cdot 0{,}90=450 \]
Segundo desconto:
\[ 450\cdot 0{,}80=360 \]
Ou diretamente:
\[ 500\cdot 0{,}90\cdot 0{,}80=500\cdot 0{,}72=360 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }360 \]
A queda total foi:
\[ 500-360=140 \]
A queda percentual total foi:
\[ \frac{140}{500}\cdot 100\%=28\% \]
Observe que dois descontos sucessivos de \(10\%\) e \(20\%\) não equivalem a desconto de \(30\%\).
Equivalem a desconto total de \(28\%\).
23. Aumento percentual a partir do valor final
Às vezes, conhecemos o valor final e o percentual de aumento, e queremos encontrar o valor inicial.
Exemplo
Após um aumento de \(25\%\), um produto passou a custar R$ \(250\).
Qual era o preço antes do aumento?
Se houve aumento de \(25\%\), o fator de aumento foi:
\[ 1{,}25 \]
Se o preço inicial é \(V\), então:
\[ 1{,}25V=250 \]
Logo:
\[ V=\frac{250}{1{,}25} \]
\[ V=200 \]
O preço inicial era:
\[ \text{R\$ }200 \]
24. Desconto percentual a partir do valor final
Exemplo
Depois de um desconto de \(20\%\), um produto passou a custar R$ \(160\).
Qual era o preço antes do desconto?
Se houve desconto de \(20\%\), o fator de desconto foi:
\[ 0{,}80 \]
Se o preço inicial é \(V\), então:
\[ 0{,}80V=160 \]
Logo:
\[ V=\frac{160}{0{,}80} \]
\[ V=200 \]
O preço inicial era:
\[ \text{R\$ }200 \]
25. Porcentagem em salários
A porcentagem é muito usada em reajustes salariais.
Exemplo
Um salário de R$ \(2400\) recebeu aumento de \(8\%\).
Qual é o novo salário?
Fator de aumento:
\[ 1{,}08 \]
Então:
\[ 2400\cdot 1{,}08=2592 \]
O novo salário é:
\[ \text{R\$ }2592 \]
O aumento foi:
\[ 2592-2400=192 \]
26. Porcentagem em inflação
A inflação mede o aumento médio de preços em certo período.
Exemplo
Um produto custava R$ \(50\) e, após um período de inflação, passou a custar R$ \(56\).
Qual foi a variação percentual?
A variação absoluta é:
\[ 56-50=6 \]
A base é o valor inicial:
\[ 50 \]
Logo:
\[ \frac{6}{50}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}12\cdot 100\% \]
\[ =12\% \]
O preço aumentou:
\[ 12\% \]
27. Porcentagem em descontos comerciais
Uma loja anuncia um produto de R$ \(300\) com desconto de \(15\%\).
Qual é o preço final?
Fator de desconto:
\[ 1-\frac{15}{100}=0{,}85 \]
Logo:
\[ 300\cdot 0{,}85=255 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }255 \]
O desconto foi:
\[ 300-255=45 \]
28. Porcentagem em impostos
Um produto custa R$ \(1000\) antes de um imposto de \(12\%\).
Qual é o preço com imposto?
Fator de aumento:
\[ 1{,}12 \]
Logo:
\[ 1000\cdot 1{,}12=1120 \]
O preço com imposto é:
\[ \text{R\$ }1120 \]
O imposto corresponde a:
\[ 1000\cdot 0{,}12=120 \]
29. Comparando variações percentuais
Suponha dois produtos.
Produto A:
- passou de R$ \(50\) para R$ \(60\).
Produto B:
- passou de R$ \(200\) para R$ \(220\).
Ambos aumentaram R$ \(10\) ou R$ \(20\)?
Vamos calcular.
Produto A:
\[ 60-50=10 \]
Variação percentual:
\[ \frac{10}{50}\cdot 100\%=20\% \]
Produto B:
\[ 220-200=20 \]
Variação percentual:
\[ \frac{20}{200}\cdot 100\%=10\% \]
Embora o Produto B tenha aumentado mais em reais, o Produto A teve maior aumento percentual.
30. Pontos percentuais
É importante diferenciar porcentagem de pontos percentuais.
Se uma taxa passa de \(40\%\) para \(50\%\), a diferença é:
\[ 50\%-40\%=10 \]
pontos percentuais.
Mas o aumento relativo em relação a \(40\%\) é:
\[ \frac{50-40}{40}\cdot 100\% \]
\[ =\frac{10}{40}\cdot 100\% \]
\[ =25\% \]
Portanto:
- a taxa aumentou \(10\) pontos percentuais;
- isso representa aumento relativo de \(25\%\) em relação ao valor inicial da taxa.
31. Exemplo com pontos percentuais
A taxa de aprovação de uma escola passou de \(70\%\) para \(84\%\).
Qual foi a diferença em pontos percentuais?
\[ 84\%-70\%=14 \]
A diferença foi de:
\[ 14 \]
pontos percentuais.
Qual foi o aumento relativo da taxa?
\[ \frac{84-70}{70}\cdot 100\% \]
\[ =\frac{14}{70}\cdot 100\% \]
\[ =20\% \]
Logo, a taxa aumentou \(14\) pontos percentuais, o que corresponde a um aumento relativo de \(20\%\) em relação à taxa inicial.
32. Atividade resolvida integradora
Um produto custava R$ \(400\).
Em janeiro, sofreu aumento de \(15\%\).
Em fevereiro, recebeu desconto de \(10\%\).
Responda:
- qual foi o preço após o aumento?
- qual foi o preço final após o desconto?
- qual foi a variação percentual total em relação ao preço inicial?
Parte 1: preço após o aumento
Aumento de \(15\%\) corresponde ao fator:
\[ 1{,}15 \]
Logo:
\[ 400\cdot 1{,}15=460 \]
O preço após o aumento foi:
\[ \text{R\$ }460 \]
Parte 2: preço após o desconto
Desconto de \(10\%\) corresponde ao fator:
\[ 0{,}90 \]
Logo:
\[ 460\cdot 0{,}90=414 \]
O preço final foi:
\[ \text{R\$ }414 \]
Parte 3: variação percentual total
O valor passou de R$ \(400\) para R$ \(414\).
A variação absoluta foi:
\[ 414-400=14 \]
A variação percentual foi:
\[ \frac{14}{400}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}035\cdot 100\% \]
\[ =3{,}5\% \]
Portanto, houve aumento total de:
\[ 3{,}5\% \]
Também poderíamos usar os fatores:
\[ 1{,}15\cdot 0{,}90=1{,}035 \]
O fator total \(1{,}035\) indica aumento de \(3{,}5\%\).
33. Segunda atividade resolvida
Um salário passou de R$ \(3200\) para R$ \(3520\).
Qual foi o aumento percentual?
O valor inicial é:
\[ V_i=3200 \]
O valor final é:
\[ V_f=3520 \]
A variação absoluta é:
\[ 3520-3200=320 \]
A variação percentual é:
\[ \frac{320}{3200}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}10\cdot 100\% \]
\[ =10\% \]
Logo, o salário aumentou:
\[ 10\% \]
34. Terceira atividade resolvida
Um produto, após desconto de \(25\%\), passou a custar R$ \(180\).
Qual era o preço antes do desconto?
Desconto de \(25\%\) corresponde ao fator:
\[ 0{,}75 \]
Se \(V\) era o preço original:
\[ 0{,}75V=180 \]
Logo:
\[ V=\frac{180}{0{,}75} \]
\[ V=240 \]
O preço original era:
\[ \text{R\$ }240 \]
35. Estratégia geral para problemas de porcentagem
Ao resolver problemas de porcentagem, siga estas etapas.
Etapa 1: identifique o valor inicial
A porcentagem quase sempre é calculada em relação a uma base.
Pergunte:
Qual é o valor de referência?
Etapa 2: transforme a porcentagem em decimal
Exemplo:
\[ 18\%=0{,}18 \]
Etapa 3: identifique se é aumento, desconto ou comparação
- aumento: use \(1+\frac{p}{100}\);
- desconto: use \(1-\frac{p}{100}\);
- comparação: use \(\frac{\text{parte}}{\text{todo}}\cdot 100\%\);
- variação percentual: use \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\%\).
Etapa 4: faça o cálculo
Organize as contas com cuidado.
Etapa 5: interprete o resultado
Verifique se o resultado faz sentido no contexto.
36. Erros comuns
Erro 1: calcular porcentagem sobre a base errada
A porcentagem depende do valor de referência.
Um desconto de \(20\%\) sobre R$ \(120\) não é o mesmo que \(20\%\) sobre R$ \(100\).
Erro 2: somar variações percentuais sucessivas
Aumentos ou descontos sucessivos devem ser tratados por multiplicação de fatores, não por simples soma.
Erro 3: achar que aumento de \(20\%\) e desconto de \(20\%\) se anulam
Eles não se anulam, pois são calculados sobre bases diferentes.
Erro 4: confundir porcentagem com pontos percentuais
Passar de \(40\%\) para \(50\%\) é aumento de \(10\) pontos percentuais, mas aumento relativo de \(25\%\).
Erro 5: esquecer de converter a porcentagem para decimal
Antes de multiplicar, é comum usar:
\[ 15\%=0{,}15 \]
e não \(15\).
Erro 6: interpretar \(150\%\) como valor menor que o todo
Na verdade:
\[ 150\%=1{,}5 \]
ou seja, uma vez e meia o valor de referência.
37. Exercícios
Resolva os exercícios a seguir.
Exercício 1
Escreva \(25\%\) como fração e como número decimal.
Exercício 2
Escreva \(0{,}4\) como porcentagem.
Exercício 3
Calcule \(20\%\) de \(150\).
Exercício 4
Calcule \(35\%\) de \(200\).
Exercício 5
Em uma turma com \(50\) estudantes, \(18\) usam bicicleta para ir à escola. Qual porcentagem da turma usa bicicleta?
Exercício 6
Um produto de R$ \(120\) teve aumento de \(10\%\). Qual é o novo preço?
Exercício 7
Um produto de R$ \(250\) teve desconto de \(20\%\). Qual é o preço final?
Exercício 8
Um salário de R$ \(3000\) recebeu aumento de \(8\%\). Qual é o novo salário?
Exercício 9
Um produto passou de R$ \(80\) para R$ \(100\). Qual foi o aumento percentual?
Exercício 10
Um produto passou de R$ \(500\) para R$ \(400\). Qual foi a variação percentual?
Exercício 11
Um produto custa R$ \(200\). Ele sofre aumento de \(15\%\) e depois desconto de \(10\%\). Qual é o preço final?
Exercício 12
Um produto custa R$ \(300\). Ele sofre dois descontos sucessivos: \(10\%\) e \(20\%\). Qual é o preço final?
Exercício 13
Um produto, após aumento de \(25\%\), passou a custar R$ \(500\). Qual era o preço inicial?
Exercício 14
Um produto, após desconto de \(30\%\), passou a custar R$ \(210\). Qual era o preço inicial?
Exercício 15
Uma taxa passou de \(20\%\) para \(28\%\). Qual foi a diferença em pontos percentuais?
Exercício 16
Na situação do exercício anterior, qual foi o aumento relativo percentual da taxa?
Exercício 17
Explique por que aumento de \(20\%\) seguido de desconto de \(20\%\) não volta ao valor inicial.
Exercício 18
Um produto custa R$ \(100\). Ele sofre aumento de \(20\%\) e depois desconto de \(20\%\). Qual é o preço final?
Exercício 19
Um produto custa R$ \(100\). Ele sofre aumento de \(10\%\) e depois aumento de \(30\%\). Qual é o aumento percentual total?
Exercício 20
Um produto passou de R$ \(240\) para R$ \(300\). Qual foi o aumento percentual?
38. Gabarito comentado
Exercício 1
\[ 25\%=\frac{25}{100} \]
Simplificando:
\[ 25\%=\frac{1}{4} \]
Como decimal:
\[ 25\%=0{,}25 \]
Exercício 2
\[ 0{,}4=40\% \]
Exercício 3
\[ 20\%\text{ de }150=0{,}20\cdot 150 \]
\[ =30 \]
Exercício 4
\[ 35\%\text{ de }200=0{,}35\cdot 200 \]
\[ =70 \]
Exercício 5
A parte é:
\[ 18 \]
O total é:
\[ 50 \]
Logo:
\[ \frac{18}{50}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}36\cdot 100\% \]
\[ =36\% \]
Portanto, \(36\%\) da turma usa bicicleta.
Exercício 6
Aumento de \(10\%\) corresponde ao fator:
\[ 1{,}10 \]
Logo:
\[ 120\cdot 1{,}10=132 \]
O novo preço é:
\[ \text{R\$ }132 \]
Exercício 7
Desconto de \(20\%\) corresponde ao fator:
\[ 0{,}80 \]
Logo:
\[ 250\cdot 0{,}80=200 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }200 \]
Exercício 8
Aumento de \(8\%\) corresponde ao fator:
\[ 1{,}08 \]
Logo:
\[ 3000\cdot 1{,}08=3240 \]
O novo salário é:
\[ \text{R\$ }3240 \]
Exercício 9
A variação absoluta foi:
\[ 100-80=20 \]
A base é:
\[ 80 \]
Logo:
\[ \frac{20}{80}\cdot 100\% \]
\[ =25\% \]
O aumento foi de \(25\%\).
Exercício 10
A variação absoluta foi:
\[ 400-500=-100 \]
A base é:
\[ 500 \]
Logo:
\[ \frac{-100}{500}\cdot 100\% \]
\[ =-20\% \]
Houve queda de \(20\%\).
Exercício 11
Aumento de \(15\%\):
\[ 200\cdot 1{,}15=230 \]
Desconto de \(10\%\):
\[ 230\cdot 0{,}90=207 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }207 \]
Exercício 12
Primeiro desconto:
\[ 300\cdot 0{,}90=270 \]
Segundo desconto:
\[ 270\cdot 0{,}80=216 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }216 \]
Também:
\[ 300\cdot 0{,}90\cdot 0{,}80=216 \]
Exercício 13
Aumento de \(25\%\) corresponde ao fator:
\[ 1{,}25 \]
Se \(V\) é o preço inicial:
\[ 1{,}25V=500 \]
Logo:
\[ V=\frac{500}{1{,}25} \]
\[ V=400 \]
O preço inicial era:
\[ \text{R\$ }400 \]
Exercício 14
Desconto de \(30\%\) corresponde ao fator:
\[ 0{,}70 \]
Se \(V\) é o preço inicial:
\[ 0{,}70V=210 \]
Logo:
\[ V=\frac{210}{0{,}70} \]
\[ V=300 \]
O preço inicial era:
\[ \text{R\$ }300 \]
Exercício 15
A taxa passou de \(20\%\) para \(28\%\).
A diferença foi:
\[ 28\%-20\%=8 \]
pontos percentuais.
Exercício 16
O aumento relativo foi calculado em relação à taxa inicial de \(20\%\).
\[ \frac{28-20}{20}\cdot 100\% \]
\[ =\frac{8}{20}\cdot 100\% \]
\[ =40\% \]
Logo, o aumento relativo foi de \(40\%\).
Exercício 17
Porque o aumento e o desconto são calculados sobre bases diferentes.
Se um valor aumenta \(20\%\), a nova base fica maior.
Depois, um desconto de \(20\%\) será calculado sobre essa nova base, não sobre o valor original.
Por isso, os efeitos não se anulam.
Exercício 18
Aumento de \(20\%\):
\[ 100\cdot 1{,}20=120 \]
Desconto de \(20\%\):
\[ 120\cdot 0{,}80=96 \]
O preço final é:
\[ \text{R\$ }96 \]
Exercício 19
Fator total:
\[ 1{,}10\cdot 1{,}30=1{,}43 \]
O fator \(1{,}43\) indica aumento total de:
\[ 43\% \]
Exercício 20
A variação absoluta foi:
\[ 300-240=60 \]
A base é:
\[ 240 \]
Logo:
\[ \frac{60}{240}\cdot 100\% \]
\[ =0{,}25\cdot 100\% \]
\[ =25\% \]
O aumento foi de:
\[ 25\% \]
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos porcentagem e variação percentual.
Vimos que porcentagem significa “por cento” e pode ser escrita como fração ou número decimal:
\[ p\%=\frac{p}{100} \]
Aprendemos a calcular porcentagens de valores, a transformar frações e decimais em porcentagens e a interpretar porcentagens como comparação entre parte e todo.
Também estudamos aumentos e descontos percentuais.
Para aumento de \(p\%\), usamos o fator:
\[ 1+\frac{p}{100} \]
Para desconto de \(p\%\), usamos o fator:
\[ 1-\frac{p}{100} \]
Aprendemos que a variação percentual entre um valor inicial \(V_i\) e um valor final \(V_f\) é dada por:
\[ \frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\% \]
Também vimos que porcentagens sucessivas devem ser tratadas por multiplicação de fatores, e não por soma direta.
Por fim, diferenciamos porcentagem de pontos percentuais e discutimos erros comuns, como calcular sobre a base errada ou pensar que aumento e desconto iguais se anulam.
A ideia central da aula é que porcentagem sempre depende de uma base de referência.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos juros simples.
Vamos entender como uma quantia cresce ao longo do tempo quando os juros são calculados sempre sobre o capital inicial.