Aula 1 — A ideia de função
Unidade: Funções — Ideia, Gráficos e Modelagem
🔗 Aula 1 — A ideia de função
Uma função nasce quando percebemos que uma grandeza pode depender de outra.
Nesta aula, vamos partir de situações simples, como a venda de ingressos em uma feira solidária, para entender três ideias fundamentais:
- uma grandeza pode depender de outra;
- uma regra pode transformar uma entrada em uma saída;
- a notação \(f(x)\) ajuda a representar essa relação de forma matemática.
❓ Pergunta disparadora
Quando uma quantidade muda, outra também pode mudar?
Pense em algumas situações simples:
- se compro mais produtos, gasto mais dinheiro;
- se caminho por mais tempo, percorro uma distância maior;
- se vendo mais ingressos, arrecado mais dinheiro;
- se estudo por mais dias, resolvo mais exercícios;
- se aumento a velocidade, posso chegar em menos tempo.
Em todas essas situações, há grandezas relacionadas.
A pergunta principal desta aula é:
Quando uma quantidade muda, outra também pode mudar?
🧭 Contexto da unidade
Nesta unidade, vamos acompanhar uma situação central:
Uma escola está organizando uma campanha de arrecadação para uma feira solidária.
Os alunos vendem ingressos para levantar dinheiro. Cada ingresso custa R$ 10,00.
Então surge uma pergunta simples:
Quanto a escola arrecada conforme vende ingressos?
Podemos organizar alguns dados em uma tabela.
| Quantidade de ingressos vendidos | Arrecadação |
|---|---|
| 0 | R$ 0,00 |
| 1 | R$ 10,00 |
| 2 | R$ 20,00 |
| 3 | R$ 30,00 |
| 4 | R$ 40,00 |
| 5 | R$ 50,00 |
Essa tabela mostra uma relação clara:
quando a quantidade de ingressos vendidos aumenta, a arrecadação também aumenta.
Aqui temos duas grandezas importantes:
| Grandeza | O que representa |
|---|---|
| Quantidade de ingressos vendidos | Quantos ingressos foram vendidos |
| Arrecadação | Quanto dinheiro foi obtido |
A arrecadação depende da quantidade de ingressos vendidos.
🎯 Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- reconhecer relações de dependência entre grandezas;
- calcular saídas a partir de uma regra funcional simples;
- interpretar a notação \(f(x)\);
- distinguir variável independente e variável dependente;
- relacionar tabelas, regras verbais e expressões simples;
- preparar-se para estudar domínio, imagem e representação gráfica.
📏 1. O que é uma grandeza?
Uma grandeza é algo que pode ser medido, contado ou comparado.
Veja alguns exemplos.
| Situação | Grandezas envolvidas |
|---|---|
| Venda de ingressos | quantidade de ingressos, arrecadação |
| Corrida | tempo, distância percorrida, velocidade |
| Compra no mercado | quantidade de produtos, preço total |
| Temperatura ao longo do dia | horário, temperatura |
| Produção de camisetas | número de camisetas, custo total |
Uma boa forma de reconhecer uma grandeza é pensar em perguntas como:
- Quanto?
- Quantos?
- Qual medida?
- Qual valor?
Por exemplo:
- Quantos ingressos foram vendidos?
- Quanto dinheiro foi arrecadado?
- Quantos quilômetros foram percorridos?
- Qual foi a temperatura?
- Quanto custou a compra?
Sempre que conseguimos responder a perguntas desse tipo, provavelmente estamos lidando com uma grandeza.
O objeto em si nem sempre é a grandeza.
Por exemplo, o ingresso é um objeto.
A quantidade de ingressos vendidos é uma grandeza.
🔄 2. Grandezas constantes e grandezas variáveis
Em uma situação matemática, algumas grandezas podem permanecer fixas e outras podem mudar.
Na feira solidária:
Cada ingresso custa R$ 10,00.
Nesse contexto, o preço de cada ingresso permanece fixo.
Portanto, o preço de cada ingresso é uma grandeza constante.
Mas a quantidade de ingressos vendidos pode mudar.
| Momento da campanha | Quantidade de ingressos vendidos |
|---|---|
| Início da campanha | 0 |
| Depois de algumas vendas | 5 |
| Mais tarde | 20 |
| No fim do dia | 50 |
Então, a quantidade de ingressos vendidos é uma grandeza variável.
A arrecadação também varia.
| Ingressos vendidos | Arrecadação |
|---|---|
| 5 | R$ 50,00 |
| 20 | R$ 200,00 |
| 50 | R$ 500,00 |
Portanto:
Uma grandeza variável é uma quantidade que pode assumir valores diferentes dentro de uma situação.
🧩 Resumindo
| Tipo de grandeza | Ideia | Exemplo |
|---|---|---|
| Grandeza constante | Permanece fixa na situação | Preço de cada ingresso: R$ 10,00 |
| Grandeza variável | Pode mudar na situação | Quantidade de ingressos vendidos |
| Grandeza dependente | Muda de acordo com outra grandeza | Arrecadação total |
➡️ 3. Quando uma grandeza depende de outra
Agora aparece uma ideia fundamental.
Na campanha da feira:
a arrecadação depende da quantidade de ingressos vendidos.
Se forem vendidos poucos ingressos, a arrecadação será pequena.
Se forem vendidos muitos ingressos, a arrecadação será maior.
Podemos representar essa relação assim:
\[ \text{quantidade de ingressos vendidos} \longrightarrow \text{arrecadação} \]
Ou, em palavras:
A quantidade de ingressos vendidos determina o valor arrecadado.
Essa relação pode ser descrita por uma regra simples:
\[ \text{arrecadação} = 10 \cdot \text{quantidade de ingressos vendidos} \]
Por exemplo:
| Ingressos vendidos | Cálculo | Arrecadação |
|---|---|---|
| 3 | \(10 \cdot 3\) | R$ 30,00 |
| 8 | \(10 \cdot 8\) | R$ 80,00 |
| 15 | \(10 \cdot 15\) | R$ 150,00 |
A ideia principal é perceber que:
existe uma regra que relaciona uma quantidade à outra.
FUN-U1-A1-H1 — Reconhecer relações de dependência entre grandezas.
📥 4. Entrada e saída
Quando uma regra transforma uma quantidade em outra, podemos pensar em duas ideias:
- entrada: o valor que colocamos na regra;
- saída: o valor que obtemos depois de aplicar a regra.
Na situação da feira:
| Entrada | Regra | Saída |
|---|---|---|
| 1 ingresso | multiplicar por 10 | R$ 10,00 |
| 2 ingressos | multiplicar por 10 | R$ 20,00 |
| 5 ingressos | multiplicar por 10 | R$ 50,00 |
| 10 ingressos | multiplicar por 10 | R$ 100,00 |
Nesse exemplo:
- a entrada é a quantidade de ingressos vendidos;
- a regra é multiplicar por 10;
- a saída é a arrecadação.
Podemos escrever:
\[ \text{entrada} \longrightarrow \text{regra} \longrightarrow \text{saída} \]
No caso da feira:
\[ \text{ingressos vendidos} \longrightarrow \text{multiplicar por 10} \longrightarrow \text{arrecadação} \]
🧮 5. Regra funcional simples
Uma regra funcional simples é uma regra que permite calcular a saída a partir da entrada.
Na feira solidária, a regra é:
\[ \text{arrecadação} = 10 \cdot \text{quantidade de ingressos vendidos} \]
Se chamarmos a quantidade de ingressos vendidos de \(x\), podemos escrever:
\[ \text{arrecadação} = 10x \]
Agora podemos calcular algumas saídas.
| Entrada \(x\) | Regra | Saída |
|---|---|---|
| 0 | \(10 \cdot 0\) | 0 |
| 1 | \(10 \cdot 1\) | 10 |
| 4 | \(10 \cdot 4\) | 40 |
| 9 | \(10 \cdot 9\) | 90 |
| 12 | \(10 \cdot 12\) | 120 |
Assim, se forem vendidos 12 ingressos, a arrecadação será:
\[ 10 \cdot 12 = 120 \]
Logo, a arrecadação será R$ 120,00.
FUN-U1-A1-H2 — Calcular saídas a partir de uma regra funcional simples.
🔤 6. A notação \(f(x)\)
Em Matemática, é comum representar uma função usando a notação \(f(x)\).
Essa notação pode parecer estranha no começo, mas a ideia é simples.
A expressão:
\[ f(x) \]
pode ser lida como:
f de x
ou, em termos da situação:
a saída produzida pela função quando a entrada é \(x\).
No exemplo da feira, podemos definir:
\[ f(x)=10x \]
Aqui:
- \(x\) representa a quantidade de ingressos vendidos;
- \(f(x)\) representa a arrecadação correspondente;
- \(10x\) é a regra que calcula a arrecadação.
Então:
\[ f(1)=10 \cdot 1=10 \]
\[ f(5)=10 \cdot 5=50 \]
\[ f(12)=10 \cdot 12=120 \]
Isso significa:
| Notação | Significado |
|---|---|
| \(f(1)=10\) | Vendendo 1 ingresso, a arrecadação é R$ 10,00 |
| \(f(5)=50\) | Vendendo 5 ingressos, a arrecadação é R$ 50,00 |
| \(f(12)=120\) | Vendendo 12 ingressos, a arrecadação é R$ 120,00 |
\(f(x)\) não significa \(f \cdot x\).
A notação \(f(x)\) indica o valor da função \(f\) quando a entrada é \(x\).
🎛️ 7. Variável independente e variável dependente
Na situação da feira, a quantidade de ingressos vendidos pode ser escolhida ou observada primeiro.
Depois disso, calculamos a arrecadação.
Por isso:
- a quantidade de ingressos vendidos é a variável independente;
- a arrecadação é a variável dependente.
A arrecadação depende da quantidade de ingressos vendidos.
| Papel | Grandeza no problema |
|---|---|
| Variável independente | Quantidade de ingressos vendidos |
| Variável dependente | Arrecadação |
Usando a notação:
\[ f(x)=10x \]
temos:
- \(x\): variável independente;
- \(f(x)\): variável dependente.
FUN-U1-A1-H3 — Interpretar a notação \(f(x)\) e distinguir variável independente/dependente.
🧮 8. Exemplo guiado 1 — Venda de ingressos
Cada ingresso da feira custa R$ 10,00.
❓ Pergunta
Quanto será arrecadado se forem vendidos 7 ingressos?
✅ Resolução
Sabemos que cada ingresso custa R$ 10,00.
A regra é:
\[ f(x)=10x \]
Como foram vendidos 7 ingressos, temos:
\[ x=7 \]
Então:
\[ f(7)=10 \cdot 7 \]
\[ f(7)=70 \]
Logo, a escola arrecadará:
\[ \boxed{\text{R\$ 70,00}} \]
🧠 Interpretação
A entrada é 7.
A regra multiplica a entrada por 10.
A saída é 70.
Portanto:
\[ 7 \longrightarrow 70 \]
🖨️ 9. Exemplo guiado 2 — Custo de cartazes
Para divulgar a feira, os alunos querem imprimir cartazes. Cada cartaz custa R$ 4,00.
| Número de cartazes | Custo total |
|---|---|
| 1 | R$ 4,00 |
| 2 | R$ 8,00 |
| 3 | R$ 12,00 |
| 10 | R$ 40,00 |
A relação é:
\[ \text{número de cartazes} \longrightarrow \text{custo total} \]
O custo total depende da quantidade de cartazes impressos.
Podemos definir:
\[ g(x)=4x \]
Nesse caso:
- \(x\) é o número de cartazes;
- \(g(x)\) é o custo total;
- a regra é multiplicar por 4.
Se forem impressos 12 cartazes:
\[ g(12)=4 \cdot 12 \]
\[ g(12)=48 \]
Logo, o custo será:
\[ \boxed{\text{R\$ 48,00}} \]
🚫 10. Exemplo guiado 3 — Situação sem relação matemática útil
Agora considere duas informações:
- quantidade de ingressos vendidos;
- cor da camiseta usada pelo aluno que vendeu o ingresso.
A cor da camiseta não determina a arrecadação.
Nesse caso, não há uma relação matemática útil entre essas grandezas para o problema.
Isso é importante porque:
nem todo par de informações forma uma relação matemática relevante.
🧠 11. Quadro-resumo
| Conceito | Ideia |
|---|---|
| Grandeza | Algo que pode ser medido, contado ou comparado |
| Grandeza constante | Grandeza que permanece fixa na situação |
| Grandeza variável | Grandeza que pode mudar |
| Relação entre grandezas | Ligação entre duas quantidades |
| Entrada | Valor colocado na regra |
| Saída | Valor obtido depois de aplicar a regra |
| Variável independente | Grandeza escolhida ou observada primeiro |
| Variável dependente | Grandeza que depende da outra |
| \(f(x)\) | Valor da função para a entrada \(x\) |
A frase essencial é:
Uma função relaciona entradas e saídas por meio de uma regra.
⚠️ 12. Erros comuns
⚠️ Erro 1 — Confundir objeto com grandeza
Um aluno pode dizer:
“A grandeza é o ingresso.”
Mas o ingresso é o objeto.
As grandezas podem ser:
- a quantidade de ingressos vendidos;
- o valor arrecadado;
- o preço de cada ingresso.
Em Matemática, grandeza é aquilo que podemos medir, contar ou comparar.
O ingresso é um objeto.
A quantidade de ingressos é uma grandeza.
⚠️ Erro 2 — Confundir valor constante com valor variável
Na situação da feira, o preço de cada ingresso é R$ 10,00.
Esse valor não muda durante o problema.
Mas a quantidade de ingressos vendidos pode mudar, e a arrecadação também.
| Informação | Tipo |
|---|---|
| Preço de cada ingresso: R$ 10,00 | constante |
| Quantidade de ingressos vendidos | variável |
| Arrecadação total | variável |
⚠️ Erro 3 — Trocar a dependência
Um aluno pode dizer:
“A quantidade de ingressos vendidos depende da arrecadação.”
Mas, no contexto do problema, é melhor dizer:
A arrecadação depende da quantidade de ingressos vendidos.
A quantidade vendida vem primeiro.
Depois calculamos a arrecadação.
⚠️ Erro 4 — Confundir \(f(x)\) com multiplicação
Um erro comum é pensar que:
\[ f(x) \]
significa:
\[ f \cdot x \]
Mas isso não está correto nesse contexto.
A notação \(f(x)\) significa:
o valor da função \(f\) quando a entrada é \(x\).
Por exemplo, se:
\[ f(x)=10x \]
então:
\[ f(3)=10 \cdot 3=30 \]
⚠️ Erro 5 — Confundir entrada e saída
Na regra:
\[ f(x)=10x \]
se \(x=4\), então:
\[ f(4)=40 \]
A entrada é 4.
A saída é 40.
Não devemos inverter os papéis.
✍️ 13. Atividade de exploração
🧃 Situação — Compra de garrafas de água
Uma pessoa compra garrafas de água. Cada garrafa custa R$ 3,00.
Podemos representar o valor pago por:
\[ p(x)=3x \]
em que \(x\) é a quantidade de garrafas compradas.
| Garrafas compradas \(x\) | Valor pago \(p(x)\) |
|---|---|
| 1 | R$ 3,00 |
| 2 | R$ 6,00 |
| 3 | R$ 9,00 |
| 5 | R$ 15,00 |
Responda:
- Quais são as grandezas envolvidas?
- Qual grandeza depende da outra?
- Qual é a variável independente?
- Qual é a variável dependente?
- Qual é a regra que calcula o valor pago?
- Qual é o valor de \(p(8)\)?
- Como podemos descrever essa relação em palavras?
- As grandezas envolvidas são a quantidade de garrafas compradas e o valor pago.
- O valor pago depende da quantidade de garrafas.
- A variável independente é a quantidade de garrafas compradas.
- A variável dependente é o valor pago.
- A regra é:
\[ p(x)=3x \]
- Como \(p(x)=3x\), temos:
\[ p(8)=3 \cdot 8=24 \]
Logo, \(p(8)=24\).
- Quanto maior a quantidade de garrafas compradas, maior será o valor pago.
🧩 14. Habilidades trabalhadas na Aula 1
| Código | Habilidade |
|---|---|
| FUN-U1-A1-H1 | Reconhecer relações de dependência entre grandezas. |
| FUN-U1-A1-H2 | Calcular saídas a partir de uma regra funcional simples. |
| FUN-U1-A1-H3 | Interpretar a notação \(f(x)\) e distinguir variável independente/dependente. |
🛠️ 15. Microaulas associadas
| Microaula | Quando recomendar | Habilidade principal |
|---|---|---|
| O que é uma grandeza? | Quando o aluno confunde objeto, pessoa ou situação com grandeza. | FUN-U1-A1-H1 |
| Uma quantidade depende da outra | Quando o aluno não reconhece relação de dependência. | FUN-U1-A1-H1 |
| Como calcular saídas por uma regra | Quando o aluno erra substituições simples em regras como \(f(x)=10x\). | FUN-U1-A1-H2 |
| O que significa \(f(x)\)? | Quando o aluno confunde \(f(x)\) com multiplicação ou não entende a notação. | FUN-U1-A1-H3 |
| Variável independente e dependente | Quando o aluno troca entrada e saída ou inverte a relação de dependência. | FUN-U1-A1-H3 |
✅ 16. Síntese da aula
Nesta aula, vimos que muitas situações reais envolvem grandezas.
Algumas grandezas são constantes. Outras variam.
Também vimos que uma grandeza pode depender de outra. Quando isso acontece, podemos usar uma regra para transformar uma entrada em uma saída.
A situação da feira solidária mostrou que:
\[ f(x)=10x \]
pode representar a arrecadação obtida com a venda de \(x\) ingressos.
A ideia principal foi:
Uma função relaciona entradas e saídas por meio de uma regra.
➡️ Próxima aula
Na próxima aula, vamos investigar uma nova pergunta:
Quais valores fazem sentido em uma função?
Voltaremos à feira solidária para pensar em perguntas como:
- faz sentido vender uma quantidade negativa de ingressos?
- faz sentido vender meio ingresso?
- quais valores podem ser usados como entrada?
- quais valores podem aparecer como saída?
- como representar essas entradas e saídas em uma tabela e em um gráfico?
Essas perguntas nos levarão aos conceitos de domínio, imagem, pares ordenados e representação gráfica.