Teorema de Rolle
Teorema de Rolle
Pergunta disparadora
Se uma função começa e termina com o mesmo valor em um intervalo, será que em algum ponto intermediário sua reta tangente precisa ficar horizontal?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender o enunciado e a interpretação geométrica do Teorema de Rolle;
- verificar as hipóteses de continuidade, derivabilidade e igualdade dos valores nas extremidades;
- aplicar o Teorema de Rolle para garantir a existência de pontos em que \(f'(c)=0\).
Desenvolvimento
Nas unidades anteriores, estudamos derivadas e suas aplicações ao crescimento, decrescimento, máximos, mínimos, concavidade, esboço de gráficos, otimização e taxas relacionadas.
Agora vamos estudar alguns teoremas fundamentais que conectam derivadas, continuidade e comportamento global de funções em intervalos.
O primeiro deles é o Teorema de Rolle.
Esse teorema responde a uma pergunta simples, mas muito importante:
se uma função é contínua em um intervalo fechado, derivável no interior desse intervalo e assume o mesmo valor nas extremidades, então deve existir pelo menos um ponto interno em que a derivada é zero?
A resposta é sim.
Esse resultado é uma ponte entre o comportamento global da função no intervalo e o comportamento local da derivada em algum ponto do intervalo.
Ideia intuitiva
Imagine uma curva suave que começa e termina na mesma altura.
Por exemplo, suponha que:
\[ f(a)=f(b). \]
Isso significa que os pontos:
\[ (a,f(a)) \]
e:
\[ (b,f(b)) \]
estão na mesma altura.
Se a função sobe e depois desce, em algum momento ela deve atingir um ponto mais alto, isto é, um máximo.
Nesse ponto, se a curva for suave, a reta tangente será horizontal.
Logo, a derivada será zero.
Se a função desce e depois sobe, em algum momento ela deve atingir um ponto mais baixo, isto é, um mínimo.
Nesse ponto, novamente a reta tangente será horizontal.
Se a função não sobe nem desce, isto é, se for constante, então sua derivada é zero em todos os pontos do intervalo.
Em todos esses casos, aparece pelo menos um ponto \(c\) no interior do intervalo tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Essa é a essência do Teorema de Rolle.
Enunciado do Teorema de Rolle
Seja \(f\) uma função definida em um intervalo fechado \([a,b]\).
Se:
- \(f\) é contínua em \([a,b]\);
- \(f\) é derivável em \((a,b)\);
- \(f(a)=f(b)\);
então existe pelo menos um número \(c\) em \((a,b)\) tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Em forma compacta:
\[ \exists c\in(a,b)\ \text{tal que}\ f'(c)=0. \]
O ponto \(c\) não precisa ser único.
O teorema garante a existência de pelo menos um ponto, mas pode haver mais de um.
Entendendo as hipóteses
O Teorema de Rolle tem três hipóteses.
A primeira hipótese é a continuidade em \([a,b]\).
Isso significa que a função não pode ter saltos, buracos ou interrupções no intervalo fechado.
A segunda hipótese é a derivabilidade em \((a,b)\).
Isso significa que a função deve ter derivada em todos os pontos internos do intervalo. Ela não pode ter pontas, quinas ou cúspides no interior.
A terceira hipótese é:
\[ f(a)=f(b). \]
Isso significa que os valores nas extremidades do intervalo são iguais.
As três hipóteses são importantes.
Se alguma delas falhar, a conclusão do teorema pode falhar.
Interpretação geométrica
A condição:
\[ f(a)=f(b) \]
significa que a reta secante que passa pelos pontos:
\[ (a,f(a)) \]
e:
\[ (b,f(b)) \]
é horizontal.
De fato, a inclinação da reta secante é:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
Como:
\[ f(a)=f(b), \]
temos:
\[ f(b)-f(a)=0. \]
Logo:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0. \]
O Teorema de Rolle afirma que, em algum ponto interno \(c\), a reta tangente também será horizontal.
Ou seja:
\[ f'(c)=0. \]
Portanto, o teorema diz que, sob certas condições, uma secante horizontal força a existência de uma tangente horizontal.
Exemplo visual simples
Considere:
\[ f(x)=x^2-1 \]
no intervalo:
\[ [-1,1]. \]
Calculamos os valores nas extremidades:
\[ f(-1)=(-1)^2-1=1-1=0. \]
E:
\[ f(1)=1^2-1=1-1=0. \]
Logo:
\[ f(-1)=f(1). \]
A função é polinomial, portanto é contínua em \([-1,1]\) e derivável em \((-1,1)\).
Assim, as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.
A derivada é:
\[ f'(x)=2x. \]
Procuramos \(c\) tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Então:
\[ 2c=0. \]
Logo:
\[ c=0. \]
Como:
\[ 0\in(-1,1), \]
o teorema se confirma.
No gráfico, \(x=0\) é o vértice da parábola, onde a reta tangente é horizontal.
Exemplo 1: aplicando diretamente
Verifique o Teorema de Rolle para:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
no intervalo:
\[ [1,3]. \]
Primeiro, verificamos a continuidade.
Como \(f\) é polinomial, ela é contínua em todo \(\mathbb{R}\), portanto é contínua em \([1,3]\).
Segundo, verificamos a derivabilidade.
Como \(f\) é polinomial, ela é derivável em todo \(\mathbb{R}\), portanto é derivável em \((1,3)\).
Terceiro, verificamos os valores nas extremidades:
\[ f(1)=1^2-4(1)+3=1-4+3=0. \]
E:
\[ f(3)=3^2-4(3)+3=9-12+3=0. \]
Logo:
\[ f(1)=f(3). \]
As três hipóteses estão satisfeitas.
Agora, pelo Teorema de Rolle, existe \(c\in(1,3)\) tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Calculamos:
\[ f'(x)=2x-4. \]
Então:
\[ 2c-4=0. \]
Logo:
\[ 2c=4. \]
Portanto:
\[ c=2. \]
Como:
\[ 2\in(1,3), \]
encontramos o ponto garantido pelo teorema.
O que o teorema garante?
O Teorema de Rolle garante existência.
Ele diz que existe pelo menos um ponto \(c\) no intervalo aberto \((a,b)\) onde:
\[ f'(c)=0. \]
Mas o teorema não diz automaticamente qual é esse ponto.
Para encontrá-lo, normalmente calculamos a derivada e resolvemos:
\[ f'(x)=0. \]
Depois verificamos quais soluções pertencem ao intervalo aberto:
\[ (a,b). \]
Também é importante lembrar que o teorema não afirma que há apenas um ponto.
Pode haver vários pontos em que a derivada é zero.
Exemplo 2: mais de um ponto
Considere:
\[ f(x)=\cos x \]
no intervalo:
\[ [0,2\pi]. \]
A função \(\cos x\) é contínua em \([0,2\pi]\) e derivável em \((0,2\pi)\).
Além disso:
\[ f(0)=\cos 0=1 \]
e:
\[ f(2\pi)=\cos(2\pi)=1. \]
Logo:
\[ f(0)=f(2\pi). \]
As hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.
Agora calculamos a derivada:
\[ f'(x)=-\sin x. \]
Queremos:
\[ f'(c)=0. \]
Então:
\[ -\sin c=0. \]
Logo:
\[ \sin c=0. \]
No intervalo aberto:
\[ (0,2\pi), \]
isso ocorre em:
\[ c=\pi. \]
Portanto, o ponto garantido pelo teorema é:
\[ c=\pi. \]
Nesse ponto, a função \(\cos x\) atinge um mínimo local, e a reta tangente é horizontal.
Exemplo 3: função constante
Considere:
\[ f(x)=5 \]
no intervalo:
\[ [2,8]. \]
A função é contínua e derivável em todo \(\mathbb{R}\).
Além disso:
\[ f(2)=5 \]
e:
\[ f(8)=5. \]
Logo:
\[ f(2)=f(8). \]
A derivada é:
\[ f'(x)=0. \]
Então:
\[ f'(c)=0 \]
para todo:
\[ c\in(2,8). \]
Nesse caso, há infinitos pontos que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle.
Esse exemplo mostra que o ponto \(c\) garantido pelo teorema pode não ser único.
Exemplo 4: polinômio cúbico
Verifique o Teorema de Rolle para:
\[ f(x)=x^3-3x \]
no intervalo:
\[ [-\sqrt{3},0]. \]
Primeiro, \(f\) é polinomial, logo é contínua em todo intervalo fechado e derivável em todo intervalo aberto.
Agora verificamos as extremidades:
\[ f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^3-3(-\sqrt{3}). \]
Como:
\[ (-\sqrt{3})^3=-3\sqrt{3}, \]
temos:
\[ f(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=0. \]
E:
\[ f(0)=0^3-3(0)=0. \]
Logo:
\[ f(-\sqrt{3})=f(0). \]
As hipóteses estão satisfeitas.
Agora calculamos a derivada:
\[ f'(x)=3x^2-3. \]
Procuramos \(c\) tal que:
\[ 3c^2-3=0. \]
Então:
\[ 3(c^2-1)=0. \]
Logo:
\[ c^2=1. \]
Assim:
\[ c=-1 \]
ou:
\[ c=1. \]
Mas precisamos de:
\[ c\in(-\sqrt{3},0). \]
Como:
\[ -\sqrt{3}\approx -1{,}73, \]
temos:
\[ -1\in(-\sqrt{3},0). \]
Já:
\[ 1\notin(-\sqrt{3},0). \]
Portanto, o ponto garantido pelo Teorema de Rolle nesse intervalo é:
\[ c=-1. \]
Verificação cuidadosa das hipóteses
Antes de aplicar o Teorema de Rolle, devemos verificar as três hipóteses.
Não basta observar que:
\[ f(a)=f(b). \]
Também precisamos garantir continuidade e derivabilidade.
Por exemplo, uma função pode satisfazer \(f(a)=f(b)\), mas ter uma descontinuidade no intervalo.
Ou pode ser contínua, mas não derivável em algum ponto interno.
Nesses casos, o Teorema de Rolle pode não ser aplicado.
A conclusão pode até ser verdadeira por acaso, mas não será garantida pelo teorema.
Quando a continuidade falha
Considere uma função definida em \([-1,1]\) por:
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 0, & x=0,\\ 1, & x>0. \end{cases} \]
Temos:
\[ f(-1)=1 \]
e:
\[ f(1)=1. \]
Logo:
\[ f(-1)=f(1). \]
Mas a função não é contínua em:
\[ x=0. \]
De fato, perto de \(0\), para \(x\neq 0\), a função vale \(1\), mas:
\[ f(0)=0. \]
Portanto, a função não é contínua em \([-1,1]\).
Nesse caso, não podemos aplicar o Teorema de Rolle.
Esse exemplo mostra que a igualdade nas extremidades não basta.
Quando a derivabilidade falha
Considere:
\[ f(x)=|x| \]
no intervalo:
\[ [-1,1]. \]
A função é contínua em \([-1,1]\).
Além disso:
\[ f(-1)=1 \]
e:
\[ f(1)=1. \]
Logo:
\[ f(-1)=f(1). \]
Mas \(f\) não é derivável em:
\[ x=0. \]
Como \(0\) pertence ao intervalo aberto:
\[ (-1,1), \]
a hipótese de derivabilidade em todo o intervalo aberto falha.
De fato, para \(x<0\):
\[ f'(x)=-1. \]
Para \(x>0\):
\[ f'(x)=1. \]
Não há ponto \(c\in(-1,1)\) em que:
\[ f'(c)=0. \]
A função tem um mínimo em \(0\), mas com uma ponta, não com tangente horizontal.
Esse exemplo mostra que a derivabilidade é indispensável.
Quando os valores nas extremidades não são iguais
Considere:
\[ f(x)=x \]
no intervalo:
\[ [0,1]. \]
A função é contínua em \([0,1]\) e derivável em \((0,1)\).
Mas:
\[ f(0)=0 \]
e:
\[ f(1)=1. \]
Logo:
\[ f(0)\neq f(1). \]
A terceira hipótese do Teorema de Rolle falha.
De fato:
\[ f'(x)=1 \]
para todo \(x\).
Não existe \(c\in(0,1)\) tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Nesse caso, não há tangente horizontal.
A reta secante entre as extremidades não é horizontal, e o Teorema de Rolle não se aplica.
Exemplo 5: verificando se o teorema se aplica
Considere:
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
no intervalo:
\[ [0,4]. \]
A função é contínua em \([0,4]\).
Ela é derivável em \((0,4)\), pois:
\[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \]
para \(x>0\).
Agora verificamos as extremidades:
\[ f(0)=0 \]
e:
\[ f(4)=2. \]
Como:
\[ f(0)\neq f(4), \]
o Teorema de Rolle não se aplica.
Observe que a função é contínua e derivável no intervalo adequado, mas a igualdade nas extremidades falha.
Exemplo 6: intervalo adequado
Considere:
\[ f(x)=x^2-4 \]
no intervalo:
\[ [-2,2]. \]
A função é polinomial, então é contínua em \([-2,2]\) e derivável em \((-2,2)\).
Agora:
\[ f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0. \]
E:
\[ f(2)=2^2-4=4-4=0. \]
Logo:
\[ f(-2)=f(2). \]
As hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.
A derivada é:
\[ f'(x)=2x. \]
Resolvendo:
\[ 2c=0, \]
obtemos:
\[ c=0. \]
Portanto, existe:
\[ c=0\in(-2,2) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Exemplo 7: escolhendo o intervalo
Às vezes, uma mesma função pode satisfazer o Teorema de Rolle em um intervalo e não em outro.
Considere:
\[ f(x)=x^2. \]
No intervalo:
\[ [-1,1], \]
temos:
\[ f(-1)=1 \]
e:
\[ f(1)=1. \]
Então o Teorema de Rolle se aplica.
A derivada é:
\[ f'(x)=2x, \]
e o ponto garantido é:
\[ c=0. \]
Mas no intervalo:
\[ [0,1], \]
temos:
\[ f(0)=0 \]
e:
\[ f(1)=1. \]
Então:
\[ f(0)\neq f(1). \]
Nesse intervalo, o Teorema de Rolle não se aplica.
A função é a mesma, mas o intervalo escolhido muda as hipóteses.
Relação com máximos e mínimos
O Teorema de Rolle está ligado ao estudo de máximos e mínimos.
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\), pelo Teorema do Valor Extremo, ela atinge máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.
Se:
\[ f(a)=f(b), \]
então há duas possibilidades principais.
Primeira possibilidade: a função é constante.
Nesse caso, a derivada é zero em todos os pontos internos.
Segunda possibilidade: a função não é constante.
Nesse caso, ela deve assumir algum valor maior ou menor que o valor comum das extremidades.
Então há um máximo ou mínimo em algum ponto interno.
Se a função é derivável nesse ponto, pelo Teorema de Fermat a derivada deve ser zero.
Essa é a ideia por trás da demonstração do Teorema de Rolle.
Esboço da demonstração
Vamos apresentar uma ideia da demonstração.
Suponha que \(f\) seja contínua em \([a,b]\), derivável em \((a,b)\) e que:
\[ f(a)=f(b). \]
Como \(f\) é contínua em \([a,b]\), ela atinge máximo e mínimo absolutos no intervalo.
Isso é garantido pelo Teorema do Valor Extremo.
Se a função for constante, então:
\[ f'(x)=0 \]
para todo \(x\in(a,b)\).
Logo, qualquer ponto interno serve.
Se a função não for constante, então ela assume algum valor maior ou menor que o valor comum das extremidades.
Nesse caso, o máximo ou mínimo absoluto ocorre em algum ponto interno:
\[ c\in(a,b). \]
Como \(f\) é derivável em \(c\), pelo Teorema de Fermat:
\[ f'(c)=0. \]
Assim, existe pelo menos um ponto interno \(c\) tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Essa é a conclusão do Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle e raízes de funções
Uma aplicação importante do Teorema de Rolle envolve raízes.
Se uma função derivável tem duas raízes distintas, então sua derivada tem pelo menos uma raiz entre elas.
Suponha que:
\[ f(a)=0 \]
e:
\[ f(b)=0, \]
com:
\[ a<b. \]
Então:
\[ f(a)=f(b). \]
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e derivável em \((a,b)\), o Teorema de Rolle garante que existe:
\[ c\in(a,b) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Em palavras:
entre duas raízes de uma função suave, existe pelo menos uma raiz da derivada.
Essa ideia é muito útil no estudo de polinômios e no comportamento de funções.
Exemplo com raízes
Considere:
\[ f(x)=x^2-1. \]
As raízes são:
\[ x=-1 \]
e:
\[ x=1. \]
Como \(f\) é polinomial, é contínua e derivável.
Pelo Teorema de Rolle, deve existir:
\[ c\in(-1,1) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
A derivada é:
\[ f'(x)=2x. \]
Então:
\[ 2c=0. \]
Logo:
\[ c=0. \]
De fato, entre as duas raízes \(-1\) e \(1\), há um ponto onde a tangente é horizontal.
Exemplo com três raízes
Considere um polinômio com três raízes reais distintas:
\[ f(x)=x(x-2)(x-4). \]
As raízes são:
\[ 0,\quad 2,\quad 4. \]
Pelo Teorema de Rolle, entre as raízes \(0\) e \(2\) existe pelo menos um ponto onde:
\[ f'(x)=0. \]
Também, entre as raízes \(2\) e \(4\) existe pelo menos outro ponto onde:
\[ f'(x)=0. \]
Portanto, a derivada tem pelo menos duas raízes reais.
Esse raciocínio ajuda a entender por que a derivada de um polinômio com várias raízes reais também deve ter raízes entre elas.
Aplicação: unicidade de raízes
O Teorema de Rolle também pode ser usado para provar que certas equações têm no máximo uma raiz.
A ideia é a seguinte.
Se uma função tivesse duas raízes distintas, então, pelo Teorema de Rolle, sua derivada teria que se anular em algum ponto entre elas.
Então, se conseguimos mostrar que a derivada nunca é zero, concluímos que a função não pode ter duas raízes.
Logo, a função tem no máximo uma raiz.
Exemplo de unicidade
Mostre que a equação:
\[ x^3+x+1=0 \]
tem no máximo uma raiz real.
Defina:
\[ f(x)=x^3+x+1. \]
A derivada é:
\[ f'(x)=3x^2+1. \]
Como:
\[ 3x^2\geq 0, \]
temos:
\[ 3x^2+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Logo:
\[ f'(x)>0 \]
para todo \(x\).
Isso significa que \(f\) é estritamente crescente em toda a reta real.
Mas também podemos argumentar com Rolle.
Se \(f\) tivesse duas raízes reais distintas \(a\) e \(b\), então:
\[ f(a)=0 \]
e:
\[ f(b)=0. \]
Pelo Teorema de Rolle, existiria:
\[ c\in(a,b) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Mas isso é impossível, pois:
\[ f'(x)=3x^2+1>0 \]
para todo \(x\).
Portanto, a equação tem no máximo uma raiz real.
Exemplo com existência e unicidade
Podemos mostrar que:
\[ x^3+x+1=0 \]
tem exatamente uma raiz real.
Já vimos que tem no máximo uma.
Agora mostramos que tem pelo menos uma.
Observe que:
\[ f(-1)=(-1)^3+(-1)+1=-1-1+1=-1. \]
E:
\[ f(0)=0^3+0+1=1. \]
Como \(f\) é contínua e muda de sinal entre \(-1\) e \(0\), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em:
\[ (-1,0). \]
Como já provamos que há no máximo uma raiz, concluímos que há exatamente uma raiz real.
Esse exemplo combina o Teorema do Valor Intermediário com o Teorema de Rolle.
Exemplo 8: verificando Rolle com função trigonométrica
Considere:
\[ f(x)=\sin x \]
no intervalo:
\[ [0,\pi]. \]
A função é contínua em \([0,\pi]\) e derivável em \((0,\pi)\).
Além disso:
\[ f(0)=\sin 0=0 \]
e:
\[ f(\pi)=\sin\pi=0. \]
Logo:
\[ f(0)=f(\pi). \]
Pelo Teorema de Rolle, existe:
\[ c\in(0,\pi) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Como:
\[ f'(x)=\cos x, \]
queremos:
\[ \cos c=0. \]
No intervalo:
\[ (0,\pi), \]
isso ocorre em:
\[ c=\frac{\pi}{2}. \]
Nesse ponto, \(\sin x\) atinge seu máximo no intervalo.
Exemplo 9: cuidado com derivabilidade
Considere:
\[ f(x)=|x-1| \]
no intervalo:
\[ [0,2]. \]
Temos:
\[ f(0)=|0-1|=1 \]
e:
\[ f(2)=|2-1|=1. \]
Além disso, \(f\) é contínua em \([0,2]\).
Mas \(f\) não é derivável em:
\[ x=1. \]
Como \(1\in(0,2)\), a hipótese de derivabilidade no intervalo aberto falha.
Logo, o Teorema de Rolle não se aplica.
De fato, para \(x<1\):
\[ f'(x)=-1, \]
e para \(x>1\):
\[ f'(x)=1. \]
Não há ponto em que a derivada seja zero.
A função tem um mínimo em \(x=1\), mas esse mínimo ocorre em uma ponta.
Exemplo 10: função com descontinuidade
Considere:
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]
no intervalo:
\[ [-1,1]. \]
Algebricamente, para \(x\neq 1\):
\[ f(x)=x+1. \]
Mas em:
\[ x=1, \]
a expressão original não está definida.
Portanto, \(f\) não é contínua em \([-1,1]\).
Além disso, \(f(1)\) nem sequer existe.
Logo, o Teorema de Rolle não pode ser aplicado nesse intervalo.
Esse exemplo reforça a importância de verificar o domínio e a continuidade antes de usar o teorema.
Rolle como caso especial do Teorema do Valor Médio
O Teorema de Rolle é um caso especial de um resultado mais geral chamado Teorema do Valor Médio.
O Teorema do Valor Médio diz que, sob hipóteses semelhantes de continuidade e derivabilidade, existe um ponto \(c\) em que a inclinação da tangente é igual à inclinação da secante entre as extremidades.
A inclinação da secante é:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
No Teorema de Rolle, temos:
\[ f(a)=f(b). \]
Então:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0. \]
Logo, a conclusão vira:
\[ f'(c)=0. \]
Portanto, Rolle é o caso em que a secante é horizontal.
Na próxima aula, estudaremos o Teorema do Valor Médio em sua forma geral.
Aplicação conceitual: ida e volta
Imagine que uma pessoa sai de casa, caminha por algum tempo e depois retorna exatamente ao ponto de partida.
Se \(s(t)\) representa a posição da pessoa em relação à casa, então, no início e no fim:
\[ s(a)=s(b). \]
Se o movimento for descrito por uma função contínua e derivável, o Teorema de Rolle diz que existe pelo menos um instante \(c\) entre \(a\) e \(b\) tal que:
\[ s'(c)=0. \]
Como \(s'(c)\) representa a velocidade instantânea, isso significa que houve pelo menos um instante em que a velocidade foi zero.
Em termos simples:
se a pessoa saiu e voltou ao mesmo ponto, em algum momento ela precisou parar instantaneamente ou mudar o sentido do movimento.
Esse exemplo mostra a interpretação física do Teorema de Rolle.
Aplicação conceitual: altura de um objeto
Suponha que a altura de um objeto em dois instantes seja a mesma.
Se a função altura \(h(t)\) é contínua e derivável, e se:
\[ h(a)=h(b), \]
então o Teorema de Rolle garante que existe:
\[ c\in(a,b) \]
tal que:
\[ h'(c)=0. \]
Como \(h'(c)\) representa a velocidade vertical, isso significa que em algum instante entre \(a\) e \(b\) a velocidade vertical foi zero.
Isso ocorre, por exemplo, quando um objeto lançado para cima atinge a altura máxima.
Como usar o Teorema de Rolle em exercícios
Em exercícios, geralmente aparecem dois tipos de pergunta.
No primeiro tipo, o problema pede para verificar que o Teorema de Rolle se aplica e encontrar o ponto \(c\).
Nesse caso, siga o roteiro:
- verifique se \(f\) é contínua em \([a,b]\);
- verifique se \(f\) é derivável em \((a,b)\);
- verifique se \(f(a)=f(b)\);
- calcule \(f'(x)\);
- resolva \(f'(c)=0\);
- mantenha apenas os valores de \(c\) que pertencem a \((a,b)\).
No segundo tipo, o problema pede uma aplicação teórica, como provar que uma função tem no máximo uma raiz.
Nesse caso, usamos o teorema por contradição: se houvesse duas raízes, existiria um ponto entre elas com derivada zero.
Se isso contradiz o comportamento da derivada, concluímos que não pode haver duas raízes.
Exemplo 11: encontrar todos os pontos de Rolle
Verifique o Teorema de Rolle para:
\[ f(x)=x^3-4x \]
no intervalo:
\[ [-2,2]. \]
Primeiro, \(f\) é polinomial, então é contínua em \([-2,2]\) e derivável em \((-2,2)\).
Agora:
\[ f(-2)=(-2)^3-4(-2)=-8+8=0. \]
E:
\[ f(2)=2^3-4(2)=8-8=0. \]
Logo:
\[ f(-2)=f(2). \]
As hipóteses estão satisfeitas.
Agora calculamos:
\[ f'(x)=3x^2-4. \]
Queremos:
\[ f'(c)=0. \]
Então:
\[ 3c^2-4=0. \]
Logo:
\[ 3c^2=4. \]
Assim:
\[ c^2=\frac{4}{3}. \]
Portanto:
\[ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}. \]
Ambos pertencem ao intervalo:
\[ (-2,2). \]
Logo, existem dois pontos que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle:
\[ c=-\frac{2}{\sqrt{3}} \]
e:
\[ c=\frac{2}{\sqrt{3}}. \]
Exemplo 12: Rolle em intervalo não simétrico
Considere:
\[ f(x)=x^2-6x+8 \]
no intervalo:
\[ [2,4]. \]
A função é polinomial, logo é contínua e derivável nos intervalos adequados.
Calculamos:
\[ f(2)=2^2-6(2)+8=4-12+8=0. \]
E:
\[ f(4)=4^2-6(4)+8=16-24+8=0. \]
Logo:
\[ f(2)=f(4). \]
Pelo Teorema de Rolle, existe:
\[ c\in(2,4) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
A derivada é:
\[ f'(x)=2x-6. \]
Então:
\[ 2c-6=0. \]
Logo:
\[ 2c=6. \]
Portanto:
\[ c=3. \]
Como:
\[ 3\in(2,4), \]
esse é o ponto procurado.
Exemplo 13: função racional em intervalo adequado
Considere:
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+1} \]
no intervalo:
\[ [-1,1]. \]
A função é contínua em \([-1,1]\), pois o denominador:
\[ x^2+1 \]
nunca se anula.
Também é derivável em \((-1,1)\).
Agora:
\[ f(-1)=\frac{1}{(-1)^2+1}=\frac{1}{2}. \]
E:
\[ f(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}. \]
Logo:
\[ f(-1)=f(1). \]
As hipóteses de Rolle estão satisfeitas.
Derivando:
\[ f(x)=(x^2+1)^{-1}. \]
Então:
\[ f'(x)=-(x^2+1)^{-2}\cdot 2x. \]
Logo:
\[ f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}. \]
Queremos:
\[ f'(c)=0. \]
Como o denominador é sempre positivo, precisamos de:
\[ -2c=0. \]
Logo:
\[ c=0. \]
Como:
\[ 0\in(-1,1), \]
esse é o ponto garantido.
Erros comuns
Um erro comum é aplicar o Teorema de Rolle sem verificar as hipóteses.
Sempre verifique:
- continuidade em \([a,b]\);
- derivabilidade em \((a,b)\);
- igualdade \(f(a)=f(b)\).
Outro erro é esquecer que o ponto \(c\) deve estar no intervalo aberto:
\[ (a,b). \]
As extremidades não servem.
O teorema garante um ponto interno.
Também é comum resolver \(f'(x)=0\) e aceitar soluções fora do intervalo.
Isso está errado.
Depois de resolver \(f'(x)=0\), devemos manter apenas as soluções em:
\[ (a,b). \]
Outro erro é pensar que o Teorema de Rolle encontra máximos ou mínimos diretamente.
Na verdade, ele garante um ponto de tangente horizontal.
Esse ponto pode estar associado a um máximo, mínimo ou a uma função constante.
Diferença entre conclusão e hipótese
No Teorema de Rolle, a igualdade:
\[ f(a)=f(b) \]
é uma hipótese.
A conclusão é:
\[ f'(c)=0 \]
para algum:
\[ c\in(a,b). \]
Não devemos confundir as duas coisas.
A igualdade nas extremidades não é algo que se conclui; é algo que precisa ser verificado antes.
Da mesma forma, a existência de \(c\) com derivada zero é a conclusão do teorema.
Roteiro final
Para aplicar o Teorema de Rolle:
- identifique o intervalo \([a,b]\);
- verifique se \(f\) é contínua em \([a,b]\);
- verifique se \(f\) é derivável em \((a,b)\);
- calcule \(f(a)\) e \(f(b)\);
- confira se \(f(a)=f(b)\);
- calcule \(f'(x)\);
- resolva \(f'(c)=0\);
- selecione os valores de \(c\) que pertencem a \((a,b)\);
- interprete o resultado geometricamente.
Esse roteiro ajuda a evitar erros e prepara o caminho para o Teorema do Valor Médio.
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos o Teorema de Rolle.
Vimos que, se uma função é contínua em \([a,b]\), derivável em \((a,b)\) e satisfaz:
\[ f(a)=f(b), \]
então existe pelo menos um ponto:
\[ c\in(a,b) \]
tal que:
\[ f'(c)=0. \]
Geometricamente, isso significa que, se a reta secante entre as extremidades é horizontal, então existe pelo menos uma tangente horizontal no interior do intervalo.
Também vimos que as hipóteses são indispensáveis. Se a função não for contínua, se não for derivável ou se os valores nas extremidades forem diferentes, o teorema pode não se aplicar.
Estudamos exemplos com polinômios, funções trigonométricas, funções racionais e funções com valor absoluto.
Por fim, vimos uma aplicação importante: entre duas raízes de uma função contínua e derivável, existe pelo menos uma raiz da derivada.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos o Teorema do Valor Médio. Ele generaliza o Teorema de Rolle e mostra que, sob hipóteses adequadas, existe um ponto em que a inclinação da tangente é igual à inclinação da secante entre as extremidades do intervalo.