Plano cartesiano
Plano cartesiano
Pergunta disparadora
Como podemos localizar pontos, representar informações e descrever relações matemáticas usando um sistema de coordenadas?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender a estrutura do plano cartesiano e seus principais elementos;
- localizar e representar pontos por meio de pares ordenados;
- interpretar coordenadas em situações geométricas, gráficas e contextualizadas.
Desenvolvimento
Nesta aula, iniciaremos o estudo do plano cartesiano.
O plano cartesiano é uma das ferramentas mais importantes da matemática.
Ele permite representar pontos, figuras, gráficos, trajetórias, dados e relações entre grandezas.
Usamos o plano cartesiano em muitos contextos:
- localização de pontos;
- construção de gráficos;
- estudo de funções;
- geometria analítica;
- estatística;
- física;
- economia;
- computação gráfica;
- mapas;
- jogos digitais;
- engenharia;
- análise de dados.
A ideia central é simples: cada ponto do plano pode ser localizado por meio de dois números.
Esses dois números formam um par ordenado.
1. O que é o plano cartesiano?
O plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares.
Uma delas é horizontal.
A outra é vertical.
A reta horizontal é chamada de eixo das abscissas ou eixo \(x\).
A reta vertical é chamada de eixo das ordenadas ou eixo \(y\).
Esses dois eixos se cruzam em um ponto chamado origem.
A origem é representada pelo ponto:
\[ (0,0) \]
O plano cartesiano recebe esse nome em homenagem ao matemático René Descartes, que ajudou a conectar álgebra e geometria por meio das coordenadas.
2. Eixo horizontal e eixo vertical
No plano cartesiano, temos dois eixos principais.
Eixo \(x\)
O eixo \(x\) é o eixo horizontal.
Nele, os valores aumentam para a direita e diminuem para a esquerda.
Assim:
- à direita da origem, os valores de \(x\) são positivos;
- à esquerda da origem, os valores de \(x\) são negativos.
Eixo \(y\)
O eixo \(y\) é o eixo vertical.
Nele, os valores aumentam para cima e diminuem para baixo.
Assim:
- acima da origem, os valores de \(y\) são positivos;
- abaixo da origem, os valores de \(y\) são negativos.
3. Origem do plano cartesiano
A origem é o ponto onde os dois eixos se cruzam.
Ela tem coordenadas:
\[ (0,0) \]
Isso significa que, na origem:
- a coordenada horizontal é \(0\);
- a coordenada vertical é \(0\).
A origem funciona como ponto de referência para localizar todos os outros pontos do plano.
4. Par ordenado
Um ponto do plano cartesiano é representado por um par ordenado.
Um par ordenado tem a forma:
\[ (x,y) \]
O primeiro número representa a posição horizontal.
O segundo número representa a posição vertical.
Assim:
- \(x\) indica o deslocamento no eixo horizontal;
- \(y\) indica o deslocamento no eixo vertical.
A ordem é muito importante.
O ponto:
\[ (2,5) \]
não é o mesmo que:
\[ (5,2) \]
No ponto \((2,5)\), andamos \(2\) unidades na horizontal e \(5\) unidades na vertical.
No ponto \((5,2)\), andamos \(5\) unidades na horizontal e \(2\) unidades na vertical.
5. Coordenada \(x\) e coordenada \(y\)
No par ordenado:
\[ (x,y) \]
o número \(x\) é chamado de abscissa.
O número \(y\) é chamado de ordenada.
Por exemplo, no ponto:
\[ A=(4,3) \]
temos:
- abscissa: \(4\);
- ordenada: \(3\).
Isso significa que o ponto \(A\) está \(4\) unidades à direita da origem e \(3\) unidades acima da origem.
6. Como localizar um ponto no plano cartesiano
Para localizar um ponto \((x,y)\) no plano cartesiano, seguimos dois passos.
Passo 1: deslocamento horizontal
A partir da origem, deslocamos \(x\) unidades no eixo horizontal.
Se \(x\) é positivo, andamos para a direita.
Se \(x\) é negativo, andamos para a esquerda.
Passo 2: deslocamento vertical
Depois, deslocamos \(y\) unidades na direção vertical.
Se \(y\) é positivo, subimos.
Se \(y\) é negativo, descemos.
O ponto final é o ponto representado pelo par ordenado.
7. Exemplo: ponto com coordenadas positivas
Localize o ponto:
\[ A=(3,2) \]
A coordenada \(x\) é:
\[ 3 \]
Então, partindo da origem, andamos \(3\) unidades para a direita.
A coordenada \(y\) é:
\[ 2 \]
Então, subimos \(2\) unidades.
O ponto \(A\) fica no primeiro quadrante.
8. Exemplo: ponto com coordenada \(x\) negativa
Localize o ponto:
\[ B=(-4,2) \]
A coordenada \(x\) é:
\[ -4 \]
Então, partindo da origem, andamos \(4\) unidades para a esquerda.
A coordenada \(y\) é:
\[ 2 \]
Então, subimos \(2\) unidades.
O ponto \(B\) fica no segundo quadrante.
9. Exemplo: ponto com coordenada \(y\) negativa
Localize o ponto:
\[ C=(3,-2) \]
A coordenada \(x\) é:
\[ 3 \]
Então, andamos \(3\) unidades para a direita.
A coordenada \(y\) é:
\[ -2 \]
Então, descemos \(2\) unidades.
O ponto \(C\) fica no quarto quadrante.
10. Exemplo: duas coordenadas negativas
Localize o ponto:
\[ D=(-3,-4) \]
A coordenada \(x\) é:
\[ -3 \]
Então, andamos \(3\) unidades para a esquerda.
A coordenada \(y\) é:
\[ -4 \]
Então, descemos \(4\) unidades.
O ponto \(D\) fica no terceiro quadrante.
11. Quadrantes do plano cartesiano
Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, começando pela região superior direita.
Primeiro quadrante
No primeiro quadrante:
\[ x>0 \]
e:
\[ y>0 \]
Exemplo:
\[ (2,3) \]
Segundo quadrante
No segundo quadrante:
\[ x<0 \]
e:
\[ y>0 \]
Exemplo:
\[ (-2,3) \]
Terceiro quadrante
No terceiro quadrante:
\[ x<0 \]
e:
\[ y<0 \]
Exemplo:
\[ (-2,-3) \]
Quarto quadrante
No quarto quadrante:
\[ x>0 \]
e:
\[ y<0 \]
Exemplo:
\[ (2,-3) \]
12. Resumo dos sinais nos quadrantes
| Quadrante | Sinal de \(x\) | Sinal de \(y\) | Exemplo |
|---|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) | \((3,2)\) |
| II | \(-\) | \(+\) | \((-3,2)\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \((-3,-2)\) |
| IV | \(+\) | \(-\) | \((3,-2)\) |
Essa tabela ajuda a identificar rapidamente em qual quadrante um ponto está.
13. Pontos sobre os eixos
Nem todo ponto pertence a um quadrante.
Alguns pontos estão sobre os eixos.
Pontos sobre o eixo \(x\)
Um ponto está sobre o eixo \(x\) quando sua coordenada \(y\) é zero.
Ou seja, pontos do eixo \(x\) têm a forma:
\[ (x,0) \]
Exemplos:
\[ (3,0),\quad (-5,0),\quad (0,0) \]
Pontos sobre o eixo \(y\)
Um ponto está sobre o eixo \(y\) quando sua coordenada \(x\) é zero.
Ou seja, pontos do eixo \(y\) têm a forma:
\[ (0,y) \]
Exemplos:
\[ (0,4),\quad (0,-2),\quad (0,0) \]
Origem
A origem pertence aos dois eixos.
Ela é:
\[ (0,0) \]
14. Exemplo: identificar a posição de pontos
Considere os pontos:
\[ A=(5,0) \]
\[ B=(0,-3) \]
\[ C=(-2,0) \]
\[ D=(0,4) \]
O ponto \(A\) está sobre o eixo \(x\), pois sua coordenada \(y\) é zero.
O ponto \(B\) está sobre o eixo \(y\), pois sua coordenada \(x\) é zero.
O ponto \(C\) está sobre o eixo \(x\).
O ponto \(D\) está sobre o eixo \(y\).
Nenhum desses pontos pertence a um quadrante.
15. Leitura de pontos em um gráfico
Às vezes, o ponto já está desenhado no plano cartesiano.
Nesse caso, precisamos identificar suas coordenadas.
Para ler as coordenadas de um ponto, fazemos o caminho inverso:
- observamos sua posição horizontal;
- identificamos a coordenada \(x\);
- observamos sua posição vertical;
- identificamos a coordenada \(y\);
- escrevemos o ponto como \((x,y)\).
Exemplo
Se um ponto está \(4\) unidades à direita da origem e \(3\) unidades acima, então suas coordenadas são:
\[ (4,3) \]
Se um ponto está \(2\) unidades à esquerda da origem e \(5\) unidades abaixo, então suas coordenadas são:
\[ (-2,-5) \]
16. Plano cartesiano e localização
O plano cartesiano é uma ferramenta de localização.
Ele funciona de maneira parecida com mapas, jogos e sistemas de coordenadas.
Em um jogo digital, por exemplo, a posição de um personagem pode ser representada por um par de coordenadas.
Em um mapa, podemos localizar pontos usando uma referência horizontal e uma referência vertical.
Em uma tela de computador, a posição de um pixel também pode ser descrita por coordenadas.
A grande vantagem do plano cartesiano é permitir que a localização seja descrita numericamente.
17. Distância horizontal e distância vertical
Ao comparar dois pontos, podemos analisar a diferença entre suas coordenadas.
Considere os pontos:
\[ A=(2,3) \]
e:
\[ B=(7,3) \]
Eles têm a mesma coordenada \(y\).
Isso significa que estão na mesma linha horizontal.
A distância horizontal entre eles é:
\[ 7-2=5 \]
Logo, a distância entre \(A\) e \(B\) é:
\[ 5 \]
Agora considere:
\[ C=(-1,4) \]
e:
\[ D=(-1,-2) \]
Eles têm a mesma coordenada \(x\).
Isso significa que estão na mesma linha vertical.
A distância vertical entre eles é:
\[ 4-(-2)=6 \]
Logo, a distância entre \(C\) e \(D\) é:
\[ 6 \]
18. Segmentos horizontais e verticais
Quando dois pontos têm a mesma coordenada \(y\), o segmento que os liga é horizontal.
Exemplo:
\[ A=(1,2) \]
e:
\[ B=(5,2) \]
Como ambos têm \(y=2\), o segmento \(\overline{AB}\) é horizontal.
Quando dois pontos têm a mesma coordenada \(x\), o segmento que os liga é vertical.
Exemplo:
\[ C=(-3,1) \]
e:
\[ D=(-3,6) \]
Como ambos têm \(x=-3\), o segmento \(\overline{CD}\) é vertical.
19. Distância entre dois pontos alinhados horizontalmente
Se dois pontos estão alinhados horizontalmente, basta calcular a diferença entre as coordenadas \(x\).
Considere:
\[ A=(2,4) \]
e:
\[ B=(9,4) \]
A distância é:
\[ 9-2=7 \]
Logo:
\[ AB=7 \]
Se os valores envolvem negativos, usamos a distância como valor positivo.
Exemplo:
\[ C=(-5,2) \]
e:
\[ D=(3,2) \]
A distância horizontal é:
\[ 3-(-5)=8 \]
Logo:
\[ CD=8 \]
20. Distância entre dois pontos alinhados verticalmente
Se dois pontos estão alinhados verticalmente, basta calcular a diferença entre as coordenadas \(y\).
Considere:
\[ A=(1,-2) \]
e:
\[ B=(1,5) \]
A distância é:
\[ 5-(-2)=7 \]
Logo:
\[ AB=7 \]
A distância sempre é uma medida não negativa.
21. Distância entre dois pontos quaisquer
Quando dois pontos não estão alinhados horizontal ou verticalmente, podemos usar o Teorema de Pitágoras.
Considere dois pontos:
\[ A=(x_1,y_1) \]
e:
\[ B=(x_2,y_2) \]
A diferença horizontal é:
\[ x_2-x_1 \]
A diferença vertical é:
\[ y_2-y_1 \]
Essas diferenças formam os catetos de um triângulo retângulo.
A distância entre os pontos é a hipotenusa.
Por isso:
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Essa é a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
22. Exemplo: distância entre dois pontos
Calcule a distância entre:
\[ A=(1,2) \]
e:
\[ B=(4,6) \]
Usamos:
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Substituindo:
\[ d(A,B)=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{9+16} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{25} \]
\[ d(A,B)=5 \]
Logo, a distância entre os pontos é:
\[ 5 \]
23. Ponto médio de um segmento
O ponto médio é o ponto que divide um segmento em duas partes de mesma medida.
Se:
\[ A=(x_1,y_1) \]
e:
\[ B=(x_2,y_2) \]
então o ponto médio \(M\) é:
\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]
Ou seja, fazemos a média das coordenadas \(x\) e a média das coordenadas \(y\).
24. Exemplo: ponto médio
Determine o ponto médio do segmento com extremos:
\[ A=(2,4) \]
e:
\[ B=(8,10) \]
Usamos:
\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]
Substituindo:
\[ M=\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{10}{2},\frac{14}{2}\right) \]
\[ M=(5,7) \]
Logo, o ponto médio é:
\[ M=(5,7) \]
25. Figuras no plano cartesiano
Podemos representar figuras geométricas no plano cartesiano usando seus vértices.
Por exemplo, considere os pontos:
\[ A=(1,1) \]
\[ B=(5,1) \]
\[ C=(5,4) \]
\[ D=(1,4) \]
Ligando esses pontos na ordem \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), obtemos um retângulo.
A base do retângulo mede:
\[ 5-1=4 \]
A altura mede:
\[ 4-1=3 \]
Logo, a área do retângulo é:
\[ A=4\cdot 3 \]
\[ A=12 \]
26. Exemplo: área de retângulo no plano cartesiano
Considere o retângulo com vértices:
\[ A=(-2,1) \]
\[ B=(4,1) \]
\[ C=(4,5) \]
\[ D=(-2,5) \]
A base é a distância horizontal entre \(A\) e \(B\):
\[ 4-(-2)=6 \]
A altura é a distância vertical entre \(B\) e \(C\):
\[ 5-1=4 \]
A área é:
\[ A=6\cdot 4 \]
\[ A=24 \]
Logo, a área do retângulo é:
\[ 24 \]
unidades quadradas.
27. Interpretação de gráficos simples
O plano cartesiano também é usado para representar relações entre grandezas.
Por exemplo, suponha que uma corrida de táxi tenha uma taxa fixa de R$ \(5{,}00\) mais R$ \(3{,}00\) por quilômetro rodado.
Podemos representar o custo \(C\) em função da distância \(d\) por:
\[ C=5+3d \]
Alguns pares são:
| Distância \(d\) | Custo \(C\) |
|---|---|
| \(0\) | \(5\) |
| \(1\) | \(8\) |
| \(2\) | \(11\) |
| \(3\) | \(14\) |
| \(4\) | \(17\) |
Cada par pode ser representado no plano cartesiano.
Por exemplo:
\[ (0,5),\quad (1,8),\quad (2,11),\quad (3,14),\quad (4,17) \]
Nesse caso, o eixo horizontal representa a distância.
O eixo vertical representa o custo.
28. Coordenadas e variáveis
Em muitas situações, usamos o plano cartesiano para estudar relações entre duas variáveis.
A variável independente costuma ficar no eixo horizontal.
A variável dependente costuma ficar no eixo vertical.
Por exemplo:
- tempo no eixo \(x\) e distância no eixo \(y\);
- quantidade no eixo \(x\) e preço no eixo \(y\);
- idade no eixo \(x\) e altura no eixo \(y\);
- horas estudadas no eixo \(x\) e pontuação no eixo \(y\).
Essa organização ajuda a visualizar padrões.
29. Exemplo contextualizado: caminhada
Uma pessoa caminha em linha reta, e a distância percorrida depende do tempo.
Suponha que ela caminhe \(4\) km por hora.
A distância \(d\) percorrida após \(t\) horas é:
\[ d=4t \]
Alguns pares são:
| Tempo \(t\) | Distância \(d\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(4\) |
| \(2\) | \(8\) |
| \(3\) | \(12\) |
| \(4\) | \(16\) |
No plano cartesiano, representamos os pontos:
\[ (0,0),\quad (1,4),\quad (2,8),\quad (3,12),\quad (4,16) \]
Esses pontos mostram que a distância aumenta de forma regular com o tempo.
30. Plano cartesiano e simetria
O plano cartesiano também ajuda a estudar simetrias.
Considere o ponto:
\[ P=(3,2) \]
O ponto simétrico de \(P\) em relação ao eixo \(x\) é:
\[ P'=(3,-2) \]
A coordenada \(x\) permanece igual.
A coordenada \(y\) troca de sinal.
O ponto simétrico de \(P\) em relação ao eixo \(y\) é:
\[ P''=(-3,2) \]
A coordenada \(x\) troca de sinal.
A coordenada \(y\) permanece igual.
O ponto simétrico de \(P\) em relação à origem é:
\[ P'''=(-3,-2) \]
As duas coordenadas trocam de sinal.
31. Regras de simetria
Para um ponto:
\[ P=(x,y) \]
temos:
Simetria em relação ao eixo \(x\)
\[ (x,y)\mapsto (x,-y) \]
Simetria em relação ao eixo \(y\)
\[ (x,y)\mapsto (-x,y) \]
Simetria em relação à origem
\[ (x,y)\mapsto (-x,-y) \]
Essas regras são importantes em geometria, funções e transformações no plano.
32. Exemplo de simetria
Considere:
\[ A=(-4,5) \]
O simétrico de \(A\) em relação ao eixo \(x\) é:
\[ A'=(-4,-5) \]
O simétrico de \(A\) em relação ao eixo \(y\) é:
\[ A''=(4,5) \]
O simétrico de \(A\) em relação à origem é:
\[ A'''=(4,-5) \]
33. Aplicações do plano cartesiano
O plano cartesiano aparece em muitas áreas.
Na matemática
É usado para estudar:
- funções;
- gráficos;
- geometria analítica;
- distância;
- ponto médio;
- retas;
- parábolas;
- circunferências.
Na física
É usado para representar:
- posição;
- velocidade;
- aceleração;
- trajetórias;
- forças;
- campos.
Na estatística
É usado em gráficos de dispersão, que mostram relações entre duas variáveis.
Na computação
É usado em:
- telas;
- imagens digitais;
- jogos;
- animações;
- computação gráfica;
- mapas interativos.
Na vida cotidiana
Aparece em:
- mapas;
- plantas;
- localização;
- gráficos financeiros;
- aplicativos de navegação.
34. Estratégias para trabalhar com o plano cartesiano
Ao resolver problemas envolvendo coordenadas, siga uma sequência.
Etapa 1: identifique os eixos
Veja o que representa o eixo \(x\) e o que representa o eixo \(y\).
Etapa 2: leia ou marque os pontos
Lembre-se de que o par ordenado é sempre:
\[ (x,y) \]
Primeiro vem a coordenada horizontal.
Depois vem a coordenada vertical.
Etapa 3: observe os sinais
Os sinais indicam o quadrante ou o eixo em que o ponto está.
Etapa 4: use fórmulas quando necessário
Para distância:
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Para ponto médio:
\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]
Etapa 5: interprete o resultado
Se o problema tem contexto, explique o que as coordenadas representam.
35. Erros comuns
Erro 1: trocar a ordem das coordenadas
O ponto:
\[ (2,5) \]
não é o mesmo que:
\[ (5,2) \]
Sempre escrevemos primeiro \(x\), depois \(y\).
Erro 2: confundir os sinais nos quadrantes
Lembre-se:
| Quadrante | Sinal de \(x\) | Sinal de \(y\) |
|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) |
| II | \(-\) | \(+\) |
| III | \(-\) | \(-\) |
| IV | \(+\) | \(-\) |
Erro 3: achar que pontos sobre os eixos pertencem a quadrantes
Se \(x=0\) ou \(y=0\), o ponto está sobre um eixo.
Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.
Erro 4: esquecer que distância é sempre positiva
Mesmo que as coordenadas sejam negativas, a distância entre pontos é uma medida não negativa.
Erro 5: confundir ponto médio com distância
O ponto médio é um ponto.
A distância é um número.
36. Atividade resolvida integradora
Considere os pontos:
\[ A=(-2,1) \]
\[ B=(4,1) \]
\[ C=(4,5) \]
\[ D=(-2,5) \]
Responda:
- em quais quadrantes ou eixos estão os pontos;
- que figura é formada ao ligar \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\);
- qual é a área da figura;
- qual é o ponto médio do segmento \(\overline{AC}\);
- qual é a distância entre \(A\) e \(C\).
Parte 1: posição dos pontos
O ponto \(A=(-2,1)\) tem \(x<0\) e \(y>0\).
Logo, está no segundo quadrante.
O ponto \(B=(4,1)\) tem \(x>0\) e \(y>0\).
Logo, está no primeiro quadrante.
O ponto \(C=(4,5)\) tem \(x>0\) e \(y>0\).
Logo, está no primeiro quadrante.
O ponto \(D=(-2,5)\) tem \(x<0\) e \(y>0\).
Logo, está no segundo quadrante.
Parte 2: figura formada
Os pontos formam um retângulo.
Isso acontece porque:
- \(A\) e \(B\) têm a mesma coordenada \(y\);
- \(C\) e \(D\) têm a mesma coordenada \(y\);
- \(B\) e \(C\) têm a mesma coordenada \(x\);
- \(A\) e \(D\) têm a mesma coordenada \(x\).
Parte 3: área da figura
A base é a distância horizontal entre \(A\) e \(B\):
\[ 4-(-2)=6 \]
A altura é a distância vertical entre \(B\) e \(C\):
\[ 5-1=4 \]
Logo:
\[ A=6\cdot 4 \]
\[ A=24 \]
A área é:
\[ 24 \]
unidades quadradas.
Parte 4: ponto médio de \(\overline{AC}\)
Temos:
\[ A=(-2,1) \]
e:
\[ C=(4,5) \]
O ponto médio é:
\[ M=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{1+5}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{2}{2},\frac{6}{2}\right) \]
\[ M=(1,3) \]
Parte 5: distância entre \(A\) e \(C\)
Usamos:
\[ d(A,C)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Substituindo:
\[ d(A,C)=\sqrt{(4-(-2))^2+(5-1)^2} \]
\[ d(A,C)=\sqrt{6^2+4^2} \]
\[ d(A,C)=\sqrt{36+16} \]
\[ d(A,C)=\sqrt{52} \]
Como:
\[ 52=4\cdot 13 \]
temos:
\[ d(A,C)=2\sqrt{13} \]
Logo, a distância entre \(A\) e \(C\) é:
\[ 2\sqrt{13} \]
37. Exercícios
Resolva os exercícios a seguir.
Exercício 1
O que é o plano cartesiano?
Exercício 2
Quais são os dois eixos do plano cartesiano?
Exercício 3
O que é a origem?
Exercício 4
O que é um par ordenado?
Exercício 5
No ponto \(A=(7,-3)\), qual é a abscissa e qual é a ordenada?
Exercício 6
Em qual quadrante está o ponto \((4,5)\)?
Exercício 7
Em qual quadrante está o ponto \((-4,5)\)?
Exercício 8
Em qual quadrante está o ponto \((-4,-5)\)?
Exercício 9
Em qual quadrante está o ponto \((4,-5)\)?
Exercício 10
O ponto \((6,0)\) está em qual eixo?
Exercício 11
O ponto \((0,-8)\) está em qual eixo?
Exercício 12
Determine a distância entre os pontos \((2,3)\) e \((8,3)\).
Exercício 13
Determine a distância entre os pontos \((-2,-1)\) e \((-2,5)\).
Exercício 14
Determine a distância entre os pontos \(A=(1,2)\) e \(B=(4,6)\).
Exercício 15
Determine o ponto médio entre \(A=(2,4)\) e \(B=(8,10)\).
Exercício 16
Determine o ponto médio entre \(A=(-4,2)\) e \(B=(6,8)\).
Exercício 17
Considere os pontos \(A=(1,1)\), \(B=(5,1)\), \(C=(5,4)\) e \(D=(1,4)\). Que figura é formada ao ligar esses pontos?
Exercício 18
Calcule a área da figura do exercício anterior.
Exercício 19
Determine o simétrico do ponto \((3,5)\) em relação ao eixo \(x\).
Exercício 20
Determine o simétrico do ponto \((3,5)\) em relação ao eixo \(y\).
Exercício 21
Determine o simétrico do ponto \((3,5)\) em relação à origem.
Exercício 22
Uma corrida de táxi custa R$ \(6{,}00\) de taxa fixa mais R$ \(4{,}00\) por quilômetro. Escreva os pares ordenados correspondentes a \(0\), \(1\), \(2\) e \(3\) quilômetros.
38. Gabarito comentado
Exercício 1
O plano cartesiano é um sistema formado por duas retas numéricas perpendiculares, chamadas eixo \(x\) e eixo \(y\).
Ele permite localizar pontos por meio de pares ordenados.
Exercício 2
Os dois eixos são:
- eixo \(x\), horizontal;
- eixo \(y\), vertical.
Exercício 3
A origem é o ponto em que os eixos se cruzam.
Ela tem coordenadas:
\[ (0,0) \]
Exercício 4
Um par ordenado é um par de números na forma:
\[ (x,y) \]
O primeiro número indica a posição horizontal.
O segundo indica a posição vertical.
Exercício 5
No ponto:
\[ A=(7,-3) \]
a abscissa é:
\[ 7 \]
e a ordenada é:
\[ -3 \]
Exercício 6
O ponto \((4,5)\) tem \(x>0\) e \(y>0\).
Logo, está no primeiro quadrante.
Exercício 7
O ponto \((-4,5)\) tem \(x<0\) e \(y>0\).
Logo, está no segundo quadrante.
Exercício 8
O ponto \((-4,-5)\) tem \(x<0\) e \(y<0\).
Logo, está no terceiro quadrante.
Exercício 9
O ponto \((4,-5)\) tem \(x>0\) e \(y<0\).
Logo, está no quarto quadrante.
Exercício 10
O ponto \((6,0)\) tem coordenada \(y\) igual a zero.
Logo, está sobre o eixo \(x\).
Exercício 11
O ponto \((0,-8)\) tem coordenada \(x\) igual a zero.
Logo, está sobre o eixo \(y\).
Exercício 12
Os pontos têm a mesma coordenada \(y\).
A distância horizontal é:
\[ 8-2=6 \]
Logo, a distância é:
\[ 6 \]
Exercício 13
Os pontos têm a mesma coordenada \(x\).
A distância vertical é:
\[ 5-(-1)=6 \]
Logo, a distância é:
\[ 6 \]
Exercício 14
Usamos:
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Substituindo:
\[ d(A,B)=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{25} \]
\[ d(A,B)=5 \]
Exercício 15
O ponto médio é:
\[ M=\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right) \]
\[ M=(5,7) \]
Exercício 16
O ponto médio é:
\[ M=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{2+8}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{2}{2},\frac{10}{2}\right) \]
\[ M=(1,5) \]
Exercício 17
Os pontos formam um retângulo.
Isso ocorre porque há dois pares de lados paralelos aos eixos.
Exercício 18
A base mede:
\[ 5-1=4 \]
A altura mede:
\[ 4-1=3 \]
A área é:
\[ A=4\cdot 3 \]
\[ A=12 \]
Logo, a área é:
\[ 12 \]
unidades quadradas.
Exercício 19
Na simetria em relação ao eixo \(x\), mantemos \(x\) e trocamos o sinal de \(y\).
Assim:
\[ (3,5)\mapsto (3,-5) \]
Exercício 20
Na simetria em relação ao eixo \(y\), trocamos o sinal de \(x\) e mantemos \(y\).
Assim:
\[ (3,5)\mapsto (-3,5) \]
Exercício 21
Na simetria em relação à origem, trocamos os sinais das duas coordenadas.
Assim:
\[ (3,5)\mapsto (-3,-5) \]
Exercício 22
O custo é dado por:
\[ C=6+4d \]
Para \(d=0\):
\[ C=6+4\cdot 0=6 \]
Para \(d=1\):
\[ C=6+4\cdot 1=10 \]
Para \(d=2\):
\[ C=6+4\cdot 2=14 \]
Para \(d=3\):
\[ C=6+4\cdot 3=18 \]
Os pares ordenados são:
\[ (0,6),\quad (1,10),\quad (2,14),\quad (3,18) \]
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos o plano cartesiano.
Vimos que ele é formado por dois eixos perpendiculares:
- eixo \(x\), horizontal;
- eixo \(y\), vertical.
Esses eixos se cruzam na origem:
\[ (0,0) \]
Aprendemos que cada ponto do plano pode ser representado por um par ordenado:
\[ (x,y) \]
A primeira coordenada indica a posição horizontal, e a segunda indica a posição vertical.
Estudamos os quatro quadrantes e os sinais das coordenadas em cada um deles.
Também vimos que pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.
Além disso, aprendemos a calcular distâncias horizontais, verticais e a distância entre dois pontos quaisquer:
\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
Estudamos também o ponto médio:
\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]
Por fim, vimos aplicações do plano cartesiano em gráficos, localização, simetrias, figuras geométricas e situações contextualizadas.
A ideia central é que o plano cartesiano transforma posições e relações geométricas em números, permitindo conectar geometria, álgebra, funções e análise de dados.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos distância entre pontos e ponto médio com mais profundidade.
Vamos aplicar essas ideias em segmentos, figuras no plano, problemas geométricos e situações contextualizadas.