Ângulos, polígonos e paralelismo

Ângulos, polígonos e paralelismo

Pergunta disparadora

Como as ideias de ângulo, paralelismo e polígonos ajudam a compreender formas geométricas, construções, mapas, desenhos técnicos e objetos do cotidiano?

Objetivos da aula

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

• reconhecer e classificar ângulos, identificando relações entre eles;
• compreender propriedades básicas de retas paralelas cortadas por uma transversal;
• identificar polígonos, seus elementos e propriedades iniciais, especialmente em relação à soma dos ângulos internos.

Desenvolvimento

Nesta unidade, começaremos o estudo de Geometria Plana e Espacial.

A geometria está presente em muitos aspectos do cotidiano:

• na construção de casas, prédios e pontes;
• no desenho de mapas e plantas;
• na organização de mosaicos, pisos e azulejos;
• no formato de placas, telas, embalagens e objetos;
• na arte, na arquitetura e no design;
• na física, na engenharia e na computação gráfica.

Nesta primeira aula, estudaremos três ideias fundamentais da geometria plana:

• ângulos;
• polígonos;
• paralelismo.

Esses conceitos serão a base para estudar triângulos, quadriláteros, circunferências, áreas, volumes e relações métricas nas próximas aulas.

1. O que é um ângulo?

Um ângulo é a abertura formada por duas semirretas que têm a mesma origem.

Essa origem comum é chamada de vértice do ângulo.

As duas semirretas são chamadas de lados do ângulo.

Podemos imaginar um ângulo como a abertura de uma porta, o giro de um ponteiro ou a inclinação entre duas ruas que se cruzam.

Por exemplo, quando duas ruas se encontram em uma esquina, elas formam ângulos.

Quando os ponteiros de um relógio indicam certo horário, eles também formam um ângulo.

2. Medida de ângulos

A medida de um ângulo costuma ser dada em graus, indicados pelo símbolo:

\[ ^\circ \]

Uma volta completa mede:

\[ 360^\circ \]

Meia volta mede:

\[ 180^\circ \]

Um quarto de volta mede:

\[ 90^\circ \]

O ângulo de \(90^\circ\) é muito importante e recebe o nome de ângulo reto.

3. Classificação dos ângulos

Os ângulos podem ser classificados de acordo com sua medida.

Ângulo nulo

É o ângulo de medida:

\[ 0^\circ \]

Nesse caso, não há abertura entre os lados.

Ângulo agudo

É o ângulo cuja medida é maior que \(0^\circ\) e menor que \(90^\circ\).

Ou seja:

\[ 0^\circ < \alpha < 90^\circ \]

Exemplos:

\[ 30^\circ, \quad 45^\circ, \quad 60^\circ \]

Ângulo reto

É o ângulo cuja medida é:

\[ 90^\circ \]

Ele aparece em cantos de paredes, folhas de papel, telas e muitos objetos retangulares.

Ângulo obtuso

É o ângulo cuja medida é maior que \(90^\circ\) e menor que \(180^\circ\).

Ou seja:

\[ 90^\circ < \alpha < 180^\circ \]

Exemplos:

\[ 100^\circ, \quad 120^\circ, \quad 150^\circ \]

Ângulo raso

É o ângulo cuja medida é:

\[ 180^\circ \]

Ele corresponde a meia volta.

Ângulo côncavo

É o ângulo cuja medida é maior que \(180^\circ\) e menor que \(360^\circ\).

Ou seja:

\[ 180^\circ < \alpha < 360^\circ \]

Ângulo completo

É o ângulo cuja medida é:

\[ 360^\circ \]

Ele corresponde a uma volta completa.

4. Ângulos complementares

Dois ângulos são chamados de complementares quando a soma de suas medidas é:

\[ 90^\circ \]

Exemplo 1

Os ângulos de \(30^\circ\) e \(60^\circ\) são complementares, pois:

\[ 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \]

Exemplo 2

Se um ângulo mede \(25^\circ\), seu complemento mede:

\[ 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \]

Portanto, o complemento de \(25^\circ\) é \(65^\circ\).

5. Ângulos suplementares

Dois ângulos são chamados de suplementares quando a soma de suas medidas é:

\[ 180^\circ \]

Exemplo 1

Os ângulos de \(70^\circ\) e \(110^\circ\) são suplementares, pois:

\[ 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \]

Exemplo 2

Se um ângulo mede \(135^\circ\), seu suplemento mede:

\[ 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]

Portanto, o suplemento de \(135^\circ\) é \(45^\circ\).

6. Ângulos opostos pelo vértice

Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos.

Os ângulos que ficam frente a frente são chamados de ângulos opostos pelo vértice.

Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Exemplo

Se duas retas se cruzam e um dos ângulos mede:

\[ 40^\circ \]

então o ângulo oposto pelo vértice também mede:

\[ 40^\circ \]

Os ângulos adjacentes a ele são suplementares, ou seja, somam \(180^\circ\).

Logo, cada um deles mede:

\[ 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]

Assim, as quatro medidas são:

\[ 40^\circ, \quad 140^\circ, \quad 40^\circ, \quad 140^\circ \]

7. Retas paralelas

Duas retas são paralelas quando estão no mesmo plano e não se cruzam.

Podemos imaginar os trilhos de uma ferrovia em uma representação plana idealizada. Eles seguem lado a lado, mantendo a mesma direção, sem se encontrar.

Indicamos que as retas \(r\) e \(s\) são paralelas escrevendo:

\[ r \parallel s \]

O paralelismo é muito importante em geometria, arquitetura, desenho técnico e construção civil.

8. Retas concorrentes e perpendiculares

Duas retas são concorrentes quando se cruzam em um ponto.

Se esse cruzamento forma ângulos retos, dizemos que as retas são perpendiculares.

Indicamos que as retas \(r\) e \(s\) são perpendiculares escrevendo:

\[ r \perp s \]

Quando duas retas são perpendiculares, os quatro ângulos formados medem:

\[ 90^\circ \]

9. Retas paralelas cortadas por uma transversal

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta, chamada transversal, formam-se vários ângulos com relações especiais.

Considere duas retas paralelas:

\[ r \parallel s \]

e uma transversal \(t\) que cruza as duas.

Nessa situação, aparecem pares de ângulos que possuem medidas iguais ou suplementares.

Entre os principais pares, temos:

• ângulos correspondentes;
• ângulos alternos internos;
• ângulos alternos externos;
• ângulos colaterais internos.

10. Ângulos correspondentes

Ângulos correspondentes ocupam a mesma posição relativa nas interseções da transversal com as retas paralelas.

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos correspondentes têm a mesma medida.

Exemplo

Se um ângulo correspondente mede:

\[ 65^\circ \]

então o outro ângulo correspondente também mede:

\[ 65^\circ \]

Essa propriedade é muito usada para calcular medidas desconhecidas em figuras geométricas.

11. Ângulos alternos internos

Ângulos alternos internos ficam entre as duas retas paralelas e em lados opostos da transversal.

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos têm a mesma medida.

Exemplo

Se um ângulo alterno interno mede:

\[ 110^\circ \]

então o outro ângulo alterno interno também mede:

\[ 110^\circ \]

12. Ângulos alternos externos

Ângulos alternos externos ficam fora das duas retas paralelas e em lados opostos da transversal.

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos alternos externos têm a mesma medida.

Exemplo

Se um ângulo alterno externo mede:

\[ 40^\circ \]

então o outro ângulo alterno externo também mede:

\[ 40^\circ \]

13. Ângulos colaterais internos

Ângulos colaterais internos ficam entre as duas retas paralelas e no mesmo lado da transversal.

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos colaterais internos são suplementares.

Isso significa que sua soma é:

\[ 180^\circ \]

Exemplo

Se um ângulo colateral interno mede:

\[ 75^\circ \]

então o outro mede:

\[ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]

Portanto, o outro ângulo mede:

\[ 105^\circ \]

14. Exemplo resolvido com paralelismo

Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um dos ângulos formados mede \(120^\circ\).

Queremos determinar as medidas dos demais ângulos.

Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

Então, o ângulo oposto também mede:

\[ 120^\circ \]

Os ângulos adjacentes a ele são suplementares.

Logo, cada um deles mede:

\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Assim, em uma interseção aparecem ângulos de:

\[ 120^\circ \]

e:

\[ 60^\circ \]

Como as retas são paralelas, os ângulos correspondentes e alternos terão as mesmas medidas nas duas interseções.

Portanto, todos os ângulos formados serão de dois tipos:

\[ 120^\circ \]

ou:

\[ 60^\circ \]

15. O que é um polígono?

Um polígono é uma figura plana fechada formada por segmentos de reta.

Esses segmentos são chamados de lados.

Os pontos de encontro entre dois lados consecutivos são chamados de vértices.

Exemplos de polígonos:

• triângulo;
• quadrilátero;
• pentágono;
• hexágono;
• heptágono;
• octógono.

Figuras com curvas, como circunferências e elipses, não são polígonos.

16. Elementos de um polígono

Os principais elementos de um polígono são:

• lados;
• vértices;
• ângulos internos;
• ângulos externos;
• diagonais.

Lados

São os segmentos que formam o contorno do polígono.

Vértices

São os pontos de encontro entre lados consecutivos.

Ângulos internos

São os ângulos formados dentro do polígono por dois lados consecutivos.

Ângulos externos

São os ângulos formados entre um lado do polígono e o prolongamento do lado vizinho.

Diagonais

São segmentos que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono.

17. Classificação dos polígonos pelo número de lados

Os polígonos podem ser classificados pelo número de lados.

Número de lados	Nome do polígono
\(3\)	triângulo
\(4\)	quadrilátero
\(5\)	pentágono
\(6\)	hexágono
\(7\)	heptágono
\(8\)	octógono
\(9\)	eneágono
\(10\)	decágono

Um polígono com \(n\) lados pode ser chamado genericamente de polígono de \(n\) lados.

18. Polígonos convexos e não convexos

Um polígono é convexo quando qualquer segmento que liga dois pontos de seu interior permanece inteiramente dentro do polígono.

De modo mais simples, em um polígono convexo, não há “reentrâncias”.

Um polígono é não convexo, ou côncavo, quando possui alguma reentrância.

Nesta aula, vamos trabalhar principalmente com polígonos convexos.

19. Polígonos regulares

Um polígono é regular quando todos os seus lados têm a mesma medida e todos os seus ângulos internos têm a mesma medida.

Exemplos:

• triângulo equilátero;
• quadrado;
• pentágono regular;
• hexágono regular.

Um polígono pode ter todos os lados iguais sem ter todos os ângulos iguais, dependendo do caso. Para ser regular, precisa satisfazer as duas condições:

• lados iguais;
• ângulos internos iguais.

20. Soma dos ângulos internos de um triângulo

Um resultado fundamental da geometria plana é:

\[ \text{A soma dos ângulos internos de um triângulo é } 180^\circ. \]

Se os ângulos internos de um triângulo são \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\), então:

\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]

Exemplo

Em um triângulo, dois ângulos medem:

\[ 50^\circ \]

e:

\[ 70^\circ \]

O terceiro ângulo mede:

\[ 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \]

\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Portanto, o terceiro ângulo mede:

\[ 60^\circ \]

21. Soma dos ângulos internos de um polígono

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de \(n\) lados é dada por:

\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]

Essa fórmula pode ser entendida dividindo o polígono em triângulos.

Um quadrilátero pode ser dividido em \(2\) triângulos.

Logo:

\[ S = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \]

Um pentágono pode ser dividido em \(3\) triângulos.

Logo:

\[ S = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \]

Um hexágono pode ser dividido em \(4\) triângulos.

Logo:

\[ S = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]

De modo geral, um polígono de \(n\) lados pode ser dividido em:

\[ n - 2 \]

triângulos.

Por isso:

\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]

22. Exemplos de soma dos ângulos internos

Exemplo 1: quadrilátero

Um quadrilátero tem \(4\) lados.

Logo:

\[ S = (4 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 2 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 360^\circ \]

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é:

\[ 360^\circ \]

Exemplo 2: pentágono

Um pentágono tem \(5\) lados.

Logo:

\[ S = (5 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 3 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 540^\circ \]

A soma dos ângulos internos de um pentágono é:

\[ 540^\circ \]

Exemplo 3: octógono

Um octógono tem \(8\) lados.

Logo:

\[ S = (8 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 6 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 1080^\circ \]

A soma dos ângulos internos de um octógono é:

\[ 1080^\circ \]

23. Ângulo interno de um polígono regular

Em um polígono regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida.

Então, para encontrar a medida de cada ângulo interno, dividimos a soma dos ângulos internos pelo número de lados.

Se o polígono regular tem \(n\) lados, então cada ângulo interno mede:

\[ A_i = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \]

Exemplo 1: quadrado

Um quadrado é um polígono regular de \(4\) lados.

Logo:

\[ A_i = \frac{(4 - 2) \cdot 180^\circ}{4} \]

\[ A_i = \frac{360^\circ}{4} \]

\[ A_i = 90^\circ \]

Cada ângulo interno do quadrado mede:

\[ 90^\circ \]

Exemplo 2: hexágono regular

Um hexágono regular tem \(6\) lados.

Logo:

\[ A_i = \frac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} \]

\[ A_i = \frac{720^\circ}{6} \]

\[ A_i = 120^\circ \]

Cada ângulo interno de um hexágono regular mede:

\[ 120^\circ \]

24. Ângulos externos de polígonos convexos

Um ângulo externo é formado por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado seguinte.

Em qualquer polígono convexo, a soma de um conjunto de ângulos externos, um em cada vértice, é:

\[ 360^\circ \]

Esse resultado vale para qualquer número de lados.

Em um polígono regular, todos os ângulos externos têm a mesma medida.

Assim, se o polígono regular tem \(n\) lados, cada ângulo externo mede:

\[ A_e = \frac{360^\circ}{n} \]

Exemplo

Em um pentágono regular:

\[ A_e = \frac{360^\circ}{5} \]

\[ A_e = 72^\circ \]

Cada ângulo externo mede:

\[ 72^\circ \]

25. Relação entre ângulo interno e ângulo externo

Em um polígono convexo, o ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele são suplementares.

Ou seja:

\[ A_i + A_e = 180^\circ \]

Exemplo

No hexágono regular, cada ângulo interno mede:

\[ 120^\circ \]

Então cada ângulo externo adjacente mede:

\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Também podemos calcular diretamente:

\[ A_e = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]

26. Diagonais de um polígono

Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.

O número de diagonais de um polígono de \(n\) lados é:

\[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \]

Essa fórmula aparece porque, a partir de cada vértice, podemos ligar diagonais a todos os vértices, exceto:

• ele mesmo;
• os dois vértices vizinhos.

Assim, de cada vértice saem:

\[ n - 3 \]

diagonais.

Como temos \(n\) vértices, obtemos:

\[ n(n - 3) \]

Mas cada diagonal foi contada duas vezes, uma a partir de cada extremidade.

Por isso, dividimos por \(2\):

\[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \]

Exemplo 1: pentágono

Para \(n = 5\):

\[ D = \frac{5(5 - 3)}{2} \]

\[ D = \frac{5 \cdot 2}{2} \]

\[ D = 5 \]

Um pentágono tem \(5\) diagonais.

Exemplo 2: hexágono

Para \(n = 6\):

\[ D = \frac{6(6 - 3)}{2} \]

\[ D = \frac{6 \cdot 3}{2} \]

\[ D = 9 \]

Um hexágono tem \(9\) diagonais.

27. Atividade resolvida

Um polígono regular possui \(8\) lados.

Determine:

• o nome do polígono;
• a soma dos ângulos internos;
• a medida de cada ângulo interno;
• a medida de cada ângulo externo;
• o número de diagonais.

Parte 1: nome do polígono

Um polígono de \(8\) lados é chamado de octógono.

Parte 2: soma dos ângulos internos

Usamos:

\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]

Como \(n = 8\):

\[ S = (8 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 6 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 1080^\circ \]

Parte 3: medida de cada ângulo interno

Como o polígono é regular, todos os ângulos internos são iguais.

Logo:

\[ A_i = \frac{1080^\circ}{8} \]

\[ A_i = 135^\circ \]

Parte 4: medida de cada ângulo externo

Podemos calcular por:

\[ A_e = \frac{360^\circ}{8} \]

\[ A_e = 45^\circ \]

Também podemos verificar:

\[ 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ \]

Parte 5: número de diagonais

Usamos:

\[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \]

Como \(n = 8\):

\[ D = \frac{8(8 - 3)}{2} \]

\[ D = \frac{8 \cdot 5}{2} \]

\[ D = 20 \]

Portanto, um octógono regular tem:

• soma dos ângulos internos igual a \(1080^\circ\);
• cada ângulo interno igual a \(135^\circ\);
• cada ângulo externo igual a \(45^\circ\);
• \(20\) diagonais.

28. Exercícios

Resolva os exercícios a seguir.

Exercício 1

Classifique um ângulo de \(35^\circ\) como agudo, reto, obtuso, raso ou côncavo.

Exercício 2

Classifique um ângulo de \(90^\circ\).

Exercício 3

Classifique um ângulo de \(125^\circ\).

Exercício 4

Qual é o complemento de um ângulo de \(40^\circ\)?

Exercício 5

Qual é o suplemento de um ângulo de \(115^\circ\)?

Exercício 6

Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais ou suplementares?

Exercício 7

Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um ângulo correspondente mede \(68^\circ\). Quanto mede o outro ângulo correspondente?

Exercício 8

Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um ângulo colateral interno mede \(110^\circ\). Quanto mede o outro ângulo colateral interno?

Exercício 9

O que é um polígono?

Exercício 10

Classifique um polígono de \(5\) lados.

Exercício 11

Classifique um polígono de \(8\) lados.

Exercício 12

Qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo?

Exercício 13

Em um triângulo, dois ângulos medem \(45^\circ\) e \(65^\circ\). Quanto mede o terceiro ângulo?

Exercício 14

Calcule a soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

Exercício 15

Calcule a soma dos ângulos internos de um pentágono.

Exercício 16

Calcule a soma dos ângulos internos de um hexágono.

Exercício 17

Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.

Exercício 18

Quanto mede cada ângulo interno de um pentágono regular?

Exercício 19

Quanto mede cada ângulo externo de um hexágono regular?

Exercício 20

Quanto mede cada ângulo interno de um octógono regular?

Exercício 21

Quantas diagonais tem um pentágono?

Exercício 22

Quantas diagonais tem um decágono?

29. Gabarito comentado

Exercício 1

Um ângulo de \(35^\circ\) é agudo, pois:

\[ 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \]

Exercício 2

Um ângulo de \(90^\circ\) é reto.

Exercício 3

Um ângulo de \(125^\circ\) é obtuso, pois:

\[ 90^\circ < 125^\circ < 180^\circ \]

Exercício 4

O complemento de \(40^\circ\) é:

\[ 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]

Exercício 5

O suplemento de \(115^\circ\) é:

\[ 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \]

Exercício 6

Ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais.

Exercício 7

Ângulos correspondentes formados por retas paralelas cortadas por uma transversal são iguais.

Logo, o outro ângulo correspondente mede:

\[ 68^\circ \]

Exercício 8

Ângulos colaterais internos são suplementares.

Logo:

\[ 110^\circ + x = 180^\circ \]

Então:

\[ x = 70^\circ \]

O outro ângulo mede:

\[ 70^\circ \]

Exercício 9

Um polígono é uma figura plana fechada formada por segmentos de reta.

Exercício 10

Um polígono de \(5\) lados é um pentágono.

Exercício 11

Um polígono de \(8\) lados é um octógono.

Exercício 12

A soma dos ângulos internos de um triângulo é:

\[ 180^\circ \]

Exercício 13

A soma dos ângulos internos de um triângulo é \(180^\circ\).

Logo:

\[ 45^\circ + 65^\circ + x = 180^\circ \]

\[ 110^\circ + x = 180^\circ \]

\[ x = 70^\circ \]

O terceiro ângulo mede:

\[ 70^\circ \]

Exercício 14

Um quadrilátero tem \(4\) lados.

Usamos:

\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]

Logo:

\[ S = (4 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 360^\circ \]

Exercício 15

Um pentágono tem \(5\) lados.

\[ S = (5 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 3 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 540^\circ \]

Exercício 16

Um hexágono tem \(6\) lados.

\[ S = (6 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 4 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 720^\circ \]

Exercício 17

Um decágono tem \(10\) lados.

\[ S = (10 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 8 \cdot 180^\circ \]

\[ S = 1440^\circ \]

Exercício 18

Um pentágono regular tem \(5\) lados.

A soma dos ângulos internos é:

\[ S = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ \]

Como todos os ângulos são iguais:

\[ A_i = \frac{540^\circ}{5} \]

\[ A_i = 108^\circ \]

Cada ângulo interno mede:

\[ 108^\circ \]

Exercício 19

Em um polígono regular, cada ângulo externo mede:

\[ A_e = \frac{360^\circ}{n} \]

Para um hexágono regular, \(n = 6\):

\[ A_e = \frac{360^\circ}{6} \]

\[ A_e = 60^\circ \]

Cada ângulo externo mede:

\[ 60^\circ \]

Exercício 20

Um octógono regular tem \(8\) lados.

A soma dos ângulos internos é:

\[ S = (8 - 2) \cdot 180^\circ \]

\[ S = 1080^\circ \]

Cada ângulo interno mede:

\[ A_i = \frac{1080^\circ}{8} \]

\[ A_i = 135^\circ \]

Exercício 21

O número de diagonais de um polígono de \(n\) lados é:

\[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \]

Para um pentágono, \(n = 5\):

\[ D = \frac{5(5 - 3)}{2} \]

\[ D = \frac{5 \cdot 2}{2} \]

\[ D = 5 \]

Um pentágono tem \(5\) diagonais.

Exercício 22

Para um decágono, \(n = 10\):

\[ D = \frac{10(10 - 3)}{2} \]

\[ D = \frac{10 \cdot 7}{2} \]

\[ D = 35 \]

Um decágono tem \(35\) diagonais.

Síntese da aula

Nesta aula, iniciamos o estudo da Geometria Plana e Espacial por meio de três conceitos fundamentais: ângulos, polígonos e paralelismo.

Vimos que ângulos medem aberturas entre semirretas e podem ser classificados como agudos, retos, obtusos, rasos, côncavos ou completos. Também estudamos ângulos complementares, suplementares e opostos pelo vértice.

Em seguida, estudamos retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. Vimos que, quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, surgem relações importantes entre ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos e colaterais internos.

Por fim, estudamos os polígonos. Identificamos seus elementos principais, classificamos polígonos pelo número de lados e estudamos fórmulas importantes, como a soma dos ângulos internos:

\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]

Também vimos a medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares e a fórmula do número de diagonais:

\[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \]

Essas ideias serão fundamentais para compreender triângulos, quadriláteros, áreas, perímetros e figuras espaciais nas próximas aulas.

Próximo passo

Na próxima aula, estudaremos triângulos e quadriláteros.

Vamos analisar classificações, propriedades, soma de ângulos, relações entre lados e ângulos, tipos especiais de quadriláteros e aplicações em problemas geométricos.