Expressões algébricas e produtos notáveis

Pergunta disparadora

Como podemos transformar expressões algébricas complicadas em formas mais simples e úteis para resolver problemas?

Objetivos da aula

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

reconhecer expressões algébricas e identificar seus termos, coeficientes e partes literais;
simplificar expressões algébricas por meio da redução de termos semelhantes;
aplicar os principais produtos notáveis em cálculos algébricos e na resolução de problemas.

Desenvolvimento

Na unidade anterior, estudamos fundamentos numéricos, operações, frações, porcentagens, linguagem algébrica e equações simples. Agora vamos avançar um passo importante: aprender a manipular expressões algébricas com mais segurança.

A Álgebra permite representar situações gerais usando letras, números e operações. Quando escrevemos uma expressão como

\[ 3x + 5 \]

estamos representando uma quantidade que depende do valor de $x$.

Se $x = 2$, então:

\[ 3x + 5 = 3 \cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11 \]

Se $x = 10$, então:

\[ 3x + 5 = 3 \cdot 10 + 5 = 30 + 5 = 35 \]

A mesma expressão pode assumir valores diferentes, dependendo do valor da variável.

Nesta aula, vamos estudar como organizar, simplificar e desenvolver expressões algébricas. Esse conhecimento será fundamental para os próximos temas, especialmente equações, funções, fatoração, produtos notáveis e resolução de problemas.

1. O que é uma expressão algébrica?

Uma expressão algébrica é uma combinação de números, letras e operações matemáticas.

Exemplos:

\[ 2x + 7 \]

\[ 5a - 3b \]

\[ x^2 + 4x + 4 \]

\[ 3m^2 - 2m + 1 \]

As letras representam variáveis. Elas podem indicar valores desconhecidos, quantidades que mudam ou números genéricos.

Por exemplo, se uma corrida de aplicativo cobra R$ 5,00 de taxa fixa mais R$ 3,00 por quilômetro rodado, o preço de uma corrida com $x$ quilômetros pode ser representado por:

\[ 3x + 5 \]

Nesse caso, $x$ representa a quantidade de quilômetros percorridos.

2. Termos, coeficientes e parte literal

Uma expressão algébrica é formada por termos.

Na expressão

\[ 4x + 7 \]

temos dois termos:

\[ 4x \]

\[ 7 \]

O termo $4x$ possui:

coeficiente: $4$;
parte literal: $x$.

Na expressão

\[ 5a^2 - 3a + 8 \]

temos três termos:

\[ 5a^2 \]

\[ -3a \]

\[ 8 \]

No termo $5a^2$, o coeficiente é $5$ e a parte literal é $a^2$.

No termo $-3a$, o coeficiente é $-3$ e a parte literal é $a$.

O termo $8$ não possui variável. Ele é chamado de termo constante.

3. Termos semelhantes

Termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal.

Por exemplo:

\[ 3x \]

\[ 5x \]

são termos semelhantes, pois ambos possuem a parte literal $x$.

Também são semelhantes:

\[ 7a^2 \]

\[ -2a^2 \]

pois ambos possuem a parte literal $a^2$.

Mas os termos

\[ 4x \]

\[ 4x^2 \]

não são semelhantes, pois as partes literais são diferentes.

Também não são semelhantes:

\[ 3a \]

\[ 3b \]

pois as variáveis são diferentes.

4. Redução de termos semelhantes

Quando uma expressão possui termos semelhantes, podemos agrupá-los.

Por exemplo:

\[ 3x + 5x = 8x \]

Outro exemplo:

\[ 7a - 2a = 5a \]

Agora veja uma expressão com mais termos:

\[ 4x + 3 + 2x - 1 \]

Podemos agrupar os termos com $x$ e os termos constantes:

\[ 4x + 2x + 3 - 1 \]

Logo:

\[ 6x + 2 \]

Portanto:

\[ 4x + 3 + 2x - 1 = 6x + 2 \]

Esse processo é chamado de simplificação da expressão algébrica.

Exemplo 1

Simplifique:

\[ 5a + 3a - 2a \]

Como todos os termos são semelhantes, somamos os coeficientes:

\[ 5a + 3a - 2a = (5 + 3 - 2)a \]

\[ 5a + 3a - 2a = 6a \]

Exemplo 2

Simplifique:

\[ 8x - 3 + 2x + 9 \]

Agrupando termos semelhantes:

\[ 8x + 2x - 3 + 9 \]

Logo:

\[ 10x + 6 \]

Portanto:

\[ 8x - 3 + 2x + 9 = 10x + 6 \]

Exemplo 3

Simplifique:

\[ 6y^2 + 4y - 2y^2 + 7y \]

Agrupando os termos semelhantes:

\[ 6y^2 - 2y^2 + 4y + 7y \]

Logo:

\[ 4y^2 + 11y \]

Portanto:

\[ 6y^2 + 4y - 2y^2 + 7y = 4y^2 + 11y \]

5. Multiplicação de monômio por polinômio

Antes de estudar os produtos notáveis, precisamos lembrar uma propriedade importante: a propriedade distributiva.

Ela afirma que:

\[ a(b + c) = ab + ac \]

Por exemplo:

\[ 3(x + 4) \]

significa que o $3$ multiplica todos os termos dentro dos parênteses:

\[ 3(x + 4) = 3x + 12 \]

Outro exemplo:

\[ 2(5x - 3) \]

Aplicando a distributiva:

\[ 2(5x - 3) = 10x - 6 \]

A propriedade distributiva é uma das ideias mais importantes da Álgebra.

6. Multiplicação de binômios

Um binômio é uma expressão algébrica com dois termos.

Exemplos:

\[ x + 2 \]

\[ a - 5 \]

\[ 2x + 3 \]

Para multiplicar dois binômios, usamos novamente a propriedade distributiva.

Por exemplo:

\[ (x + 2)(x + 3) \]

Multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo:

\[ (x + 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 \]

Logo:

\[ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 \]

Agrupando termos semelhantes:

\[ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 \]

Esse tipo de cálculo aparece com muita frequência no estudo de equações, funções quadráticas e fatoração.

7. Produtos notáveis

Produtos notáveis são multiplicações algébricas que aparecem com muita frequência e, por isso, vale a pena reconhecer seus padrões.

Eles ajudam a desenvolver expressões de forma mais rápida e também serão importantes no processo inverso, chamado fatoração.

Nesta aula, vamos estudar três produtos notáveis principais:

quadrado da soma;
quadrado da diferença;
produto da soma pela diferença.

8. Quadrado da soma

O quadrado da soma aparece quando temos uma expressão do tipo:

\[ (a + b)^2 \]

Isso significa:

\[ (a + b)(a + b) \]

Aplicando a distributiva:

\[ (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 \]

Logo:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Em palavras:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplo 1

Desenvolva:

\[ (x + 3)^2 \]

Aqui, temos:

\[ a = x \]

\[ b = 3 \]

Usando a fórmula:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

temos:

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]

Logo:

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Exemplo 2

Desenvolva:

\[ (2x + 5)^2 \]

Aqui:

\[ a = 2x \]

\[ b = 5 \]

Logo:

\[ (2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 \]

\[ (2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25 \]

9. Cuidado com um erro comum

Um erro muito comum é pensar que:

\[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 \]

Mas isso está errado.

Na verdade:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Veja um exemplo numérico.

Se $a = 2$ e $b = 3$, então:

\[ (a + b)^2 = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \]

Mas:

\[ a^2 + b^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \]

Logo:

\[ (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \]

O termo central $2ab$ não pode ser esquecido.

10. Quadrado da diferença

O quadrado da diferença aparece quando temos uma expressão do tipo:

\[ (a - b)^2 \]

Isso significa:

\[ (a - b)(a - b) \]

Aplicando a distributiva:

\[ (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 \]

Logo:

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Em palavras:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplo 1

Desenvolva:

\[ (x - 4)^2 \]

Aqui:

\[ a = x \]

\[ b = 4 \]

Logo:

\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]

Portanto:

\[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \]

Exemplo 2

Desenvolva:

\[ (3x - 2)^2 \]

Aqui:

\[ a = 3x \]

\[ b = 2 \]

Logo:

\[ (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 \]

\[ (3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 \]

11. Produto da soma pela diferença

Outro produto notável muito importante é:

\[ (a + b)(a - b) \]

Aplicando a distributiva:

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 \]

Os termos $-ab$ e $+ab$ se cancelam:

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Portanto:

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Esse resultado é chamado de diferença de quadrados.

Em palavras:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

Exemplo 1

Desenvolva:

\[ (x + 5)(x - 5) \]

Aqui:

\[ a = x \]

\[ b = 5 \]

Logo:

\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 \]

Portanto:

\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25 \]

Exemplo 2

Desenvolva:

\[ (2x + 3)(2x - 3) \]

Aqui:

\[ a = 2x \]

\[ b = 3 \]

Logo:

\[ (2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 \]

\[ (2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9 \]

12. Produtos notáveis e cálculo mental

Os produtos notáveis também podem ajudar em cálculos numéricos.

Por exemplo, para calcular:

\[ 99^2 \]

podemos escrever:

\[ 99 = 100 - 1 \]

Então:

\[ 99^2 = (100 - 1)^2 \]

Usando o quadrado da diferença:

\[ (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 \]

\[ (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 \]

\[ (100 - 1)^2 = 9801 \]

Outro exemplo:

\[ 103^2 \]

Podemos escrever:

\[ 103 = 100 + 3 \]

Então:

\[ 103^2 = (100 + 3)^2 \]

Usando o quadrado da soma:

\[ (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 \]

\[ (100 + 3)^2 = 10000 + 600 + 9 \]

\[ (100 + 3)^2 = 10609 \]

Isso mostra que os produtos notáveis não servem apenas para manipular letras. Eles também expressam padrões numéricos.

13. Interpretação geométrica do quadrado da soma

O produto notável

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

também pode ser interpretado geometricamente.

Imagine um quadrado cujo lado mede $a + b$. Sua área é:

\[ (a + b)^2 \]

Esse quadrado pode ser dividido em quatro partes:

um quadrado de área $a^2$;
dois retângulos de área $ab$;
um quadrado de área $b^2$.

Somando as quatro áreas, temos:

\[ a^2 + ab + ab + b^2 \]

Logo:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Essa interpretação ajuda a entender por que o termo $2ab$ aparece. Ele representa as áreas dos dois retângulos formados na decomposição do quadrado.

14. Atividade resolvida

Vamos resolver uma atividade que reúne simplificação de expressões e produtos notáveis.

Simplifique a expressão:

\[ (x + 4)^2 - 3x \]

Primeiro, desenvolvemos o quadrado da soma:

\[ (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]

\[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \]

Agora substituímos na expressão original:

\[ (x + 4)^2 - 3x = x^2 + 8x + 16 - 3x \]

Agrupando os termos semelhantes:

\[ x^2 + 5x + 16 \]

Portanto:

\[ (x + 4)^2 - 3x = x^2 + 5x + 16 \]

15. Exercícios

Resolva os exercícios a seguir.

Exercício 1

Identifique os termos da expressão:

\[ 7x + 4 \]

Exercício 2

Na expressão

\[ 5a^2 - 3a + 9 \]

identifique:

o termo de segundo grau;
o termo de primeiro grau;
o termo constante.

Exercício 3

Simplifique:

\[ 4x + 7x \]

Exercício 4

Simplifique:

\[ 9a - 2a + 5 \]

Exercício 5

Simplifique:

\[ 3x^2 + 4x - x^2 + 6x \]

Exercício 6

Desenvolva:

\[ 2(x + 5) \]

Exercício 7

Desenvolva:

\[ (x + 2)(x + 6) \]

Exercício 8

Desenvolva:

\[ (x + 5)^2 \]

Exercício 9

Desenvolva:

\[ (x - 3)^2 \]

Exercício 10

Desenvolva:

\[ (x + 7)(x - 7) \]

Exercício 11

Desenvolva:

\[ (2x + 1)^2 \]

Exercício 12

Desenvolva:

\[ (3x - 4)^2 \]

Exercício 13

Desenvolva:

\[ (5x + 2)(5x - 2) \]

Exercício 14

Use produtos notáveis para calcular:

\[ 101^2 \]

Exercício 15

Simplifique:

\[ (x - 2)^2 + 4x \]

16. Gabarito comentado

Exercício 1

A expressão

\[ 7x + 4 \]

possui dois termos:

\[ 7x \]

\[ 4 \]

O termo $7x$ tem coeficiente $7$ e parte literal $x$. O termo $4$ é constante.

Exercício 2

Na expressão

\[ 5a^2 - 3a + 9 \]

temos:

termo de segundo grau: $5a^2$;
termo de primeiro grau: $-3a$;
termo constante: $9$.

Exercício 3

Como os termos são semelhantes:

\[ 4x + 7x = 11x \]

Exercício 4

Agrupando os termos semelhantes:

\[ 9a - 2a + 5 = 7a + 5 \]

Exercício 5

Agrupando os termos semelhantes:

\[ 3x^2 + 4x - x^2 + 6x = 3x^2 - x^2 + 4x + 6x \]

Logo:

\[ 2x^2 + 10x \]

Exercício 6

Aplicando a propriedade distributiva:

\[ 2(x + 5) = 2x + 10 \]

Exercício 7

Temos:

\[ (x + 2)(x + 6) \]

Aplicando a distributiva:

\[ (x + 2)(x + 6) = x^2 + 6x + 2x + 12 \]

Logo:

\[ (x + 2)(x + 6) = x^2 + 8x + 12 \]

Exercício 8

Usando o quadrado da soma:

\[ (x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 \]

Logo:

\[ (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \]

Exercício 9

Usando o quadrado da diferença:

\[ (x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]

Logo:

\[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]

Exercício 10

Usando o produto da soma pela diferença:

\[ (x + 7)(x - 7) = x^2 - 7^2 \]

Logo:

\[ (x + 7)(x - 7) = x^2 - 49 \]

Exercício 11

Usando o quadrado da soma:

\[ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \]

Logo:

\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]

Exercício 12

Usando o quadrado da diferença:

\[ (3x - 4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 \]

Logo:

\[ (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16 \]

Exercício 13

Usando o produto da soma pela diferença:

\[ (5x + 2)(5x - 2) = (5x)^2 - 2^2 \]

Logo:

\[ (5x + 2)(5x - 2) = 25x^2 - 4 \]

Exercício 14

Podemos escrever:

\[ 101 = 100 + 1 \]

Então:

\[ 101^2 = (100 + 1)^2 \]

Usando o quadrado da soma:

\[ (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 \]

\[ (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 \]

Logo:

\[ 101^2 = 10201 \]

Exercício 15

Primeiro desenvolvemos o quadrado da diferença:

\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]

Agora substituímos na expressão:

\[ (x - 2)^2 + 4x = x^2 - 4x + 4 + 4x \]

Agrupando termos semelhantes:

\[ x^2 + 4 \]

Logo:

\[ (x - 2)^2 + 4x = x^2 + 4 \]

Síntese da aula

Nesta aula, estudamos expressões algébricas e produtos notáveis.

Vimos que expressões algébricas são formadas por números, variáveis e operações. Aprendemos a identificar termos, coeficientes, partes literais e termos constantes. Também estudamos termos semelhantes e como simplificar expressões agrupando esses termos.

Depois, retomamos a propriedade distributiva e vimos como ela permite desenvolver multiplicações entre expressões algébricas.

Por fim, estudamos três produtos notáveis fundamentais:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Esses padrões serão usados muitas vezes nas próximas aulas, especialmente no estudo da fatoração, das equações do segundo grau e das funções quadráticas.

Próximo passo

Na próxima aula, estudaremos a fatoração algébrica.

A fatoração é o processo inverso do desenvolvimento de expressões. Em vez de expandir produtos, vamos aprender a reescrever expressões como multiplicações.

Esse novo tema será essencial para simplificar expressões, resolver equações e compreender melhor a estrutura da Álgebra.