Antiderivadas
Antiderivadas
Pergunta disparadora
Se derivar significa descobrir a taxa de variação de uma função, como podemos fazer o caminho inverso e recuperar uma função a partir de sua derivada?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender o conceito de antiderivada como operação inversa da derivação;
- reconhecer famílias de funções que possuem a mesma derivada;
- calcular antiderivadas imediatas de funções elementares simples.
Desenvolvimento
Nas unidades anteriores, estudamos a derivada.
Vimos que a derivada de uma função mede sua taxa instantânea de variação e a inclinação da reta tangente ao seu gráfico.
Por exemplo, se:
\[ F(x)=x^2, \]
então:
\[ F'(x)=2x. \]
Agora vamos começar a estudar o problema inverso.
Em vez de perguntar:
qual é a derivada de uma função conhecida?
vamos perguntar:
qual função tem uma determinada função como derivada?
Esse é o início do estudo das antiderivadas e das integrais indefinidas.
A ideia básica
Suponha que sabemos que a derivada de uma função é:
\[ f(x)=2x. \]
Queremos encontrar uma função \(F(x)\) tal que:
\[ F'(x)=2x. \]
Uma resposta é:
\[ F(x)=x^2. \]
De fato:
\[ \frac{d}{dx}(x^2)=2x. \]
Mas essa não é a única resposta.
Também temos:
\[ \frac{d}{dx}(x^2+5)=2x, \]
pois a derivada da constante \(5\) é zero.
Do mesmo modo:
\[ \frac{d}{dx}(x^2-10)=2x, \]
e:
\[ \frac{d}{dx}(x^2+\pi)=2x. \]
Todas essas funções têm a mesma derivada.
Por isso, quando fazemos o caminho inverso da derivação, aparece uma constante arbitrária.
Definição de antiderivada
Dizemos que uma função \(F\) é uma antiderivada de \(f\) em um intervalo se:
\[ F'(x)=f(x) \]
para todo \(x\) desse intervalo.
Também dizemos que \(F\) é uma primitiva de \(f\).
Assim, se:
\[ F'(x)=f(x), \]
então \(F\) é uma antiderivada de \(f\).
Por exemplo, como:
\[ \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2, \]
temos que:
\[ F(x)=x^3 \]
é uma antiderivada de:
\[ f(x)=3x^2. \]
Antiderivada não é única
A antiderivada de uma função não é única.
Se \(F\) é uma antiderivada de \(f\), então:
\[ F(x)+C \]
também é uma antiderivada de \(f\), para qualquer constante real \(C\).
Isso ocorre porque:
\[ \frac{d}{dx}(F(x)+C)=F'(x)+0=f(x). \]
Portanto, a constante não altera a derivada.
Por isso, quando encontramos antiderivadas, escrevemos uma família de funções:
\[ F(x)+C. \]
Essa constante \(C\) é chamada constante de integração.
Por que todas diferem por uma constante?
Na unidade anterior, vimos uma consequência do Teorema do Valor Médio:
se duas funções têm a mesma derivada em um intervalo, então elas diferem por uma constante nesse intervalo.
Isso explica por que as antiderivadas aparecem sempre em famílias.
Se \(F\) e \(G\) são antiderivadas de \(f\), então:
\[ F'(x)=f(x) \]
e:
\[ G'(x)=f(x). \]
Logo:
\[ F'(x)=G'(x). \]
Pela consequência do Teorema do Valor Médio:
\[ F(x)-G(x)=C. \]
Portanto:
\[ F(x)=G(x)+C. \]
Assim, todas as antiderivadas de uma mesma função diferem apenas por uma constante.
Notação de integral indefinida
A operação de encontrar antiderivadas é indicada pelo símbolo de integral:
\[ \int f(x)\,dx. \]
Lemos:
integral de \(f(x)\) em relação a \(x\).
Se \(F'(x)=f(x)\), então escrevemos:
\[ \int f(x)\,dx=F(x)+C. \]
Aqui:
- \(\int\) é o símbolo de integral;
- \(f(x)\) é o integrando;
- \(dx\) indica a variável de integração;
- \(F(x)\) é uma antiderivada;
- \(C\) é a constante de integração.
Por exemplo:
\[ \int 2x\,dx=x^2+C. \]
Isso significa que todas as funções da forma:
\[ x^2+C \]
têm derivada igual a:
\[ 2x. \]
Antiderivada como operação inversa
A derivação transforma uma função em sua derivada.
A antiderivação faz o caminho inverso.
Por exemplo:
\[ x^3 \xrightarrow{\text{derivar}} 3x^2. \]
Então:
\[ 3x^2 \xrightarrow{\text{antiderivar}} x^3+C. \]
A presença de \(C\) mostra que a inversão não recupera uma única função, mas uma família de funções.
Isso acontece porque a derivada perde informação sobre constantes.
Por exemplo, as funções:
\[ x^3, \]
\[ x^3+2, \]
e:
\[ x^3-7 \]
têm a mesma derivada:
\[ 3x^2. \]
Ao antiderivar \(3x^2\), não sabemos qual dessas constantes estava presente originalmente.
Por isso escrevemos:
\[ x^3+C. \]
Verificando uma antiderivada
Para verificar se uma função é antiderivada de outra, basta derivar.
Por exemplo, queremos verificar se:
\[ F(x)=x^4+3 \]
é antiderivada de:
\[ f(x)=4x^3. \]
Calculamos:
\[ F'(x)=4x^3. \]
Como:
\[ F'(x)=f(x), \]
concluímos que \(F\) é uma antiderivada de \(f\).
Outro exemplo:
\[ F(x)=\sin x+10 \]
é antiderivada de:
\[ f(x)=\cos x, \]
pois:
\[ \frac{d}{dx}(\sin x+10)=\cos x. \]
Exemplo 1: antiderivada de uma potência
Calcule:
\[ \int 3x^2\,dx. \]
Queremos encontrar uma função cuja derivada seja:
\[ 3x^2. \]
Sabemos que:
\[ \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2. \]
Logo:
\[ \int 3x^2\,dx=x^3+C. \]
A resposta é uma família de funções:
\[ x^3+C. \]
Cada valor de \(C\) fornece uma antiderivada diferente.
Exemplo 2: antiderivada de uma constante
Calcule:
\[ \int 5\,dx. \]
Queremos uma função cuja derivada seja:
\[ 5. \]
Sabemos que:
\[ \frac{d}{dx}(5x)=5. \]
Portanto:
\[ \int 5\,dx=5x+C. \]
De modo geral, se \(k\) é constante, então:
\[ \int k\,dx=kx+C. \]
Exemplo 3: antiderivada de \(x\)
Calcule:
\[ \int x\,dx. \]
Queremos uma função cuja derivada seja \(x\).
Sabemos que:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right)=x. \]
Logo:
\[ \int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C. \]
Esse exemplo é importante porque mostra que, ao antiderivar uma potência, geralmente aumentamos o expoente e dividimos pelo novo expoente.
Regra da potência para antiderivadas
Para \(n\neq -1\), temos:
\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \]
Essa é uma das regras mais importantes de integração.
Ela é o inverso da regra da potência para derivadas.
De fato, se:
\[ F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}, \]
então:
\[ F'(x)=\frac{1}{n+1}(n+1)x^n=x^n. \]
Por isso:
\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \]
desde que:
\[ n\neq -1. \]
O caso \(n=-1\) será tratado separadamente, pois envolve logaritmos.
Exemplo 4: aplicando a regra da potência
Calcule:
\[ \int x^4\,dx. \]
Pela regra da potência:
\[ \int x^4\,dx=\frac{x^{5}}{5}+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^5}{5}\right)=x^4. \]
Logo, a resposta está correta.
Exemplo 5: potência com coeficiente
Calcule:
\[ \int 7x^3\,dx. \]
Podemos retirar a constante:
\[ \int 7x^3\,dx=7\int x^3\,dx. \]
Pela regra da potência:
\[ \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}. \]
Logo:
\[ \int 7x^3\,dx=7\cdot \frac{x^4}{4}+C. \]
Portanto:
\[ \int 7x^3\,dx=\frac{7x^4}{4}+C. \]
Regra do fator constante
Se \(k\) é uma constante, então:
\[ \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx. \]
Essa regra diz que constantes multiplicativas podem sair da integral.
Por exemplo:
\[ \int 4\cos x\,dx=4\int \cos x\,dx. \]
Como:
\[ \int \cos x\,dx=\sin x+C, \]
temos:
\[ \int 4\cos x\,dx=4\sin x+C. \]
Observe que escrevemos apenas uma constante \(C\) no final.
Regra da soma
A integral de uma soma é a soma das integrais:
\[ \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx. \]
De modo semelhante:
\[ \int [f(x)-g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx. \]
Essa propriedade permite integrar termo a termo.
Por exemplo:
\[ \int (3x^2+2x+1)\,dx \]
pode ser calculada integrando cada termo separadamente.
Exemplo 6: polinômio
Calcule:
\[ \int (3x^2+2x+1)\,dx. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int (3x^2+2x+1)\,dx = \int 3x^2\,dx+\int 2x\,dx+\int 1\,dx. \]
Agora calculamos:
\[ \int 3x^2\,dx=x^3, \]
\[ \int 2x\,dx=x^2, \]
e:
\[ \int 1\,dx=x. \]
Portanto:
\[ \int (3x^2+2x+1)\,dx=x^3+x^2+x+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}(x^3+x^2+x+C)=3x^2+2x+1. \]
Exemplo 7: potência negativa
Calcule:
\[ \int x^{-2}\,dx. \]
Usamos a regra da potência com:
\[ n=-2. \]
Como:
\[ n+1=-1, \]
temos:
\[ \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C. \]
Logo:
\[ \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C. \]
Ou seja:
\[ \int \frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}. \]
O caso especial de \(\frac{1}{x}\)
A regra da potência não pode ser usada quando:
\[ n=-1. \]
Isso porque a fórmula teria denominador:
\[ n+1=0. \]
Ou seja, escreveríamos:
\[ \frac{x^0}{0}, \]
o que não faz sentido.
O caso:
\[ \int x^{-1}\,dx \]
é especial.
Como:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x}, \]
temos:
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
Isso ocorre porque:
\[ \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \]
para \(x\neq 0\).
Portanto:
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
Por que aparece valor absoluto?
A função:
\[ \ln x \]
só está definida para:
\[ x>0. \]
Mas a função:
\[ \frac{1}{x} \]
está definida tanto para \(x>0\) quanto para \(x<0\), excluindo apenas \(x=0\).
A expressão:
\[ \ln|x| \]
permite representar a antiderivada em intervalos positivos e negativos.
De fato, para \(x>0\):
\[ \ln|x|=\ln x. \]
Para \(x<0\):
\[ \ln|x|=\ln(-x). \]
Em ambos os casos, a derivada é:
\[ \frac{1}{x}. \]
Exemplo 8: integral de \(\frac{3}{x}\)
Calcule:
\[ \int \frac{3}{x}\,dx. \]
Usamos o fator constante:
\[ \int \frac{3}{x}\,dx=3\int \frac{1}{x}\,dx. \]
Como:
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C, \]
temos:
\[ \int \frac{3}{x}\,dx=3\ln|x|+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}\left(3\ln|x|\right)=\frac{3}{x}. \]
Antiderivadas trigonométricas básicas
Sabemos que:
\[ \frac{d}{dx}\sin x=\cos x. \]
Logo:
\[ \int \cos x\,dx=\sin x+C. \]
Também sabemos que:
\[ \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x. \]
Portanto:
\[ \int \sin x\,dx=-\cos x+C. \]
Isso porque:
\[ \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x. \]
Essas duas integrais básicas devem ser memorizadas.
Exemplo 9: integral de seno
Calcule:
\[ \int 5\sin x\,dx. \]
Retiramos a constante:
\[ \int 5\sin x\,dx=5\int \sin x\,dx. \]
Como:
\[ \int \sin x\,dx=-\cos x+C, \]
temos:
\[ \int 5\sin x\,dx=-5\cos x+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}(-5\cos x)=5\sin x. \]
Exemplo 10: integral de cosseno
Calcule:
\[ \int (2\cos x+3x^2)\,dx. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int (2\cos x+3x^2)\,dx = 2\int \cos x\,dx+3\int x^2\,dx. \]
Agora:
\[ \int \cos x\,dx=\sin x, \]
e:
\[ \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}. \]
Logo:
\[ 2\int \cos x\,dx=2\sin x, \]
e:
\[ 3\int x^2\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}=x^3. \]
Portanto:
\[ \int (2\cos x+3x^2)\,dx=2\sin x+x^3+C. \]
Antiderivada da exponencial
A função exponencial natural tem uma propriedade especial:
\[ \frac{d}{dx}e^x=e^x. \]
Portanto:
\[ \int e^x\,dx=e^x+C. \]
A função \(e^x\) é sua própria derivada e também sua própria antiderivada, até a constante.
Por exemplo:
\[ \int 4e^x\,dx=4e^x+C. \]
Exemplo 11: polinômio com exponencial
Calcule:
\[ \int (e^x+2x)\,dx. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int (e^x+2x)\,dx = \int e^x\,dx+\int 2x\,dx. \]
Temos:
\[ \int e^x\,dx=e^x, \]
e:
\[ \int 2x\,dx=x^2. \]
Logo:
\[ \int (e^x+2x)\,dx=e^x+x^2+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}(e^x+x^2+C)=e^x+2x. \]
Antiderivadas de potências fracionárias
A regra da potência também vale para expoentes fracionários, desde que o domínio faça sentido.
Por exemplo:
\[ \sqrt{x}=x^{1/2}. \]
Então:
\[ \int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx. \]
Pela regra da potência:
\[ \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C. \]
Dividir por:
\[ \frac{3}{2} \]
é o mesmo que multiplicar por:
\[ \frac{2}{3}. \]
Logo:
\[ \int \sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C. \]
Exemplo 12: integral de \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Calcule:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx. \]
Escrevemos:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. \]
Então:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int x^{-1/2}\,dx. \]
Pela regra da potência:
\[ \int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C. \]
Logo:
\[ \int x^{-1/2}\,dx=2x^{1/2}+C. \]
Portanto:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}. \]
A constante de integração
A constante \(C\) é uma parte essencial da integral indefinida.
Por exemplo:
\[ \int 2x\,dx=x^2+C. \]
Não devemos escrever apenas:
\[ x^2. \]
Embora \(x^2\) seja uma antiderivada de \(2x\), a integral indefinida representa todas as antiderivadas.
Assim, a resposta completa é:
\[ x^2+C. \]
Em problemas iniciais, esquecer \(C\) é um dos erros mais comuns.
Família de curvas
A expressão:
\[ F(x)+C \]
representa uma família de curvas.
Por exemplo:
\[ x^2+C \]
representa todas as parábolas obtidas deslocando:
\[ y=x^2 \]
verticalmente.
Todas essas parábolas têm a mesma derivada:
\[ 2x. \]
Isso significa que todas têm a mesma inclinação em cada valor de \(x\).
A diferença entre elas está apenas na altura.
Exemplo: família de antiderivadas
As funções:
\[ F_1(x)=x^2, \]
\[ F_2(x)=x^2+3, \]
\[ F_3(x)=x^2-5 \]
são todas antiderivadas de:
\[ f(x)=2x. \]
Graficamente, elas são parábolas iguais deslocadas para cima ou para baixo.
A derivada de todas é:
\[ 2x. \]
A integral indefinida registra essa família:
\[ \int 2x\,dx=x^2+C. \]
Condição inicial
Às vezes, uma informação adicional permite determinar o valor da constante \(C\).
Por exemplo, suponha que:
\[ F'(x)=2x \]
e:
\[ F(1)=5. \]
Primeiro encontramos a família de antiderivadas:
\[ F(x)=x^2+C. \]
Agora usamos a condição:
\[ F(1)=5. \]
Substituindo:
\[ 1^2+C=5. \]
Logo:
\[ 1+C=5. \]
Então:
\[ C=4. \]
Portanto:
\[ F(x)=x^2+4. \]
A condição inicial escolheu uma curva específica dentro da família.
Exemplo 13: encontrando a constante
Encontre \(F(x)\) sabendo que:
\[ F'(x)=3x^2 \]
e:
\[ F(2)=10. \]
Primeiro, antiderivamos:
\[ F(x)=\int 3x^2\,dx=x^3+C. \]
Agora usamos:
\[ F(2)=10. \]
Substituindo:
\[ 2^3+C=10. \]
Logo:
\[ 8+C=10. \]
Assim:
\[ C=2. \]
Portanto:
\[ F(x)=x^3+2. \]
Exemplo 14: condição inicial com trigonometria
Encontre \(F(x)\) sabendo que:
\[ F'(x)=\cos x \]
e:
\[ F(0)=3. \]
Antiderivando:
\[ F(x)=\sin x+C. \]
Usando a condição:
\[ F(0)=3, \]
temos:
\[ \sin 0+C=3. \]
Como:
\[ \sin 0=0, \]
obtemos:
\[ C=3. \]
Logo:
\[ F(x)=\sin x+3. \]
Interpretação física: posição e velocidade
Antiderivadas aparecem naturalmente em problemas de movimento.
Se \(s(t)\) é a posição de um objeto, então:
\[ s'(t)=v(t), \]
onde \(v(t)\) é a velocidade.
Se conhecemos a velocidade, podemos recuperar a posição por antiderivação.
Por exemplo, se:
\[ v(t)=2t, \]
então:
\[ s(t)=\int 2t\,dt=t^2+C. \]
A constante \(C\) representa a posição inicial.
Se soubermos que:
\[ s(0)=5, \]
então:
\[ C=5. \]
Logo:
\[ s(t)=t^2+5. \]
Interpretação física: velocidade e aceleração
Se \(v(t)\) é a velocidade, então sua derivada é a aceleração:
\[ v'(t)=a(t). \]
Se conhecemos a aceleração, podemos recuperar a velocidade por antiderivação.
Por exemplo, se:
\[ a(t)=6t, \]
então:
\[ v(t)=\int 6t\,dt=3t^2+C. \]
A constante \(C\) representa a velocidade inicial.
Se:
\[ v(0)=4, \]
então:
\[ C=4. \]
Logo:
\[ v(t)=3t^2+4. \]
Depois, poderíamos antiderivar novamente para obter a posição.
Antiderivadas em modelos de taxa
Sempre que uma grandeza é conhecida por sua taxa de variação, a antiderivada permite recuperar a grandeza original, até uma constante.
Exemplos:
- velocidade é derivada da posição;
- aceleração é derivada da velocidade;
- custo marginal é derivada do custo;
- receita marginal é derivada da receita;
- taxa de crescimento é derivada de uma quantidade;
- densidade linear pode ser integrada para recuperar massa acumulada.
Nesta aula, estamos começando com integrais indefinidas, mas essa ideia será ampliada quando estudarmos integrais definidas.
Exemplo 15: custo marginal
Suponha que o custo marginal de produção seja:
\[ C'(q)=4q+10. \]
Encontre a função custo geral.
Antiderivando:
\[ C(q)=\int (4q+10)\,dq. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int 4q\,dq=2q^2, \]
e:
\[ \int 10\,dq=10q. \]
Logo:
\[ C(q)=2q^2+10q+C_0. \]
Aqui usamos \(C_0\) para evitar confusão entre a função custo \(C(q)\) e a constante.
A constante \(C_0\) representa o custo fixo.
Se soubermos o custo para alguma quantidade, podemos determinar \(C_0\).
Exemplo 16: custo com condição inicial
Suponha que:
\[ C'(q)=4q+10 \]
e que:
\[ C(0)=1000. \]
Da antiderivação, temos:
\[ C(q)=2q^2+10q+C_0. \]
Usando:
\[ C(0)=1000, \]
obtemos:
\[ 2(0)^2+10(0)+C_0=1000. \]
Logo:
\[ C_0=1000. \]
Portanto:
\[ C(q)=2q^2+10q+1000. \]
A constante é o custo fixo, isto é, o custo quando a produção é zero.
Antiderivadas imediatas principais
Algumas antiderivadas básicas devem ser reconhecidas rapidamente:
\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1. \]
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
\[ \int e^x\,dx=e^x+C. \]
\[ \int \cos x\,dx=\sin x+C. \]
\[ \int \sin x\,dx=-\cos x+C. \]
\[ \int k\,dx=kx+C. \]
Essas fórmulas serão a base para as próximas aulas.
Tabela inicial de antiderivadas
Podemos organizar algumas fórmulas em uma tabela:
\[ \begin{array}{c|c} f(x) & \int f(x)\,dx \\ \hline x^n,\ n\neq -1 & \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \frac{1}{x} & \ln|x|+C \\ e^x & e^x+C \\ \cos x & \sin x+C \\ \sin x & -\cos x+C \\ k & kx+C \end{array} \]
Essa tabela deve ser praticada até se tornar familiar.
Integrais indefinidas e derivadas
Toda integral indefinida deve poder ser verificada por derivação.
Por exemplo, se afirmamos que:
\[ \int (4x^3-2x+5)\,dx=x^4-x^2+5x+C, \]
podemos conferir derivando:
\[ \frac{d}{dx}(x^4-x^2+5x+C)=4x^3-2x+5. \]
A verificação por derivada é uma estratégia simples e poderosa para evitar erros.
Exemplo 17: verificação
Calcule e verifique:
\[ \int (6x^2-4x+3)\,dx. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int 6x^2\,dx=2x^3, \]
pois:
\[ \frac{d}{dx}(2x^3)=6x^2. \]
Também:
\[ \int -4x\,dx=-2x^2, \]
e:
\[ \int 3\,dx=3x. \]
Logo:
\[ \int (6x^2-4x+3)\,dx=2x^3-2x^2+3x+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}(2x^3-2x^2+3x+C)=6x^2-4x+3. \]
A resposta está correta.
Atenção à variável de integração
Na expressão:
\[ \int f(x)\,dx, \]
o símbolo \(dx\) indica que a variável de integração é \(x\).
Se escrevemos:
\[ \int 2t\,dt, \]
a variável é \(t\).
Nesse caso:
\[ \int 2t\,dt=t^2+C. \]
Se escrevemos:
\[ \int 2q\,dq, \]
a variável é \(q\).
Então:
\[ \int 2q\,dq=q^2+C. \]
A variável pode mudar conforme o contexto.
O importante é integrar em relação à variável indicada.
Exemplo 18: variáveis diferentes
Calcule:
\[ \int (3t^2+4)\,dt. \]
Integramos em relação a \(t\):
\[ \int 3t^2\,dt=t^3, \]
e:
\[ \int 4\,dt=4t. \]
Logo:
\[ \int (3t^2+4)\,dt=t^3+4t+C. \]
Agora calcule:
\[ \int (3q^2+4)\,dq. \]
A estrutura é a mesma, mas a variável é \(q\):
\[ \int (3q^2+4)\,dq=q^3+4q+C. \]
Erros comuns
Um erro comum é esquecer a constante de integração.
Por exemplo, escrever:
\[ \int 2x\,dx=x^2 \]
está incompleto.
O correto é:
\[ \int 2x\,dx=x^2+C. \]
Outro erro comum é aplicar a regra da potência ao caso \(x^{-1}\).
Não devemos escrever:
\[ \int x^{-1}\,dx=\frac{x^0}{0}. \]
O correto é:
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. \]
Também é comum esquecer de aumentar o expoente antes de dividir.
Por exemplo:
\[ \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C, \]
não:
\[ \frac{x^3}{3}. \]
Outro erro é integrar seno com sinal errado.
Lembre:
\[ \int \sin x\,dx=-\cos x+C, \]
pois:
\[ \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x. \]
Roteiro para calcular antiderivadas imediatas
Para calcular uma antiderivada simples:
- identifique a função integranda;
- se houver soma ou diferença, separe termo a termo;
- retire constantes multiplicativas;
- aplique a regra adequada:
- potência;
- constante;
- exponencial;
- seno;
- cosseno;
- \(\frac{1}{x}\);
- escreva a constante \(C\) no final;
- verifique derivando o resultado.
Esse roteiro será útil durante toda a unidade.
Exemplo final 1
Calcule:
\[ \int (x^4-3x^2+2x-7)\,dx. \]
Integramos termo a termo.
Primeiro:
\[ \int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}. \]
Depois:
\[ \int -3x^2\,dx=-3\cdot\frac{x^3}{3}=-x^3. \]
Também:
\[ \int 2x\,dx=x^2. \]
E:
\[ \int -7\,dx=-7x. \]
Portanto:
\[ \int (x^4-3x^2+2x-7)\,dx = \frac{x^5}{5}-x^3+x^2-7x+C. \]
Exemplo final 2
Calcule:
\[ \int \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx. \]
Reescrevemos em potências:
\[ \sqrt{x}=x^{1/2} \]
e:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. \]
Então:
\[ \int \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = \int (x^{1/2}+x^{-1/2})\,dx. \]
Pela regra da potência:
\[ \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}. \]
E:
\[ \int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}. \]
Logo:
\[ \int \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}+2x^{1/2}+C. \]
Ou:
\[ \frac{2}{3}x^{3/2}+2\sqrt{x}+C. \]
Exemplo final 3
Calcule:
\[ \int (4e^x-3\sin x+2\cos x)\,dx. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int 4e^x\,dx=4e^x. \]
Também:
\[ \int -3\sin x\,dx=-3(-\cos x)=3\cos x. \]
E:
\[ \int 2\cos x\,dx=2\sin x. \]
Logo:
\[ \int (4e^x-3\sin x+2\cos x)\,dx = 4e^x+3\cos x+2\sin x+C. \]
Verificando:
\[ \frac{d}{dx}(4e^x+3\cos x+2\sin x+C) = 4e^x-3\sin x+2\cos x. \]
Exemplo final 4
Encontre \(F(x)\) sabendo que:
\[ F'(x)=6x^2+2 \]
e:
\[ F(1)=10. \]
Primeiro, antiderivamos:
\[ F(x)=\int (6x^2+2)\,dx. \]
Temos:
\[ \int 6x^2\,dx=2x^3, \]
e:
\[ \int 2\,dx=2x. \]
Logo:
\[ F(x)=2x^3+2x+C. \]
Agora usamos:
\[ F(1)=10. \]
Substituindo:
\[ 2(1)^3+2(1)+C=10. \]
Logo:
\[ 2+2+C=10. \]
Então:
\[ C=6. \]
Portanto:
\[ F(x)=2x^3+2x+6. \]
Exemplo final 5
Uma partícula tem velocidade:
\[ v(t)=3t^2-4t+1. \]
Encontre a posição \(s(t)\) sabendo que:
\[ s(0)=2. \]
Como:
\[ s'(t)=v(t), \]
temos:
\[ s(t)=\int (3t^2-4t+1)\,dt. \]
Integramos termo a termo:
\[ \int 3t^2\,dt=t^3, \]
\[ \int -4t\,dt=-2t^2, \]
e:
\[ \int 1\,dt=t. \]
Logo:
\[ s(t)=t^3-2t^2+t+C. \]
Usando:
\[ s(0)=2, \]
temos:
\[ 0^3-2(0)^2+0+C=2. \]
Logo:
\[ C=2. \]
Portanto:
\[ s(t)=t^3-2t^2+t+2. \]
Síntese da aula
Nesta aula, iniciamos o estudo das antiderivadas.
Vimos que uma função \(F\) é uma antiderivada de \(f\) quando:
\[ F'(x)=f(x). \]
Também vimos que antiderivadas não são únicas: se \(F\) é uma antiderivada de \(f\), então \(F+C\) também é, para qualquer constante real \(C\).
Essa constante aparece porque a derivada de uma constante é zero.
Introduzimos a notação de integral indefinida:
\[ \int f(x)\,dx=F(x)+C. \]
Estudamos regras básicas de antiderivação: regra da potência, regra da soma, fator constante, antiderivadas de constantes, de \(e^x\), de \(\sin x\), de \(\cos x\) e de \(\frac{1}{x}\).
Também vimos como usar uma condição inicial para determinar a constante \(C\).
Por fim, interpretamos antiderivadas em contextos como movimento e custo marginal.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos integrais indefinidas com mais sistematicidade. Vamos organizar regras básicas, praticar integrais imediatas e consolidar a notação \(\int f(x)\,dx\) como a representação da família de todas as antiderivadas de \(f\).