Crescimento exponencial
Crescimento exponencial
Pergunta disparadora
Como uma quantidade pode crescer cada vez mais rápido, mesmo quando a taxa percentual de crescimento permanece a mesma?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender a diferença entre crescimento linear e crescimento exponencial;
- reconhecer situações em que uma grandeza cresce por multiplicação constante;
- representar e interpretar modelos simples de crescimento exponencial por meio de tabelas, fórmulas e gráficos.
Desenvolvimento
Nas unidades anteriores, estudamos funções afins e funções quadráticas.
A função afim aparece quando uma grandeza varia por acréscimos constantes. Por exemplo, se uma pessoa economiza R$ \(100{,}00\) por mês, o valor acumulado aumenta sempre R$ \(100{,}00\) a cada mês.
Já a função quadrática aparece em situações com produtos de grandezas relacionadas, áreas, trajetórias e problemas com máximo ou mínimo.
Agora vamos estudar um novo tipo de crescimento: o crescimento exponencial.
Ele aparece quando uma quantidade aumenta sempre por um mesmo fator multiplicativo.
Por exemplo:
Uma população dobra a cada hora.
Se começa com \(100\) indivíduos, depois de uma hora terá \(200\). Depois de duas horas, terá \(400\). Depois de três horas, terá \(800\).
Observe que o aumento absoluto não é sempre o mesmo:
- de \(100\) para \(200\), o aumento foi \(100\);
- de \(200\) para \(400\), o aumento foi \(200\);
- de \(400\) para \(800\), o aumento foi \(400\).
O crescimento fica cada vez mais rápido.
Esse é o comportamento típico do crescimento exponencial.
1. Crescimento linear e crescimento exponencial
Para entender o crescimento exponencial, vamos compará-lo com o crescimento linear.
Crescimento linear
No crescimento linear, somamos sempre a mesma quantidade.
Exemplo:
Uma pessoa começa com R$ \(100{,}00\) e guarda R$ \(50{,}00\) por mês.
A função é:
\[ V(x) = 100 + 50x \]
Tabela:
| Mês | Valor acumulado |
|---|---|
| \(0\) | R$ \(100{,}00\) |
| \(1\) | R$ \(150{,}00\) |
| \(2\) | R$ \(200{,}00\) |
| \(3\) | R$ \(250{,}00\) |
| \(4\) | R$ \(300{,}00\) |
O valor aumenta sempre R$ \(50{,}00\) por mês.
Esse é um crescimento por soma constante.
Crescimento exponencial
No crescimento exponencial, multiplicamos sempre pelo mesmo fator.
Exemplo:
Uma quantidade começa em \(100\) e dobra a cada período.
Tabela:
| Período | Quantidade |
|---|---|
| \(0\) | \(100\) |
| \(1\) | \(200\) |
| \(2\) | \(400\) |
| \(3\) | \(800\) |
| \(4\) | \(1600\) |
Nesse caso, a quantidade é multiplicada por \(2\) a cada período.
Esse é um crescimento por multiplicação constante.
2. A ideia central do crescimento exponencial
O crescimento exponencial acontece quando uma grandeza é multiplicada repetidamente por um mesmo fator maior que \(1\).
Por exemplo, se uma quantidade dobra a cada período, temos:
\[ 100, \quad 200, \quad 400, \quad 800, \quad 1600, \ldots \]
Cada termo é obtido multiplicando o anterior por \(2\).
Podemos escrever:
\[ 100 \cdot 2^0 = 100 \]
\[ 100 \cdot 2^1 = 200 \]
\[ 100 \cdot 2^2 = 400 \]
\[ 100 \cdot 2^3 = 800 \]
\[ 100 \cdot 2^4 = 1600 \]
Assim, a função que representa essa situação é:
\[ f(x) = 100 \cdot 2^x \]
Nessa função, a variável \(x\) aparece no expoente.
Por isso, ela é chamada de função exponencial.
3. Forma geral do crescimento exponencial
Um modelo simples de crescimento exponencial pode ser escrito como:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
em que:
- \(a\) é o valor inicial;
- \(b\) é o fator de crescimento;
- \(x\) representa o número de períodos;
- \(f(x)\) representa o valor após \(x\) períodos.
Para haver crescimento exponencial, precisamos ter:
\[ b > 1 \]
Se \(b = 2\), a quantidade dobra a cada período.
Se \(b = 3\), a quantidade triplica a cada período.
Se \(b = 1{,}1\), a quantidade aumenta \(10\%\) a cada período.
Se \(b = 1{,}05\), a quantidade aumenta \(5\%\) a cada período.
4. Valor inicial
Na função:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
o número \(a\) representa o valor inicial.
Isso acontece porque, quando \(x = 0\), temos:
\[ f(0) = a \cdot b^0 \]
Como:
\[ b^0 = 1 \]
então:
\[ f(0) = a \]
Portanto, o gráfico da função exponencial cruza o eixo vertical no ponto:
\[ (0, a) \]
Exemplo
Considere:
\[ f(x) = 80 \cdot 2^x \]
O valor inicial é:
\[ 80 \]
De fato:
\[ f(0) = 80 \cdot 2^0 \]
\[ f(0) = 80 \cdot 1 \]
\[ f(0) = 80 \]
5. Fator de crescimento
Na função:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
o número \(b\) indica por quanto a quantidade é multiplicada a cada aumento de \(1\) unidade em \(x\).
Exemplo 1
Na função:
\[ f(x) = 50 \cdot 2^x \]
temos:
\[ b = 2 \]
Isso significa que a quantidade dobra a cada período.
Tabela:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(50\) |
| \(1\) | \(100\) |
| \(2\) | \(200\) |
| \(3\) | \(400\) |
| \(4\) | \(800\) |
Exemplo 2
Na função:
\[ g(x) = 20 \cdot 3^x \]
temos:
\[ b = 3 \]
Isso significa que a quantidade triplica a cada período.
Tabela:
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(20\) |
| \(1\) | \(60\) |
| \(2\) | \(180\) |
| \(3\) | \(540\) |
Exemplo 3
Na função:
\[ h(x) = 100 \cdot 1{,}1^x \]
temos:
\[ b = 1{,}1 \]
Isso significa que a quantidade é multiplicada por \(1{,}1\) a cada período.
Multiplicar por \(1{,}1\) é o mesmo que aumentar \(10\%\).
6. Crescimento percentual
Um crescimento percentual também pode ser representado por uma função exponencial.
Se uma quantidade cresce \(r\%\) a cada período, o fator de crescimento é:
\[ 1 + \frac{r}{100} \]
Assim, o modelo fica:
\[ f(x) = a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^x \]
em que:
- \(a\) é o valor inicial;
- \(r\) é a taxa percentual de crescimento por período;
- \(x\) é o número de períodos.
Exemplo 1
Uma população inicial de \(1000\) pessoas cresce \(5\%\) ao ano.
O fator de crescimento é:
\[ 1 + \frac{5}{100} = 1{,}05 \]
Logo, o modelo é:
\[ P(t) = 1000 \cdot 1{,}05^t \]
em que \(t\) representa o tempo em anos.
Exemplo 2
Um investimento inicial de R$ \(2000{,}00\) cresce \(8\%\) ao ano.
O fator de crescimento é:
\[ 1 + \frac{8}{100} = 1{,}08 \]
Logo:
\[ M(t) = 2000 \cdot 1{,}08^t \]
Esse modelo representa o valor do investimento após \(t\) anos, considerando crescimento de \(8\%\) ao ano.
7. Por que o crescimento exponencial acelera?
No crescimento exponencial, o aumento de cada período é calculado sobre o valor já aumentado.
Por exemplo, considere uma quantidade inicial de \(1000\) crescendo \(10\%\) ao período.
No primeiro período:
\[ 10\% \text{ de } 1000 = 100 \]
Novo valor:
\[ 1000 + 100 = 1100 \]
No segundo período, o crescimento de \(10\%\) é calculado sobre \(1100\):
\[ 10\% \text{ de } 1100 = 110 \]
Novo valor:
\[ 1100 + 110 = 1210 \]
No terceiro período:
\[ 10\% \text{ de } 1210 = 121 \]
Novo valor:
\[ 1210 + 121 = 1331 \]
Observe que a taxa percentual é sempre \(10\%\), mas o aumento absoluto cresce:
\[ 100, \quad 110, \quad 121, \ldots \]
É por isso que o crescimento exponencial pode se tornar muito rápido.
8. Exemplo: população que cresce por porcentagem
Uma cidade tem população inicial de \(50000\) habitantes e cresce \(2\%\) ao ano.
Parte 1: escrever a função
O valor inicial é:
\[ 50000 \]
A taxa de crescimento é:
\[ 2\% \]
O fator de crescimento é:
\[ 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02 \]
Logo, o modelo é:
\[ P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t \]
Parte 2: população após \(1\) ano
\[ P(1) = 50000 \cdot 1{,}02^1 \]
\[ P(1) = 51000 \]
Após \(1\) ano, a população será de aproximadamente \(51000\) habitantes.
Parte 3: população após \(5\) anos
\[ P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \]
Calculando:
\[ 1{,}02^5 \approx 1{,}10408 \]
Então:
\[ P(5) \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \]
\[ P(5) \approx 55204 \]
Após \(5\) anos, a população será de aproximadamente \(55204\) habitantes.
9. Exemplo: investimento com juros compostos
O crescimento exponencial aparece naturalmente em juros compostos.
Em juros compostos, o rendimento de cada período é incorporado ao capital, e os próximos rendimentos passam a ser calculados sobre o novo valor.
A fórmula é:
\[ M(t) = C \cdot (1+i)^t \]
em que:
- \(M(t)\) é o montante após \(t\) períodos;
- \(C\) é o capital inicial;
- \(i\) é a taxa de juros na forma decimal;
- \(t\) é o número de períodos.
Exemplo
Uma pessoa investe R$ \(3000{,}00\) a uma taxa de \(6\%\) ao ano, em regime de juros compostos.
O capital inicial é:
\[ C = 3000 \]
A taxa é:
\[ i = 0{,}06 \]
Logo:
\[ M(t) = 3000 \cdot (1 + 0{,}06)^t \]
ou:
\[ M(t) = 3000 \cdot 1{,}06^t \]
Após \(4\) anos:
\[ M(4) = 3000 \cdot 1{,}06^4 \]
Como:
\[ 1{,}06^4 \approx 1{,}26248 \]
então:
\[ M(4) \approx 3000 \cdot 1{,}26248 \]
\[ M(4) \approx 3787{,}44 \]
Após \(4\) anos, o montante será aproximadamente R$ \(3787{,}44\).
10. Comparação entre juros simples e juros compostos
Juros simples têm crescimento linear.
Juros compostos têm crescimento exponencial.
Juros simples
Em juros simples, os juros são calculados sempre sobre o capital inicial.
Exemplo:
R$ \(1000{,}00\) a \(10\%\) ao ano, em juros simples.
A cada ano, o rendimento é:
\[ 10\% \text{ de } 1000 = 100 \]
Tabela:
| Ano | Montante |
|---|---|
| \(0\) | R$ \(1000{,}00\) |
| \(1\) | R$ \(1100{,}00\) |
| \(2\) | R$ \(1200{,}00\) |
| \(3\) | R$ \(1300{,}00\) |
| \(4\) | R$ \(1400{,}00\) |
O aumento é sempre R$ \(100{,}00\).
Juros compostos
Em juros compostos, os juros são calculados sobre o montante acumulado.
R$ \(1000{,}00\) a \(10\%\) ao ano, em juros compostos.
Tabela:
| Ano | Montante |
|---|---|
| \(0\) | R$ \(1000{,}00\) |
| \(1\) | R$ \(1100{,}00\) |
| \(2\) | R$ \(1210{,}00\) |
| \(3\) | R$ \(1331{,}00\) |
| \(4\) | R$ \(1464{,}10\) |
O aumento não é sempre o mesmo. Ele cresce ao longo do tempo.
Esse é o efeito da multiplicação repetida.
11. Gráfico do crescimento exponencial
O gráfico de uma função exponencial crescente tem algumas características importantes.
Considere:
\[ f(x) = 2^x \]
Tabela:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(-1\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(8\) |
O gráfico:
- passa pelo ponto \((0, 1)\);
- fica sempre acima do eixo \(x\);
- cresce cada vez mais rapidamente;
- aproxima-se do eixo \(x\) quando \(x\) vai para valores negativos, mas não toca esse eixo.
Em geral, para:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
com \(a > 0\) e \(b > 1\), o gráfico é crescente.
12. Domínio e imagem da função exponencial
Considere:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
com:
\[ a > 0 \]
e:
\[ b > 1 \]
Se trabalhamos com \(x\) real, o domínio é:
\[ D(f) = \mathbb{R} \]
A imagem é:
\[ \operatorname{Im}(f) = (0, +\infty) \]
Isso significa que a função assume apenas valores positivos.
Por exemplo:
\[ f(x) = 2^x \]
nunca é igual a zero e nunca é negativa.
Mesmo para valores muito negativos de \(x\), a função se aproxima de zero, mas permanece positiva.
13. Crescimento exponencial em tabela
Uma maneira de reconhecer crescimento exponencial é observar se os valores são multiplicados por um mesmo fator.
Exemplo 1
Considere a tabela:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(3\) |
| \(1\) | \(6\) |
| \(2\) | \(12\) |
| \(3\) | \(24\) |
| \(4\) | \(48\) |
Cada valor de \(y\) é o dobro do anterior.
Logo, o fator de crescimento é:
\[ 2 \]
Como o valor inicial é \(3\), a função é:
\[ f(x) = 3 \cdot 2^x \]
Exemplo 2
Considere:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(5\) |
| \(1\) | \(15\) |
| \(2\) | \(45\) |
| \(3\) | \(135\) |
Cada valor de \(y\) é o triplo do anterior.
Logo, o fator de crescimento é:
\[ 3 \]
Como o valor inicial é \(5\), a função é:
\[ f(x) = 5 \cdot 3^x \]
14. Crescimento exponencial em descrição verbal
Muitos problemas indicam crescimento exponencial por meio de expressões como:
- dobra a cada período;
- triplica a cada período;
- cresce \(5\%\) ao ano;
- aumenta \(10\%\) ao mês;
- multiplica-se por \(1{,}2\) a cada etapa;
- cresce por fator constante.
Exemplo 1
Uma cultura de bactérias começa com \(200\) bactérias e dobra a cada hora.
O valor inicial é:
\[ 200 \]
O fator de crescimento é:
\[ 2 \]
Logo:
\[ B(t) = 200 \cdot 2^t \]
Exemplo 2
Um vídeo começa com \(1000\) visualizações e o número de visualizações cresce \(20\%\) por dia durante certo período.
O fator de crescimento é:
\[ 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2 \]
Logo:
\[ V(t) = 1000 \cdot 1{,}2^t \]
15. Tempo de duplicação
Em muitos crescimentos exponenciais, queremos saber de quanto em quanto tempo uma quantidade dobra.
Se uma quantidade dobra a cada período, o modelo é:
\[ f(x) = a \cdot 2^x \]
Mas nem sempre o fator por período é exatamente \(2\).
Por exemplo, se uma população cresce \(10\%\) ao ano, o fator anual é:
\[ 1{,}1 \]
A população não dobra em \(1\) ano, mas pode dobrar após vários anos.
Ainda não estudamos logaritmos, então nesta aula podemos estimar o tempo de duplicação por tentativa, usando tabela.
Exemplo
Uma população inicial de \(1000\) cresce \(10\%\) ao ano.
Modelo:
\[ P(t) = 1000 \cdot 1{,}1^t \]
Queremos saber quando ela ultrapassa \(2000\).
Tabela aproximada:
| \(t\) | \(P(t)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(1000\) |
| \(1\) | \(1100\) |
| \(2\) | \(1210\) |
| \(3\) | \(1331\) |
| \(4\) | \(1464{,}10\) |
| \(5\) | \(1610{,}51\) |
| \(6\) | \(1771{,}56\) |
| \(7\) | \(1948{,}72\) |
| \(8\) | \(2143{,}59\) |
A população ultrapassa \(2000\) habitantes entre \(7\) e \(8\) anos.
Considerando anos inteiros, isso ocorre após \(8\) anos.
16. Cuidado com o domínio em contextos reais
A função exponencial pode aceitar qualquer valor real de \(x\) em muitos modelos matemáticos.
Mas, em contextos reais, o domínio precisa fazer sentido.
Exemplo 1
Se \(t\) representa tempo após o início de uma observação, normalmente usamos:
\[ t \geq 0 \]
Exemplo 2
Se \(n\) representa número de etapas, ciclos ou gerações, então \(n\) costuma ser inteiro não negativo:
\[ n \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \]
Exemplo 3
Se \(t\) representa anos completos de aplicação financeira, talvez o domínio seja:
\[ t \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \]
Mas, se admitimos frações de ano, podemos usar:
\[ t \geq 0 \]
O domínio depende do significado da variável.
17. Limitações de modelos exponenciais
O crescimento exponencial pode ser muito útil para modelar fenômenos reais, mas nenhum modelo deve ser usado sem cuidado.
Por exemplo, uma população pode crescer exponencialmente durante certo tempo, mas não para sempre.
Na realidade, existem limitações como:
- espaço;
- alimento;
- recursos;
- competição;
- doenças;
- mudanças ambientais.
Assim, um modelo exponencial pode ser adequado em certo intervalo, mas deixar de representar bem a situação em períodos muito longos.
O mesmo vale para visualizações de vídeos, investimentos, propagação de informações e outros fenômenos.
Por isso, ao usar uma função exponencial, devemos perguntar:
- O modelo vale para todo tempo ou apenas por um período?
- O crescimento percentual é realmente constante?
- Existem limites naturais ou econômicos?
- O resultado calculado faz sentido?
18. Comparando crescimento linear e exponencial em longo prazo
No início, um crescimento linear pode parecer maior que um crescimento exponencial.
Mas, quando o tempo passa, o crescimento exponencial pode ultrapassar o linear.
Exemplo
Compare duas sequências:
- Sequência A: começa em \(100\) e aumenta \(100\) por período.
- Sequência B: começa em \(10\) e dobra a cada período.
Tabela:
| Período | Sequência A | Sequência B |
|---|---|---|
| \(0\) | \(100\) | \(10\) |
| \(1\) | \(200\) | \(20\) |
| \(2\) | \(300\) | \(40\) |
| \(3\) | \(400\) | \(80\) |
| \(4\) | \(500\) | \(160\) |
| \(5\) | \(600\) | \(320\) |
| \(6\) | \(700\) | \(640\) |
| \(7\) | \(800\) | \(1280\) |
No início, a sequência A é maior.
Mas no período \(7\), a sequência B já ultrapassou a sequência A.
Isso mostra a força do crescimento exponencial.
19. Atividade resolvida
Uma cultura de bactérias começa com \(500\) bactérias e dobra a cada \(2\) horas.
Parte 1: escrever a função
Se \(n\) representa o número de períodos de \(2\) horas, então o valor inicial é:
\[ 500 \]
e o fator de crescimento é:
\[ 2 \]
Logo:
\[ B(n) = 500 \cdot 2^n \]
Parte 2: calcular a quantidade após \(6\) horas
Como cada período tem \(2\) horas, em \(6\) horas temos:
\[ n = 3 \]
Então:
\[ B(3) = 500 \cdot 2^3 \]
\[ B(3) = 500 \cdot 8 \]
\[ B(3) = 4000 \]
Após \(6\) horas, haverá \(4000\) bactérias.
Parte 3: calcular a quantidade após \(10\) horas
Em \(10\) horas, temos:
\[ n = 5 \]
Então:
\[ B(5) = 500 \cdot 2^5 \]
\[ B(5) = 500 \cdot 32 \]
\[ B(5) = 16000 \]
Após \(10\) horas, haverá \(16000\) bactérias.
Parte 4: escrever a função diretamente em horas
Se \(t\) representa o tempo em horas, e a população dobra a cada \(2\) horas, então o número de períodos de duplicação é:
\[ \frac{t}{2} \]
Assim:
\[ B(t) = 500 \cdot 2^{\frac{t}{2}} \]
Essa forma permite calcular a quantidade para qualquer tempo \(t \geq 0\), se o modelo for considerado contínuo.
20. Exercícios
Resolva os exercícios a seguir.
Exercício 1
Explique, com suas palavras, a diferença entre crescimento linear e crescimento exponencial.
Exercício 2
Uma quantidade começa em \(50\) e dobra a cada período. Complete a tabela.
| Período | Quantidade |
|---|---|
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) | |
| \(3\) | |
| \(4\) |
Exercício 3
Escreva a função que representa uma quantidade inicial de \(50\) que dobra a cada período.
Exercício 4
Uma quantidade começa em \(20\) e triplica a cada período. Escreva a função correspondente.
Exercício 5
Em:
\[ f(x) = 80 \cdot 2^x \]
qual é o valor inicial e qual é o fator de crescimento?
Exercício 6
Em:
\[ g(x) = 120 \cdot 1{,}05^x \]
qual é o valor inicial e qual é a taxa percentual de crescimento por período?
Exercício 7
Uma população inicial de \(3000\) habitantes cresce \(4\%\) ao ano. Escreva uma função para representar essa população após \(t\) anos.
Exercício 8
Usando a função do exercício anterior, calcule aproximadamente a população após \(3\) anos.
Exercício 9
Um investimento inicial de R$ \(5000{,}00\) cresce \(7\%\) ao ano em juros compostos. Escreva a função do montante após \(t\) anos.
Exercício 10
Usando a função do exercício anterior, calcule aproximadamente o montante após \(2\) anos.
Exercício 11
Uma cultura de bactérias começa com \(100\) bactérias e dobra a cada hora. Escreva a função \(B(t)\).
Exercício 12
Usando a função do exercício anterior, calcule a quantidade de bactérias após \(6\) horas.
Exercício 13
Uma quantidade segue a tabela:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(4\) |
| \(1\) | \(8\) |
| \(2\) | \(16\) |
| \(3\) | \(32\) |
Determine uma função exponencial que represente esses dados.
Exercício 14
Uma quantidade segue a tabela:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(6\) |
| \(1\) | \(18\) |
| \(2\) | \(54\) |
| \(3\) | \(162\) |
Determine uma função exponencial que represente esses dados.
Exercício 15
A função:
\[ f(x) = 2^x \]
é crescente ou decrescente? Justifique.
Exercício 16
Calcule:
\[ 2^0, \quad 2^1, \quad 2^2, \quad 2^3, \quad 2^4 \]
Exercício 17
Calcule:
\[ 3^0, \quad 3^1, \quad 3^2, \quad 3^3 \]
Exercício 18
Uma população começa com \(1000\) indivíduos e cresce \(10\%\) ao ano. Complete a tabela aproximada até o ano \(4\).
| Ano | População aproximada |
|---|---|
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) | |
| \(3\) | |
| \(4\) |
Exercício 19
Explique por que um modelo exponencial de crescimento populacional pode não valer para sempre.
Exercício 20
Uma quantidade começa em \(200\) e cresce \(25\%\) por período. Escreva a função exponencial correspondente.
21. Gabarito comentado
Exercício 1
No crescimento linear, uma quantidade aumenta por soma constante.
Por exemplo, aumentar \(10\) unidades por período.
No crescimento exponencial, uma quantidade aumenta por multiplicação constante.
Por exemplo, dobrar a cada período ou crescer \(5\%\) a cada período.
Exercício 2
A quantidade começa em \(50\) e dobra a cada período.
| Período | Quantidade |
|---|---|
| \(0\) | \(50\) |
| \(1\) | \(100\) |
| \(2\) | \(200\) |
| \(3\) | \(400\) |
| \(4\) | \(800\) |
Exercício 3
Valor inicial:
\[ 50 \]
Fator de crescimento:
\[ 2 \]
Logo:
\[ f(x) = 50 \cdot 2^x \]
Exercício 4
Valor inicial:
\[ 20 \]
Fator de crescimento:
\[ 3 \]
Logo:
\[ f(x) = 20 \cdot 3^x \]
Exercício 5
Na função:
\[ f(x) = 80 \cdot 2^x \]
o valor inicial é:
\[ 80 \]
e o fator de crescimento é:
\[ 2 \]
Isso significa que a quantidade dobra a cada período.
Exercício 6
Na função:
\[ g(x) = 120 \cdot 1{,}05^x \]
o valor inicial é:
\[ 120 \]
O fator de crescimento é:
\[ 1{,}05 \]
Como:
\[ 1{,}05 = 1 + 0{,}05 \]
a taxa percentual de crescimento é:
\[ 5\% \]
por período.
Exercício 7
População inicial:
\[ 3000 \]
Taxa de crescimento:
\[ 4\% \]
Fator de crescimento:
\[ 1{,}04 \]
Logo:
\[ P(t) = 3000 \cdot 1{,}04^t \]
Exercício 8
Usando:
\[ P(t) = 3000 \cdot 1{,}04^t \]
para \(t = 3\):
\[ P(3) = 3000 \cdot 1{,}04^3 \]
Como:
\[ 1{,}04^3 \approx 1{,}124864 \]
então:
\[ P(3) \approx 3000 \cdot 1{,}124864 \]
\[ P(3) \approx 3374{,}59 \]
A população será aproximadamente \(3375\) habitantes.
Exercício 9
Capital inicial:
\[ 5000 \]
Taxa:
\[ 7\% \]
Fator de crescimento:
\[ 1{,}07 \]
Logo:
\[ M(t) = 5000 \cdot 1{,}07^t \]
Exercício 10
Usando:
\[ M(t) = 5000 \cdot 1{,}07^t \]
para \(t = 2\):
\[ M(2) = 5000 \cdot 1{,}07^2 \]
Como:
\[ 1{,}07^2 = 1{,}1449 \]
então:
\[ M(2) = 5000 \cdot 1{,}1449 \]
\[ M(2) = 5724{,}50 \]
O montante será R$ \(5724{,}50\).
Exercício 11
A cultura começa com \(100\) bactérias e dobra a cada hora.
Logo:
\[ B(t) = 100 \cdot 2^t \]
Exercício 12
Após \(6\) horas:
\[ B(6) = 100 \cdot 2^6 \]
Como:
\[ 2^6 = 64 \]
então:
\[ B(6) = 100 \cdot 64 \]
\[ B(6) = 6400 \]
Haverá \(6400\) bactérias.
Exercício 13
A tabela é:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(4\) |
| \(1\) | \(8\) |
| \(2\) | \(16\) |
| \(3\) | \(32\) |
O valor inicial é:
\[ 4 \]
O fator de crescimento é:
\[ 2 \]
Logo:
\[ f(x) = 4 \cdot 2^x \]
Exercício 14
A tabela é:
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(6\) |
| \(1\) | \(18\) |
| \(2\) | \(54\) |
| \(3\) | \(162\) |
O valor inicial é:
\[ 6 \]
O fator de crescimento é:
\[ 3 \]
Logo:
\[ f(x) = 6 \cdot 3^x \]
Exercício 15
A função:
\[ f(x) = 2^x \]
é crescente, pois a base é maior que \(1\).
Quando \(x\) aumenta, o valor de \(2^x\) também aumenta.
Exercício 16
Temos:
\[ 2^0 = 1 \]
\[ 2^1 = 2 \]
\[ 2^2 = 4 \]
\[ 2^3 = 8 \]
\[ 2^4 = 16 \]
Exercício 17
Temos:
\[ 3^0 = 1 \]
\[ 3^1 = 3 \]
\[ 3^2 = 9 \]
\[ 3^3 = 27 \]
Exercício 18
População inicial:
\[ 1000 \]
Crescimento de \(10\%\) ao ano.
Fator:
\[ 1{,}1 \]
Tabela:
| Ano | População aproximada |
|---|---|
| \(0\) | \(1000\) |
| \(1\) | \(1100\) |
| \(2\) | \(1210\) |
| \(3\) | \(1331\) |
| \(4\) | \(1464{,}1\) |
Exercício 19
Um modelo exponencial de crescimento populacional pode não valer para sempre porque, na realidade, há limitações como espaço, alimento, recursos, doenças e mudanças ambientais.
Por isso, uma população pode crescer exponencialmente durante certo intervalo, mas depois desacelerar ou mudar de comportamento.
Exercício 20
A quantidade inicial é:
\[ 200 \]
A taxa de crescimento é:
\[ 25\% \]
O fator de crescimento é:
\[ 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25 \]
Logo:
\[ f(x) = 200 \cdot 1{,}25^x \]
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos o crescimento exponencial.
Vimos que ele ocorre quando uma quantidade é multiplicada repetidamente por um mesmo fator maior que \(1\). Diferentemente do crescimento linear, em que somamos sempre a mesma quantidade, no crescimento exponencial os acréscimos absolutos aumentam ao longo do tempo.
Estudamos a forma geral:
\[ f(x) = a \cdot b^x \]
em que \(a\) é o valor inicial e \(b\) é o fator de crescimento.
Também vimos que taxas percentuais de crescimento podem ser transformadas em fatores multiplicativos. Por exemplo, crescimento de \(5\%\) corresponde ao fator \(1{,}05\), e crescimento de \(20\%\) corresponde ao fator \(1{,}2\).
Analisamos exemplos envolvendo populações, bactérias, investimentos e juros compostos. Também comparamos juros simples e juros compostos, destacando a diferença entre crescimento linear e crescimento exponencial.
Por fim, discutimos domínio, imagem, gráficos e limitações dos modelos exponenciais em situações reais.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos o decaimento exponencial.
Ele ocorre quando uma quantidade diminui por multiplicação constante, como em desvalorização, meia-vida, perda percentual, depreciação, resfriamento e redução populacional em determinados contextos.