Prismas
Prismas
Pergunta disparadora
Como calcular a quantidade de material necessária para construir uma caixa, uma embalagem ou um bloco com faces planas?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- reconhecer prismas e identificar seus principais elementos;
- calcular área lateral, área total e volume de prismas;
- resolver problemas contextualizados envolvendo embalagens, blocos, reservatórios e objetos tridimensionais.
Desenvolvimento
Nas unidades anteriores, estudamos a geometria plana: triângulos, polígonos, áreas, circunferências e relações métricas.
Agora vamos avançar para a Geometria Espacial.
A geometria espacial estuda figuras em três dimensões.
Essas figuras possuem:
- comprimento;
- largura;
- altura.
Em vez de trabalharmos apenas com áreas de regiões planas, passaremos a estudar também:
- faces;
- arestas;
- vértices;
- superfícies;
- volumes;
- capacidade;
- planificações.
Nesta aula, estudaremos os prismas, sólidos geométricos muito presentes no cotidiano.
Exemplos de objetos que lembram prismas:
- caixas;
- embalagens;
- tijolos;
- blocos de concreto;
- aquários;
- reservatórios;
- livros;
- prédios;
- salas;
- dados;
- barras de chocolate;
- lápis com seção hexagonal.
A ideia central é que muitos objetos podem ser aproximados por prismas, e isso nos permite calcular áreas e volumes de maneira organizada.
1. O que é um prisma?
Um prisma é um sólido geométrico que possui duas bases paralelas e congruentes, ligadas por faces laterais.
As bases são polígonos iguais e estão em planos paralelos.
As faces laterais geralmente são paralelogramos.
Quando o prisma é reto, as faces laterais são retângulos.
De maneira simples, podemos pensar em um prisma como um polígono que foi “empurrado” em uma direção, formando um sólido.
Por exemplo:
- se empurramos um retângulo, obtemos um bloco retangular;
- se empurramos um triângulo, obtemos um prisma triangular;
- se empurramos um hexágono, obtemos um prisma hexagonal.
2. Elementos de um prisma
Os principais elementos de um prisma são:
- bases;
- faces laterais;
- arestas;
- vértices;
- altura.
Bases
As bases são dois polígonos congruentes e paralelos.
Elas determinam o tipo de prisma.
Se a base é triangular, temos um prisma triangular.
Se a base é quadrangular, temos um prisma quadrangular.
Se a base é pentagonal, temos um prisma pentagonal.
Faces laterais
As faces laterais ligam uma base à outra.
Em prismas retos, essas faces são retângulos.
Arestas
As arestas são os segmentos de reta onde duas faces se encontram.
Existem arestas das bases e arestas laterais.
Vértices
Os vértices são os pontos onde as arestas se encontram.
Altura
A altura do prisma é a distância entre os planos das duas bases.
Em um prisma reto, a altura coincide com a medida das arestas laterais.
3. Prismas retos e prismas oblíquos
Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos.
Prisma reto
Um prisma é reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases.
Nesse caso, as faces laterais são retângulos.
A maioria dos problemas escolares trabalha com prismas retos.
Prisma oblíquo
Um prisma é oblíquo quando suas arestas laterais não são perpendiculares às bases.
Nesse caso, as faces laterais são paralelogramos inclinados.
Nesta aula, daremos maior atenção aos prismas retos.
4. Nome dos prismas
O nome de um prisma depende do polígono que forma sua base.
| Base | Nome do prisma |
|---|---|
| triângulo | prisma triangular |
| quadrilátero | prisma quadrangular |
| pentágono | prisma pentagonal |
| hexágono | prisma hexagonal |
| octógono | prisma octogonal |
Um caso muito importante é o prisma de base retangular, também chamado de paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.
Outro caso especial é o cubo.
5. Paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é um prisma cujas faces são retângulos.
Ele aparece em objetos como:
- caixas;
- tijolos;
- livros;
- salas;
- armários;
- blocos;
- embalagens.
Se suas dimensões são:
- comprimento \(a\);
- largura \(b\);
- altura \(h\),
então podemos calcular sua área e seu volume de forma simples.
6. Cubo
O cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo.
No cubo, todas as arestas têm a mesma medida.
Se a aresta do cubo mede \(a\), então todas as faces são quadrados de lado \(a\).
O cubo possui:
- \(6\) faces quadradas;
- \(12\) arestas;
- \(8\) vértices.
Exemplos de objetos que lembram cubos:
- dados;
- cubos mágicos;
- caixas cúbicas;
- blocos de montar.
7. Relação entre número de lados da base e elementos do prisma
Se a base de um prisma tem \(n\) lados, então:
- o prisma possui \(2n\) vértices;
- o prisma possui \(3n\) arestas;
- o prisma possui \(n+2\) faces.
Exemplo 1: prisma triangular
A base tem:
\[ n=3 \]
Então:
\[ V=2n=2\cdot 3=6 \]
\[ A=3n=3\cdot 3=9 \]
\[ F=n+2=3+2=5 \]
Um prisma triangular possui:
- \(6\) vértices;
- \(9\) arestas;
- \(5\) faces.
Exemplo 2: prisma hexagonal
A base tem:
\[ n=6 \]
Então:
\[ V=2n=2\cdot 6=12 \]
\[ A=3n=3\cdot 6=18 \]
\[ F=n+2=6+2=8 \]
Um prisma hexagonal possui:
- \(12\) vértices;
- \(18\) arestas;
- \(8\) faces.
8. Fórmula de Euler
Muitos poliedros convexos satisfazem a relação de Euler:
\[ V-A+F=2 \]
em que:
- \(V\) é o número de vértices;
- \(A\) é o número de arestas;
- \(F\) é o número de faces.
Vamos verificar no prisma triangular.
Temos:
\[ V=6 \]
\[ A=9 \]
\[ F=5 \]
Então:
\[ V-A+F=6-9+5 \]
\[ V-A+F=2 \]
A relação foi satisfeita.
9. Planificação de um prisma
A planificação de um prisma é a representação de sua superfície em um plano.
É como se cortássemos algumas arestas do prisma e abríssemos sua superfície sobre uma folha.
A planificação ajuda a calcular a área total do prisma.
Em um prisma reto, a planificação é formada por:
- duas bases congruentes;
- retângulos correspondentes às faces laterais.
Por exemplo, a planificação de um paralelepípedo retângulo possui seis retângulos.
A planificação de um cubo possui seis quadrados.
10. Área da base
A área da base depende do polígono que forma a base do prisma.
Indicaremos a área da base por:
\[ A_b \]
Exemplos:
Base retangular
Se a base é um retângulo de lados \(a\) e \(b\), então:
\[ A_b=a\cdot b \]
Base quadrada
Se a base é um quadrado de lado \(l\), então:
\[ A_b=l^2 \]
Base triangular
Se a base é um triângulo de base \(b\) e altura \(h_b\), então:
\[ A_b=\frac{b\cdot h_b}{2} \]
Base hexagonal regular
Se a base é um hexágono regular de lado \(l\), podemos calcular a área dividindo o hexágono em seis triângulos equiláteros.
Uma fórmula útil é:
\[ A_b=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \]
11. Área lateral de um prisma reto
A área lateral é a soma das áreas das faces laterais.
Em um prisma reto, as faces laterais são retângulos.
Se a base tem perímetro \(P_b\) e a altura do prisma é \(h\), então a área lateral é:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
Essa fórmula faz sentido porque, ao planificar as faces laterais de um prisma reto, obtemos um retângulo cuja base é o perímetro da base do prisma e cuja altura é a altura do prisma.
12. Área total de um prisma
A área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases.
Como as bases são congruentes, temos:
\[ A_T=A_L+2A_b \]
Substituindo a fórmula da área lateral:
\[ A_T=P_b\cdot h+2A_b \]
Essa fórmula é uma das mais importantes no estudo dos prismas.
Ela ajuda a calcular, por exemplo, a quantidade de material necessária para construir uma embalagem fechada.
13. Volume de um prisma
O volume mede o espaço ocupado pelo sólido.
No caso de um prisma, o volume é dado por:
\[ V=A_b\cdot h \]
em que:
- \(A_b\) é a área da base;
- \(h\) é a altura do prisma.
A ideia é simples: o volume é obtido multiplicando a área da base pela altura.
Se imaginarmos o prisma como várias “camadas” iguais empilhadas, cada camada tem área \(A_b\) e a altura indica quantas camadas foram empilhadas.
14. Unidades de volume
Como volume mede espaço tridimensional, usamos unidades cúbicas.
Exemplos:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{km}^3 \]
Também é comum usar unidades de capacidade, como:
\[ \text{L} \]
e:
\[ \text{mL} \]
A relação mais importante é:
\[ 1\text{ L}=1000\text{ cm}^3 \]
Também:
\[ 1\text{ m}^3=1000\text{ L} \]
Essas conversões aparecem muito em problemas com reservatórios, caixas d’água e aquários.
15. Exemplo: volume de um paralelepípedo retângulo
Uma caixa tem dimensões:
\[ 30\text{ cm},\quad 20\text{ cm},\quad 10\text{ cm} \]
Calcule seu volume.
Resolução
A caixa é um paralelepípedo retângulo.
O volume é:
\[ V=a\cdot b\cdot h \]
Substituindo:
\[ V=30\cdot 20\cdot 10 \]
\[ V=6000 \]
Logo:
\[ V=6000\text{ cm}^3 \]
Como:
\[ 1000\text{ cm}^3=1\text{ L} \]
temos:
\[ 6000\text{ cm}^3=6\text{ L} \]
Portanto, a caixa tem capacidade de:
\[ 6\text{ L} \]
16. Área total de um paralelepípedo retângulo
Se um paralelepípedo retângulo tem dimensões \(a\), \(b\) e \(c\), então sua área total é:
\[ A_T=2ab+2ac+2bc \]
ou:
\[ A_T=2(ab+ac+bc) \]
Essa fórmula aparece porque o paralelepípedo possui três pares de faces congruentes:
- duas faces de área \(ab\);
- duas faces de área \(ac\);
- duas faces de área \(bc\).
Exemplo
Uma caixa retangular tem dimensões:
\[ a=10\text{ cm} \]
\[ b=6\text{ cm} \]
\[ c=4\text{ cm} \]
A área total é:
\[ A_T=2(ab+ac+bc) \]
Substituindo:
\[ A_T=2(10\cdot 6+10\cdot 4+6\cdot 4) \]
\[ A_T=2(60+40+24) \]
\[ A_T=2\cdot 124 \]
\[ A_T=248 \]
Logo:
\[ A_T=248\text{ cm}^2 \]
17. Volume de um paralelepípedo retângulo
O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões \(a\), \(b\) e \(c\) é:
\[ V=a\cdot b\cdot c \]
Essa fórmula é um caso particular da fórmula geral:
\[ V=A_b\cdot h \]
Se a base tem lados \(a\) e \(b\), então:
\[ A_b=a\cdot b \]
Logo:
\[ V=A_b\cdot c \]
\[ V=a\cdot b\cdot c \]
18. Área total do cubo
Se a aresta de um cubo mede \(a\), cada face tem área:
\[ a^2 \]
Como o cubo possui \(6\) faces, sua área total é:
\[ A_T=6a^2 \]
Exemplo
Um cubo tem aresta medindo \(5\) cm.
Sua área total é:
\[ A_T=6a^2 \]
\[ A_T=6\cdot 5^2 \]
\[ A_T=6\cdot 25 \]
\[ A_T=150 \]
Logo:
\[ A_T=150\text{ cm}^2 \]
19. Volume do cubo
O volume de um cubo de aresta \(a\) é:
\[ V=a^3 \]
Exemplo
Um cubo tem aresta medindo \(5\) cm.
Seu volume é:
\[ V=5^3 \]
\[ V=125 \]
Logo:
\[ V=125\text{ cm}^3 \]
20. Diagonal do paralelepípedo retângulo
Em um paralelepípedo retângulo de dimensões \(a\), \(b\) e \(c\), a diagonal espacial \(d\) é dada por:
\[ d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado duas vezes.
Primeiro, calculamos a diagonal da base.
Se a base tem lados \(a\) e \(b\), sua diagonal é:
\[ d_b=\sqrt{a^2+b^2} \]
Depois, usamos essa diagonal da base com a altura \(c\):
\[ d^2=d_b^2+c^2 \]
Como:
\[ d_b^2=a^2+b^2 \]
temos:
\[ d^2=a^2+b^2+c^2 \]
Logo:
\[ d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
21. Exemplo com diagonal espacial
Uma caixa retangular tem dimensões:
\[ 3\text{ m},\quad 4\text{ m},\quad 12\text{ m} \]
Calcule sua diagonal espacial.
Resolução
Usamos:
\[ d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Substituindo:
\[ d=\sqrt{3^2+4^2+12^2} \]
\[ d=\sqrt{9+16+144} \]
\[ d=\sqrt{169} \]
\[ d=13 \]
Logo, a diagonal espacial mede:
\[ 13\text{ m} \]
22. Prisma triangular
Um prisma triangular possui bases triangulares.
Se a base triangular tem área \(A_b\) e o prisma tem altura \(h\), então o volume é:
\[ V=A_b\cdot h \]
Se a base do triângulo mede \(b\) e sua altura mede \(h_b\), então:
\[ A_b=\frac{b\cdot h_b}{2} \]
Logo:
\[ V=\frac{b\cdot h_b}{2}\cdot h \]
Exemplo
Um prisma triangular tem base triangular com base \(8\) cm e altura \(5\) cm.
A altura do prisma é \(12\) cm.
Área da base:
\[ A_b=\frac{8\cdot 5}{2} \]
\[ A_b=20 \]
Volume:
\[ V=A_b\cdot h \]
\[ V=20\cdot 12 \]
\[ V=240 \]
Logo:
\[ V=240\text{ cm}^3 \]
23. Prisma de base hexagonal regular
Um prisma hexagonal regular possui bases em forma de hexágonos regulares.
Se o lado da base mede \(l\), a área da base é:
\[ A_b=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \]
O volume é:
\[ V=A_b\cdot h \]
Exemplo
Um prisma hexagonal regular tem lado da base igual a \(4\) cm e altura igual a \(10\) cm.
A área da base é:
\[ A_b=\frac{3\cdot 4^2\sqrt{3}}{2} \]
\[ A_b=\frac{3\cdot 16\sqrt{3}}{2} \]
\[ A_b=24\sqrt{3} \]
O volume é:
\[ V=24\sqrt{3}\cdot 10 \]
\[ V=240\sqrt{3} \]
Logo:
\[ V=240\sqrt{3}\text{ cm}^3 \]
24. Exemplo contextualizado: embalagem
Uma empresa deseja fabricar uma embalagem em forma de paralelepípedo retângulo com dimensões:
\[ 20\text{ cm},\quad 12\text{ cm},\quad 8\text{ cm} \]
Determine:
- o volume da embalagem;
- a área total de papelão necessária para fabricar uma embalagem fechada, desprezando abas e perdas.
Parte 1: volume
\[ V=20\cdot 12\cdot 8 \]
\[ V=1920 \]
Logo:
\[ V=1920\text{ cm}^3 \]
Parte 2: área total
Usamos:
\[ A_T=2(ab+ac+bc) \]
Substituindo:
\[ A_T=2(20\cdot 12+20\cdot 8+12\cdot 8) \]
\[ A_T=2(240+160+96) \]
\[ A_T=2\cdot 496 \]
\[ A_T=992 \]
Logo:
\[ A_T=992\text{ cm}^2 \]
Portanto, a embalagem tem volume de \(1920\text{ cm}^3\) e exige \(992\text{ cm}^2\) de papelão.
25. Exemplo contextualizado: aquário
Um aquário tem formato de paralelepípedo retângulo com dimensões internas:
\[ 80\text{ cm},\quad 40\text{ cm},\quad 50\text{ cm} \]
Calcule sua capacidade em litros.
Resolução
Primeiro calculamos o volume em centímetros cúbicos:
\[ V=80\cdot 40\cdot 50 \]
\[ V=160000 \]
Logo:
\[ V=160000\text{ cm}^3 \]
Como:
\[ 1000\text{ cm}^3=1\text{ L} \]
temos:
\[ 160000\text{ cm}^3=160\text{ L} \]
Portanto, o aquário tem capacidade de:
\[ 160\text{ L} \]
26. Exemplo contextualizado: sala
Uma sala tem formato de paralelepípedo retângulo com dimensões:
\[ 5\text{ m},\quad 4\text{ m},\quad 3\text{ m} \]
Determine:
- o volume da sala;
- a área total das quatro paredes, sem considerar portas e janelas.
Parte 1: volume
\[ V=5\cdot 4\cdot 3 \]
\[ V=60 \]
Logo:
\[ V=60\text{ m}^3 \]
Parte 2: área das paredes
As paredes correspondem à área lateral do prisma.
O perímetro da base é:
\[ P_b=2(5+4) \]
\[ P_b=18 \]
A altura é:
\[ h=3 \]
Logo:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
\[ A_L=18\cdot 3 \]
\[ A_L=54 \]
A área das quatro paredes é:
\[ 54\text{ m}^2 \]
27. Exemplo contextualizado: piscina
Uma piscina retangular tem dimensões:
\[ 10\text{ m} \]
de comprimento,
\[ 5\text{ m} \]
de largura e
\[ 2\text{ m} \]
de profundidade.
Calcule a capacidade da piscina em litros.
Resolução
Volume em metros cúbicos:
\[ V=10\cdot 5\cdot 2 \]
\[ V=100 \]
Logo:
\[ V=100\text{ m}^3 \]
Como:
\[ 1\text{ m}^3=1000\text{ L} \]
temos:
\[ 100\text{ m}^3=100000\text{ L} \]
Portanto, a piscina comporta:
\[ 100000\text{ L} \]
28. Estratégias para resolver problemas com prismas
Ao resolver problemas envolvendo prismas, siga uma sequência organizada.
Etapa 1: identifique a base
Pergunte:
A base é um triângulo, retângulo, quadrado, hexágono ou outro polígono?
Etapa 2: calcule a área da base
Use a fórmula adequada para o polígono da base.
Etapa 3: identifique a altura do prisma
A altura do prisma é a distância entre as duas bases.
Em prismas retos, ela coincide com a aresta lateral.
Etapa 4: escolha o que o problema pede
Pode ser:
- área lateral;
- área total;
- volume;
- capacidade;
- diagonal;
- número de faces, arestas e vértices.
Etapa 5: aplique a fórmula correta
Para prismas retos:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
\[ A_T=A_L+2A_b \]
\[ V=A_b\cdot h \]
Etapa 6: interprete as unidades
Área usa unidades quadradas.
Volume usa unidades cúbicas.
Capacidade pode ser dada em litros.
29. Erros comuns
Erro 1: confundir área com volume
Área mede superfície.
Volume mede espaço ocupado.
Área usa unidades quadradas, como:
\[ \text{cm}^2 \]
Volume usa unidades cúbicas, como:
\[ \text{cm}^3 \]
Erro 2: usar a altura da base como altura do prisma
Em prismas triangulares, pode haver duas alturas diferentes:
- a altura do triângulo da base;
- a altura do prisma.
É preciso identificar corretamente cada uma.
Erro 3: esquecer as duas bases na área total
A área total é:
\[ A_T=A_L+2A_b \]
Não basta calcular apenas uma base.
Erro 4: confundir perímetro da base com área da base
Na área lateral usamos:
\[ P_b\cdot h \]
No volume usamos:
\[ A_b\cdot h \]
Erro 5: errar conversões de capacidade
Lembre-se:
\[ 1000\text{ cm}^3=1\text{ L} \]
e:
\[ 1\text{ m}^3=1000\text{ L} \]
30. Atividade resolvida integradora
Um reservatório tem formato de prisma reto com base retangular de dimensões \(3\) m por \(2\) m e altura \(1{,}5\) m.
Determine:
- a área da base;
- o volume em metros cúbicos;
- a capacidade em litros;
- a área lateral;
- a área total, supondo o reservatório fechado.
Parte 1: área da base
A base é retangular.
\[ A_b=3\cdot 2 \]
\[ A_b=6 \]
Logo:
\[ A_b=6\text{ m}^2 \]
Parte 2: volume
\[ V=A_b\cdot h \]
Substituindo:
\[ V=6\cdot 1{,}5 \]
\[ V=9 \]
Logo:
\[ V=9\text{ m}^3 \]
Parte 3: capacidade em litros
Como:
\[ 1\text{ m}^3=1000\text{ L} \]
temos:
\[ 9\text{ m}^3=9000\text{ L} \]
Logo, a capacidade é:
\[ 9000\text{ L} \]
Parte 4: área lateral
O perímetro da base é:
\[ P_b=2(3+2) \]
\[ P_b=10 \]
A área lateral é:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
\[ A_L=10\cdot 1{,}5 \]
\[ A_L=15 \]
Logo:
\[ A_L=15\text{ m}^2 \]
Parte 5: área total
Como o reservatório é fechado:
\[ A_T=A_L+2A_b \]
\[ A_T=15+2\cdot 6 \]
\[ A_T=15+12 \]
\[ A_T=27 \]
Logo:
\[ A_T=27\text{ m}^2 \]
31. Exercícios
Resolva os exercícios a seguir.
Exercício 1
O que é um prisma?
Exercício 2
Quais são os principais elementos de um prisma?
Exercício 3
Qual é a diferença entre prisma reto e prisma oblíquo?
Exercício 4
Como se nomeia um prisma?
Exercício 5
Quantos vértices, arestas e faces tem um prisma triangular?
Exercício 6
Quantos vértices, arestas e faces tem um prisma pentagonal?
Exercício 7
Verifique a relação de Euler para um prisma pentagonal.
Exercício 8
Calcule o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões \(8\) cm, \(5\) cm e \(3\) cm.
Exercício 9
Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo de dimensões \(8\) cm, \(5\) cm e \(3\) cm.
Exercício 10
Calcule o volume de um cubo de aresta \(6\) cm.
Exercício 11
Calcule a área total de um cubo de aresta \(6\) cm.
Exercício 12
Calcule a diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo de dimensões \(6\) cm, \(8\) cm e \(10\) cm.
Exercício 13
Um prisma triangular tem base triangular de base \(10\) cm e altura \(6\) cm. A altura do prisma é \(12\) cm. Calcule seu volume.
Exercício 14
Um prisma reto tem base retangular de lados \(9\) cm e \(4\) cm, e altura \(7\) cm. Calcule sua área lateral.
Exercício 15
No exercício anterior, calcule a área total.
Exercício 16
Um aquário tem dimensões internas \(60\) cm, \(30\) cm e \(40\) cm. Calcule sua capacidade em litros.
Exercício 17
Uma piscina retangular mede \(8\) m por \(4\) m por \(1{,}5\) m. Calcule sua capacidade em litros.
Exercício 18
Uma caixa fechada tem dimensões \(20\) cm, \(15\) cm e \(10\) cm. Calcule a área total de material necessário para fabricá-la.
Exercício 19
Um prisma hexagonal regular tem lado da base \(3\) cm e altura \(8\) cm. Use \(A_b=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}\) para calcular seu volume.
Exercício 20
Explique a diferença entre área lateral, área total e volume de um prisma.
32. Gabarito comentado
Exercício 1
Um prisma é um sólido geométrico que possui duas bases paralelas e congruentes, ligadas por faces laterais.
As bases são polígonos iguais e ficam em planos paralelos.
Exercício 2
Os principais elementos de um prisma são:
- bases;
- faces laterais;
- arestas;
- vértices;
- altura.
Exercício 3
Um prisma reto tem arestas laterais perpendiculares às bases.
Nesse caso, suas faces laterais são retângulos.
Um prisma oblíquo tem arestas laterais inclinadas em relação às bases.
Exercício 4
Um prisma é nomeado de acordo com o polígono de sua base.
Se a base é triangular, o prisma é triangular.
Se a base é pentagonal, o prisma é pentagonal.
Se a base é hexagonal, o prisma é hexagonal.
Exercício 5
Para um prisma triangular:
\[ n=3 \]
Logo:
\[ V=2n=6 \]
\[ A=3n=9 \]
\[ F=n+2=5 \]
Portanto, ele tem:
- \(6\) vértices;
- \(9\) arestas;
- \(5\) faces.
Exercício 6
Para um prisma pentagonal:
\[ n=5 \]
Logo:
\[ V=2n=10 \]
\[ A=3n=15 \]
\[ F=n+2=7 \]
Portanto, ele tem:
- \(10\) vértices;
- \(15\) arestas;
- \(7\) faces.
Exercício 7
Para o prisma pentagonal:
\[ V=10,\quad A=15,\quad F=7 \]
Pela relação de Euler:
\[ V-A+F=10-15+7 \]
\[ V-A+F=2 \]
Logo, a relação de Euler é satisfeita.
Exercício 8
O volume é:
\[ V=8\cdot 5\cdot 3 \]
\[ V=120 \]
Logo:
\[ V=120\text{ cm}^3 \]
Exercício 9
A área total é:
\[ A_T=2(ab+ac+bc) \]
Substituindo:
\[ A_T=2(8\cdot 5+8\cdot 3+5\cdot 3) \]
\[ A_T=2(40+24+15) \]
\[ A_T=2\cdot 79 \]
\[ A_T=158 \]
Logo:
\[ A_T=158\text{ cm}^2 \]
Exercício 10
O volume do cubo é:
\[ V=a^3 \]
Substituindo:
\[ V=6^3 \]
\[ V=216 \]
Logo:
\[ V=216\text{ cm}^3 \]
Exercício 11
A área total do cubo é:
\[ A_T=6a^2 \]
Substituindo:
\[ A_T=6\cdot 6^2 \]
\[ A_T=6\cdot 36 \]
\[ A_T=216 \]
Logo:
\[ A_T=216\text{ cm}^2 \]
Exercício 12
A diagonal espacial é:
\[ d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Substituindo:
\[ d=\sqrt{6^2+8^2+10^2} \]
\[ d=\sqrt{36+64+100} \]
\[ d=\sqrt{200} \]
Como:
\[ 200=100\cdot 2 \]
temos:
\[ d=10\sqrt{2} \]
Logo:
\[ d=10\sqrt{2}\text{ cm} \]
Exercício 13
A área da base triangular é:
\[ A_b=\frac{10\cdot 6}{2} \]
\[ A_b=30 \]
O volume é:
\[ V=A_b\cdot h \]
\[ V=30\cdot 12 \]
\[ V=360 \]
Logo:
\[ V=360\text{ cm}^3 \]
Exercício 14
A base é retangular, com lados \(9\) cm e \(4\) cm.
O perímetro da base é:
\[ P_b=2(9+4) \]
\[ P_b=26 \]
A área lateral é:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
\[ A_L=26\cdot 7 \]
\[ A_L=182 \]
Logo:
\[ A_L=182\text{ cm}^2 \]
Exercício 15
A área da base é:
\[ A_b=9\cdot 4 \]
\[ A_b=36 \]
A área total é:
\[ A_T=A_L+2A_b \]
\[ A_T=182+2\cdot 36 \]
\[ A_T=182+72 \]
\[ A_T=254 \]
Logo:
\[ A_T=254\text{ cm}^2 \]
Exercício 16
O volume do aquário é:
\[ V=60\cdot 30\cdot 40 \]
\[ V=72000 \]
Logo:
\[ V=72000\text{ cm}^3 \]
Como:
\[ 1000\text{ cm}^3=1\text{ L} \]
temos:
\[ 72000\text{ cm}^3=72\text{ L} \]
A capacidade é:
\[ 72\text{ L} \]
Exercício 17
O volume é:
\[ V=8\cdot 4\cdot 1{,}5 \]
\[ V=48 \]
Logo:
\[ V=48\text{ m}^3 \]
Como:
\[ 1\text{ m}^3=1000\text{ L} \]
temos:
\[ 48\text{ m}^3=48000\text{ L} \]
A capacidade é:
\[ 48000\text{ L} \]
Exercício 18
A área total é:
\[ A_T=2(ab+ac+bc) \]
Substituindo:
\[ A_T=2(20\cdot 15+20\cdot 10+15\cdot 10) \]
\[ A_T=2(300+200+150) \]
\[ A_T=2\cdot 650 \]
\[ A_T=1300 \]
Logo:
\[ A_T=1300\text{ cm}^2 \]
Exercício 19
A área da base é:
\[ A_b=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \]
Com:
\[ l=3 \]
temos:
\[ A_b=\frac{3\cdot 3^2\sqrt{3}}{2} \]
\[ A_b=\frac{27\sqrt{3}}{2} \]
O volume é:
\[ V=A_b\cdot h \]
\[ V=\frac{27\sqrt{3}}{2}\cdot 8 \]
\[ V=108\sqrt{3} \]
Logo:
\[ V=108\sqrt{3}\text{ cm}^3 \]
Exercício 20
A área lateral é a soma das áreas das faces laterais.
A área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases.
O volume mede o espaço ocupado pelo prisma.
Em um prisma reto:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
\[ A_T=A_L+2A_b \]
\[ V=A_b\cdot h \]
Síntese da aula
Nesta aula, iniciamos o estudo da Geometria Espacial por meio dos prismas.
Vimos que um prisma é um sólido com duas bases paralelas e congruentes, ligadas por faces laterais.
Estudamos seus principais elementos:
- bases;
- faces laterais;
- arestas;
- vértices;
- altura.
Também vimos que o nome de um prisma depende do polígono de sua base.
Para um prisma cuja base tem \(n\) lados, temos:
\[ V=2n \]
\[ A=3n \]
\[ F=n+2 \]
Além disso, verificamos a relação de Euler:
\[ V-A+F=2 \]
Estudamos as principais fórmulas para prismas retos:
\[ A_L=P_b\cdot h \]
\[ A_T=A_L+2A_b \]
\[ V=A_b\cdot h \]
Também analisamos casos especiais importantes:
- paralelepípedo retângulo;
- cubo;
- prisma triangular;
- prisma hexagonal regular.
Por fim, resolvemos problemas envolvendo embalagens, aquários, piscinas, salas, reservatórios, áreas, volumes e capacidade.
A ideia central é que os prismas permitem conectar geometria plana e geometria espacial: primeiro calculamos áreas na base, depois usamos a altura para obter superfícies e volumes.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos pirâmides.
Vamos comparar prismas e pirâmides, entender seus elementos, calcular áreas e volumes, e explorar aplicações em construções, monumentos e objetos tridimensionais.