Soma de Riemann
Soma de Riemann
Pergunta disparadora
Como podemos medir a área sob uma curva quando essa área não é formada por figuras geométricas simples, como retângulos, triângulos ou círculos?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender a ideia de aproximação de áreas por retângulos;
- construir somas de Riemann em intervalos particionados;
- interpretar a integral definida como limite de somas de Riemann.
Desenvolvimento
Nas unidades anteriores, estudamos a derivada e a integral indefinida.
A derivada mede taxas instantâneas de variação.
A integral indefinida permite recuperar funções a partir de suas derivadas.
Agora vamos iniciar uma nova etapa: o estudo da integral definida.
A integral definida está ligada a uma ideia muito importante:
acumular pequenas contribuições ao longo de um intervalo.
Uma das interpretações mais clássicas da integral definida é a área sob o gráfico de uma função.
Por exemplo, se temos uma função positiva \(f(x)\) em um intervalo \([a,b]\), podemos perguntar:
qual é a área da região entre o gráfico de \(f\), o eixo \(x\) e as retas verticais \(x=a\) e \(x=b\)?
Quando o gráfico é uma reta ou uma figura simples, talvez possamos usar fórmulas geométricas conhecidas.
Mas, quando o gráfico é curvo, precisamos de uma ideia nova.
Essa ideia começa com as somas de Riemann.
O problema da área sob uma curva
Considere uma função contínua e positiva em um intervalo \([a,b]\).
Queremos estimar a área da região abaixo do gráfico:
\[ y=f(x) \]
e acima do eixo \(x\).
Se a função fosse constante, por exemplo:
\[ f(x)=3 \]
em \([0,5]\), a região seria um retângulo de base \(5\) e altura \(3\).
A área seria:
\[ A=5\cdot 3=15. \]
Mas se a função for, por exemplo:
\[ f(x)=x^2 \]
em \([0,2]\), a região não é um retângulo.
O gráfico é uma parábola.
Nesse caso, podemos aproximar a região usando vários retângulos estreitos.
Quanto mais retângulos usarmos, melhor será a aproximação.
Aproximando por retângulos
A ideia básica é dividir o intervalo \([a,b]\) em partes menores.
Por exemplo, se queremos estudar a área sob \(f(x)\) em \([a,b]\), podemos dividir esse intervalo em \(n\) subintervalos.
Cada subintervalo terá comprimento:
\[ \Delta x=\frac{b-a}{n}. \]
Esse comprimento é chamado de largura de cada retângulo.
Depois, em cada subintervalo, escolhemos um ponto.
A altura do retângulo será o valor da função nesse ponto.
Assim, cada retângulo terá área aproximada:
\[ f(x_i^*)\Delta x, \]
em que \(x_i^*\) é um ponto escolhido no \(i\)-ésimo subintervalo.
Somando as áreas de todos os retângulos, obtemos uma aproximação da área total.
Essa soma é uma soma de Riemann.
Partição de um intervalo
Uma partição do intervalo \([a,b]\) é uma divisão desse intervalo em subintervalos menores.
Se dividimos \([a,b]\) em \(n\) partes iguais, obtemos os pontos:
\[ x_0=a, \]
\[ x_1=a+\Delta x, \]
\[ x_2=a+2\Delta x, \]
e assim por diante, até:
\[ x_n=b. \]
De modo geral:
\[ x_i=a+i\Delta x, \]
para:
\[ i=0,1,2,\ldots,n. \]
A largura de cada subintervalo é:
\[ \Delta x=\frac{b-a}{n}. \]
Cada subintervalo é:
\[ [x_{i-1},x_i]. \]
Escolha dos pontos de amostragem
Em cada subintervalo \([x_{i-1},x_i]\), precisamos escolher um ponto para calcular a altura do retângulo.
Esse ponto é indicado por:
\[ x_i^*. \]
Ele pode ser:
- a extremidade esquerda do subintervalo;
- a extremidade direita do subintervalo;
- o ponto médio do subintervalo;
- qualquer outro ponto dentro do subintervalo.
Dependendo da escolha, obtemos diferentes somas de Riemann.
As três escolhas mais comuns são:
- soma à esquerda;
- soma à direita;
- soma pelo ponto médio.
Soma de Riemann geral
A soma de Riemann associada a uma função \(f\) no intervalo \([a,b]\) é:
\[ S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x. \]
Nessa expressão:
- \(n\) é o número de subintervalos;
- \(\Delta x\) é a largura de cada subintervalo;
- \(x_i^*\) é um ponto escolhido no \(i\)-ésimo subintervalo;
- \(f(x_i^*)\) é a altura do retângulo;
- \(f(x_i^*)\Delta x\) é a área do retângulo;
- a soma representa a área aproximada total.
Essa expressão é o centro da aula.
Interpretação geométrica
Cada termo:
\[ f(x_i^*)\Delta x \]
representa a área de um retângulo.
A base do retângulo é:
\[ \Delta x. \]
A altura é:
\[ f(x_i^*). \]
Somando todos os termos, obtemos a área total aproximada:
\[ S_n=f(x_1^*)\Delta x+f(x_2^*)\Delta x+\cdots+f(x_n^*)\Delta x. \]
A notação de somatório escreve isso de forma compacta:
\[ S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x. \]
Soma à esquerda
Na soma à esquerda, escolhemos como ponto de amostragem a extremidade esquerda de cada subintervalo.
Assim:
\[ x_i^*=x_{i-1}. \]
A soma à esquerda é:
\[ L_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x. \]
Em termos dos pontos da partição:
\[ L_n=[f(x_0)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})]\Delta x. \]
Essa soma usa as alturas nos pontos:
\[ x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}. \]
Soma à direita
Na soma à direita, escolhemos como ponto de amostragem a extremidade direita de cada subintervalo.
Assim:
\[ x_i^*=x_i. \]
A soma à direita é:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x. \]
Ou:
\[ R_n=[f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)]\Delta x. \]
Essa soma usa as alturas nos pontos:
\[ x_1,x_2,\ldots,x_n. \]
Soma pelo ponto médio
Na soma pelo ponto médio, escolhemos como ponto de amostragem o ponto médio de cada subintervalo.
O ponto médio do subintervalo \([x_{i-1},x_i]\) é:
\[ m_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}. \]
A soma pelo ponto médio é:
\[ M_n=\sum_{i=1}^{n} f(m_i)\Delta x. \]
Em muitos casos, a soma pelo ponto médio fornece aproximações melhores que as somas à esquerda e à direita, especialmente quando o número de subintervalos ainda é pequeno.
Exemplo 1: função constante
Considere:
\[ f(x)=3 \]
em:
\[ [0,4]. \]
Vamos dividir o intervalo em:
\[ n=4 \]
partes iguais.
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{4-0}{4}=1. \]
Como a função é constante, qualquer escolha de ponto dá:
\[ f(x_i^*)=3. \]
Então:
\[ S_4=\sum_{i=1}^{4}3\cdot 1. \]
Logo:
\[ S_4=3+3+3+3=12. \]
A área exata é a área de um retângulo de base \(4\) e altura \(3\):
\[ A=4\cdot 3=12. \]
Nesse caso, a soma de Riemann já dá a área exata.
Exemplo 2: função linear com soma à direita
Considere:
\[ f(x)=x \]
no intervalo:
\[ [0,4]. \]
Vamos usar:
\[ n=4 \]
subintervalos e soma à direita.
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{4-0}{4}=1. \]
Os pontos da partição são:
\[ x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=3,\quad x_4=4. \]
Na soma à direita, usamos:
\[ x_1,x_2,x_3,x_4. \]
Logo:
\[ R_4=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]\cdot 1. \]
Como \(f(x)=x\), temos:
\[ R_4=(1+2+3+4)\cdot 1. \]
Assim:
\[ R_4=10. \]
Essa é uma aproximação da área sob \(y=x\) em \([0,4]\).
Comparação com a área exata
A região sob \(y=x\) em \([0,4]\) é um triângulo.
A base é:
\[ 4. \]
A altura é:
\[ 4. \]
A área exata é:
\[ A=\frac{4\cdot 4}{2}=8. \]
A soma à direita deu:
\[ R_4=10. \]
Ela superestimou a área.
Isso acontece porque \(f(x)=x\) é crescente.
Quando usamos extremidades direitas em uma função crescente, os retângulos tendem a ficar acima do gráfico.
Exemplo 3: função linear com soma à esquerda
Agora use a soma à esquerda para:
\[ f(x)=x \]
em:
\[ [0,4] \]
com:
\[ n=4. \]
A largura continua sendo:
\[ \Delta x=1. \]
Na soma à esquerda, usamos:
\[ x_0,x_1,x_2,x_3. \]
Logo:
\[ L_4=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]\cdot 1. \]
Como \(f(x)=x\):
\[ L_4=(0+1+2+3)\cdot 1. \]
Então:
\[ L_4=6. \]
A soma à esquerda subestimou a área exata, que era:
\[ 8. \]
Isso também acontece porque a função é crescente.
Exemplo 4: ponto médio
Agora use a soma pelo ponto médio para:
\[ f(x)=x \]
em:
\[ [0,4] \]
com:
\[ n=4. \]
Os subintervalos são:
\[ [0,1],\quad [1,2],\quad [2,3],\quad [3,4]. \]
Os pontos médios são:
\[ 0{,}5,\quad 1{,}5,\quad 2{,}5,\quad 3{,}5. \]
A largura é:
\[ \Delta x=1. \]
Então:
\[ M_4=[f(0{,}5)+f(1{,}5)+f(2{,}5)+f(3{,}5)]\cdot 1. \]
Como \(f(x)=x\):
\[ M_4=(0{,}5+1{,}5+2{,}5+3{,}5)\cdot 1. \]
Logo:
\[ M_4=8. \]
Nesse caso, a soma pelo ponto médio deu exatamente a área do triângulo.
Funções crescentes e decrescentes
Quando \(f\) é crescente em \([a,b]\):
- a soma à esquerda tende a subestimar a área;
- a soma à direita tende a superestimar a área.
Quando \(f\) é decrescente em \([a,b]\):
- a soma à esquerda tende a superestimar a área;
- a soma à direita tende a subestimar a área.
Isso ocorre porque a altura escolhida em cada retângulo fica abaixo ou acima dos valores da função no subintervalo.
Essa observação ajuda a interpretar se uma aproximação está acima ou abaixo da área real.
Exemplo 5: função quadrática
Considere:
\[ f(x)=x^2 \]
em:
\[ [0,2]. \]
Vamos usar:
\[ n=4 \]
subintervalos e soma à direita.
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}. \]
Os pontos da partição são:
\[ x_0=0, \]
\[ x_1=\frac{1}{2}, \]
\[ x_2=1, \]
\[ x_3=\frac{3}{2}, \]
\[ x_4=2. \]
Na soma à direita, usamos:
\[ x_1,x_2,x_3,x_4. \]
Então:
\[ R_4= \left[ f\left(\frac{1}{2}\right) + f(1) + f\left(\frac{3}{2}\right) + f(2) \right]\Delta x. \]
Calculando os valores:
\[ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}, \]
\[ f(1)=1, \]
\[ f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}, \]
e:
\[ f(2)=4. \]
Logo:
\[ R_4= \left( \frac{1}{4}+1+\frac{9}{4}+4 \right)\frac{1}{2}. \]
Somando dentro dos parênteses:
\[ \frac{1}{4}+1+\frac{9}{4}+4 = \frac{1}{4}+\frac{4}{4}+\frac{9}{4}+\frac{16}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}. \]
Então:
\[ R_4=\frac{15}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{15}{4}. \]
Assim:
\[ R_4=3{,}75. \]
Essa é uma aproximação da área sob \(y=x^2\) em \([0,2]\) usando quatro retângulos à direita.
Soma à esquerda para \(x^2\)
Agora calcule a soma à esquerda para:
\[ f(x)=x^2 \]
em:
\[ [0,2] \]
com:
\[ n=4. \]
Usamos os pontos:
\[ x_0=0,\quad x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=1,\quad x_3=\frac{3}{2}. \]
Então:
\[ L_4= \left[ f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right) + f(1) + f\left(\frac{3}{2}\right) \right]\frac{1}{2}. \]
Calculando:
\[ f(0)=0, \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}, \]
\[ f(1)=1, \]
\[ f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}. \]
Logo:
\[ L_4= \left( 0+\frac{1}{4}+1+\frac{9}{4} \right)\frac{1}{2}. \]
Somando:
\[ 0+\frac{1}{4}+1+\frac{9}{4} = \frac{1}{4}+\frac{4}{4}+\frac{9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}. \]
Então:
\[ L_4=\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{4}. \]
Assim:
\[ L_4=1{,}75. \]
Como \(x^2\) é crescente em \([0,2]\), a soma à esquerda subestima a área, e a soma à direita superestima.
Melhorando a aproximação
No exemplo anterior, com apenas quatro retângulos, obtivemos:
\[ L_4=1{,}75 \]
e:
\[ R_4=3{,}75. \]
A área real está entre esses valores.
Se aumentarmos o número de retângulos, os retângulos ficam mais estreitos, e a aproximação melhora.
A ideia central da integral definida é tomar o limite quando:
\[ n\to\infty. \]
Isto é, usamos infinitos retângulos cada vez mais estreitos.
Nesse limite, a soma de Riemann se aproxima da área exata.
Soma de Riemann com \(n\) subintervalos
Para formalizar essa ideia, dividimos \([a,b]\) em \(n\) partes iguais.
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{b-a}{n}. \]
Na soma à direita, os pontos são:
\[ x_i=a+i\Delta x. \]
Então:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x. \]
Na soma à esquerda, usamos:
\[ x_{i-1}=a+(i-1)\Delta x. \]
Então:
\[ L_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x. \]
No ponto médio:
\[ m_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}. \]
Então:
\[ M_n=\sum_{i=1}^{n} f(m_i)\Delta x. \]
Exemplo 6: fórmula geral para \(f(x)=x\) em \([0,1]\)
Vamos calcular a soma à direita para:
\[ f(x)=x \]
em:
\[ [0,1]. \]
Dividimos em \(n\) subintervalos.
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}. \]
Os pontos à direita são:
\[ x_i=0+i\Delta x=\frac{i}{n}. \]
A soma à direita é:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\Delta x. \]
Como \(f(x)=x\):
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n}\cdot \frac{1}{n}. \]
Logo:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^2}. \]
Como \(\frac{1}{n^2}\) é constante em relação a \(i\):
\[ R_n=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} i. \]
Sabemos que:
\[ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}. \]
Então:
\[ R_n=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}. \]
Simplificando:
\[ R_n=\frac{n+1}{2n}. \]
Ou:
\[ R_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}. \]
Quando:
\[ n\to\infty, \]
temos:
\[ \frac{1}{2n}\to 0. \]
Logo:
\[ \lim_{n\to\infty}R_n=\frac{1}{2}. \]
Essa é a área sob \(y=x\) em \([0,1]\).
De fato, a região é um triângulo de base \(1\) e altura \(1\):
\[ A=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}. \]
Exemplo 7: soma à esquerda para \(f(x)=x\) em \([0,1]\)
Agora calculemos a soma à esquerda.
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{1}{n}. \]
Os pontos à esquerda são:
\[ x_{i-1}=\frac{i-1}{n}. \]
Logo:
\[ L_n=\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i-1}{n}\right)\frac{1}{n}. \]
Como \(f(x)=x\):
\[ L_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{i-1}{n}\cdot\frac{1}{n}. \]
Então:
\[ L_n=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(i-1). \]
A soma:
\[ \sum_{i=1}^{n}(i-1) \]
é:
\[ 0+1+2+\cdots+(n-1). \]
Logo:
\[ \sum_{i=1}^{n}(i-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \]
Assim:
\[ L_n=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}{2}. \]
Portanto:
\[ L_n=\frac{n-1}{2n}. \]
Ou:
\[ L_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}. \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{n\to\infty}L_n=\frac{1}{2}. \]
A soma à esquerda e a soma à direita convergem para o mesmo valor.
Esse valor é a área exata.
A integral definida como limite
A integral definida de \(f\) em \([a,b]\) é definida como o limite das somas de Riemann quando o número de subintervalos cresce indefinidamente e a largura dos subintervalos tende a zero.
Escrevemos:
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x, \]
quando esse limite existe e independe da escolha dos pontos \(x_i^*\).
Essa é uma definição fundamental.
Ela conecta a área sob uma curva à ideia de limite.
Interpretação da integral definida
Na expressão:
\[ \int_a^b f(x)\,dx, \]
temos:
- \(a\) como limite inferior de integração;
- \(b\) como limite superior de integração;
- \(f(x)\) como integrando;
- \(dx\) indicando a variável de integração.
Quando \(f(x)\geq 0\) em \([a,b]\), a integral definida representa a área sob o gráfico de \(f\) entre \(a\) e \(b\).
Mais adiante, veremos que, se a função assume valores negativos, a integral representa área orientada.
Por enquanto, vamos pensar principalmente em funções positivas.
Relação entre soma e integral
A soma de Riemann:
\[ \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x \]
é uma aproximação.
A integral definida:
\[ \int_a^b f(x)\,dx \]
é o limite dessas aproximações quando os retângulos ficam infinitamente estreitos.
Assim, podemos pensar:
\[ \text{integral definida}=\text{limite das somas de Riemann}. \]
Essa ideia é uma das bases do Cálculo Integral.
Exemplo 8: interpretando uma integral
Considere:
\[ \int_0^2 x^2\,dx. \]
Antes de calcular com técnicas futuras, podemos interpretar essa integral como:
a área sob o gráfico de \(y=x^2\) entre \(x=0\) e \(x=2\).
Essa área pode ser aproximada por somas de Riemann.
Por exemplo, com soma à direita e \(n=4\), já calculamos:
\[ R_4=3{,}75. \]
Com soma à esquerda e \(n=4\), calculamos:
\[ L_4=1{,}75. \]
Com mais retângulos, as aproximações melhoram.
No futuro, veremos que:
\[ \int_0^2 x^2\,dx=\frac{8}{3}. \]
Como:
\[ \frac{8}{3}\approx 2{,}6667, \]
esse valor realmente está entre:
\[ 1{,}75 \]
e:
\[ 3{,}75. \]
Soma de Riemann não é apenas área
Embora a interpretação geométrica seja muito importante, somas de Riemann também representam acumulações.
Por exemplo, se \(v(t)\) é a velocidade de um objeto, então:
\[ v(t)\Delta t \]
aproxima o deslocamento durante um pequeno intervalo de tempo.
Somando várias parcelas:
\[ \sum v(t_i^*)\Delta t, \]
obtemos uma aproximação do deslocamento total.
Quando fazemos o limite, obtemos:
\[ \int_a^b v(t)\,dt. \]
Assim, integrais acumulam pequenas contribuições.
Exemplo aplicado: velocidade
Suponha que um objeto tenha velocidade:
\[ v(t)=2t \]
em metros por segundo, no intervalo:
\[ 0\leq t\leq 3. \]
Queremos estimar o deslocamento.
Dividimos o intervalo \([0,3]\) em pequenos subintervalos de tempo.
Em cada subintervalo, aproximamos o deslocamento por:
\[ v(t_i^*)\Delta t. \]
Somando:
\[ \sum_{i=1}^{n}v(t_i^*)\Delta t. \]
No limite, o deslocamento total é:
\[ \int_0^3 2t\,dt. \]
Assim, a integral definida acumula deslocamentos pequenos.
Área orientada
Por enquanto, estamos focando em funções positivas.
Mas é importante antecipar uma ideia.
Se \(f(x)\) for negativa em parte do intervalo, os termos:
\[ f(x_i^*)\Delta x \]
também serão negativos.
Nesse caso, a integral definida soma áreas com sinal.
Áreas acima do eixo \(x\) contribuem positivamente.
Áreas abaixo do eixo \(x\) contribuem negativamente.
Por isso, a integral definida mede área orientada, não apenas área geométrica.
Esse ponto será retomado nas próximas aulas.
A notação \(\Delta x\)
O símbolo:
\[ \Delta x \]
representa a largura de cada subintervalo.
Quando usamos partição uniforme:
\[ \Delta x=\frac{b-a}{n}. \]
À medida que:
\[ n \]
aumenta, temos:
\[ \Delta x\to 0. \]
Ou seja, os retângulos ficam cada vez mais estreitos.
A área aproximada tende a uma área exata.
Essa passagem ao limite é o coração da definição de integral.
A notação \(dx\)
Na integral definida:
\[ \int_a^b f(x)\,dx, \]
o símbolo \(dx\) está relacionado ao limite de \(\Delta x\).
Informalmente, podemos pensar em \(dx\) como uma largura infinitesimal.
A expressão:
\[ f(x)\,dx \]
representa uma pequena contribuição de área ou acumulação.
A integral soma essas contribuições ao longo do intervalo.
Essa interpretação será muito útil em aplicações.
Exemplo 9: montando uma soma de Riemann
Monte a soma de Riemann à direita para:
\[ f(x)=x^2+1 \]
em:
\[ [0,3] \]
com:
\[ n=6. \]
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{3-0}{6}=\frac{1}{2}. \]
Os pontos à direita são:
\[ x_i=0+i\Delta x=\frac{i}{2}, \]
para:
\[ i=1,2,\ldots,6. \]
Então:
\[ R_6=\sum_{i=1}^{6} f\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{2}. \]
Como:
\[ f(x)=x^2+1, \]
temos:
\[ R_6=\sum_{i=1}^{6}\left[\left(\frac{i}{2}\right)^2+1\right]\frac{1}{2}. \]
Essa é a soma de Riemann solicitada.
Se quisermos, podemos expandir:
\[ R_6= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6} \left( \frac{i^2}{4}+1 \right). \]
Exemplo 10: calculando a soma
Vamos calcular o valor de:
\[ R_6= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{6} \left( \frac{i^2}{4}+1 \right). \]
Distribuímos:
\[ R_6= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{6}i^2+\sum_{i=1}^{6}1 \right]. \]
Sabemos que:
\[ \sum_{i=1}^{6}1=6. \]
E:
\[ \sum_{i=1}^{6}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2. \]
Calculando:
\[ 1+4+9+16+25+36=91. \]
Logo:
\[ R_6= \frac{1}{2} \left[ \frac{91}{4}+6 \right]. \]
Como:
\[ 6=\frac{24}{4}, \]
temos:
\[ R_6= \frac{1}{2} \cdot \frac{115}{4} = \frac{115}{8}. \]
Portanto:
\[ R_6=14{,}375. \]
Essa é uma aproximação da área sob:
\[ f(x)=x^2+1 \]
em:
\[ [0,3]. \]
Fórmulas de somatório úteis
Para calcular somas de Riemann, algumas fórmulas são úteis:
\[ \sum_{i=1}^{n}1=n. \]
\[ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}. \]
\[ \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
\[ \sum_{i=1}^{n}i^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2. \]
Essas fórmulas permitem calcular limites de somas de Riemann para funções polinomiais simples.
Exemplo 11: limite de soma de Riemann para \(x^2\)
Vamos encontrar a área sob:
\[ f(x)=x^2 \]
em:
\[ [0,1] \]
usando soma à direita.
Temos:
\[ \Delta x=\frac{1}{n}. \]
Os pontos à direita são:
\[ x_i=\frac{i}{n}. \]
A soma é:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2\frac{1}{n}. \]
Então:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{i^2}{n^2}\cdot\frac{1}{n}. \]
Logo:
\[ R_n=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2. \]
Usando:
\[ \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \]
temos:
\[ R_n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
Simplificando:
\[ R_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}. \]
Podemos escrever:
\[ R_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}. \]
Expandindo o numerador:
\[ (n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1. \]
Então:
\[ R_n=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}. \]
Dividindo por \(n^2\):
\[ R_n=\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6}. \]
Agora tomamos o limite:
\[ \lim_{n\to\infty}R_n = \frac{2+0+0}{6} = \frac{1}{3}. \]
Portanto:
\[ \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}. \]
Esse resultado será confirmado futuramente pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
O significado do limite
No exemplo anterior, cada \(R_n\) é uma aproximação da área.
Para \(n=10\), temos uma aproximação.
Para \(n=100\), temos uma aproximação melhor.
Para \(n=1000\), melhor ainda.
O limite quando:
\[ n\to\infty \]
fornece a área exata.
Assim, a integral definida é uma passagem do discreto para o contínuo.
Começamos com uma soma finita de retângulos.
Depois, tomamos um limite.
O resultado é uma medida exata de área ou acumulação.
Funções integráveis
Nem toda função é simples de integrar, mas muitas funções importantes são integráveis.
Em particular, toda função contínua em um intervalo fechado \([a,b]\) é integrável.
Isso significa que, se \(f\) é contínua em \([a,b]\), então o limite das somas de Riemann existe.
Assim, para funções contínuas, a integral definida está bem definida.
Neste curso, trabalharemos principalmente com funções contínuas ou com funções que têm poucos pontos problemáticos.
Soma de Riemann e unidade de medida
Se \(x\) tem uma unidade e \(f(x)\) tem outra, a integral combina essas unidades.
Por exemplo, se:
\[ v(t) \]
é velocidade em metros por segundo e:
\[ dt \]
é medido em segundos, então:
\[ v(t)\,dt \]
tem unidade:
\[ \frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}=\text{m}. \]
Portanto:
\[ \int_a^b v(t)\,dt \]
tem unidade de metros.
Isso corresponde a deslocamento.
De modo semelhante, se \(f(x)\) é altura em metros e \(dx\) é largura em metros, então:
\[ f(x)\,dx \]
tem unidade de área:
\[ \text{m}^2. \]
Exemplo aplicado com unidades
Suponha que uma torneira despeje água em um reservatório a uma taxa:
\[ r(t) \]
em litros por minuto.
Durante um pequeno intervalo de tempo:
\[ \Delta t, \]
a quantidade de água adicionada é aproximadamente:
\[ r(t_i^*)\Delta t. \]
Somando vários intervalos:
\[ \sum r(t_i^*)\Delta t. \]
No limite:
\[ \int_a^b r(t)\,dt. \]
A unidade será:
\[ \frac{\text{litros}}{\text{minuto}}\cdot \text{minuto}=\text{litros}. \]
Assim, a integral fornece o volume total de água acumulado.
Somas inferiores e superiores
Para funções positivas, podemos também pensar em retângulos que ficam abaixo ou acima do gráfico.
Se em cada subintervalo usamos o menor valor da função, obtemos uma soma inferior.
Se usamos o maior valor da função, obtemos uma soma superior.
Para funções crescentes:
- a soma à esquerda é soma inferior;
- a soma à direita é soma superior.
Para funções decrescentes:
- a soma à esquerda é soma superior;
- a soma à direita é soma inferior.
A área exata fica entre a soma inferior e a soma superior.
Quando refinamos a partição, essas somas se aproximam.
A ideia de refinamento
Refinar uma partição significa dividir o intervalo em pedaços menores.
Quanto menor for:
\[ \Delta x, \]
mais estreitos serão os retângulos.
Com retângulos mais estreitos, eles se ajustam melhor à curva.
No limite, quando:
\[ \Delta x\to 0, \]
a soma de Riemann tende à integral definida.
Essa ideia é uma das grandes conquistas do Cálculo: transformar problemas contínuos em limites de somas finitas.
Cuidado com a notação
Na soma:
\[ \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x, \]
o índice \(i\) indica o subintervalo.
A expressão \(x_i^*\) não significa necessariamente \(x_i\).
Ela representa um ponto escolhido no subintervalo \([x_{i-1},x_i]\).
Se for soma à direita:
\[ x_i^*=x_i. \]
Se for soma à esquerda:
\[ x_i^*=x_{i-1}. \]
Se for ponto médio:
\[ x_i^*=m_i. \]
Essa distinção é importante.
Diferença entre \(\Delta x\) e \(dx\)
Em uma soma de Riemann, usamos:
\[ \Delta x. \]
Esse é um comprimento finito, a largura dos subintervalos.
Na integral definida, escrevemos:
\[ dx. \]
O símbolo \(dx\) representa a variável de integração e está relacionado ao limite de larguras cada vez menores.
Podemos pensar informalmente que:
\[ dx \]
é o análogo infinitesimal de:
\[ \Delta x. \]
Mas, formalmente, a integral definida é definida por um limite.
Exemplo final 1: soma à direita
Monte a soma à direita para:
\[ f(x)=x^2+2 \]
em:
\[ [1,3] \]
com:
\[ n=4. \]
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}. \]
Os pontos da partição são:
\[ x_i=1+i\frac{1}{2}. \]
Para \(i=1,2,3,4\), temos:
\[ x_1=\frac{3}{2}, \]
\[ x_2=2, \]
\[ x_3=\frac{5}{2}, \]
\[ x_4=3. \]
A soma à direita é:
\[ R_4= \left[ f\left(\frac{3}{2}\right)+f(2)+f\left(\frac{5}{2}\right)+f(3) \right]\frac{1}{2}. \]
Como:
\[ f(x)=x^2+2, \]
temos:
\[ R_4= \left[ \left(\frac{3}{2}\right)^2+2 + 2^2+2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2+2 + 3^2+2 \right]\frac{1}{2}. \]
Calculando:
\[ \left(\frac{3}{2}\right)^2+2=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}, \]
\[ 2^2+2=6, \]
\[ \left(\frac{5}{2}\right)^2+2=\frac{25}{4}+2=\frac{33}{4}, \]
e:
\[ 3^2+2=11. \]
Logo:
\[ R_4= \left( \frac{17}{4}+6+\frac{33}{4}+11 \right)\frac{1}{2}. \]
Como:
\[ 6+11=17=\frac{68}{4}, \]
temos:
\[ \frac{17}{4}+\frac{33}{4}+\frac{68}{4} = \frac{118}{4} = \frac{59}{2}. \]
Então:
\[ R_4=\frac{59}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{59}{4}. \]
Portanto:
\[ R_4=14{,}75. \]
Exemplo final 2: soma à esquerda
Monte a soma à esquerda para:
\[ f(x)=x^2+2 \]
em:
\[ [1,3] \]
com:
\[ n=4. \]
A largura é:
\[ \Delta x=\frac{1}{2}. \]
Os pontos à esquerda são:
\[ x_0=1, \]
\[ x_1=\frac{3}{2}, \]
\[ x_2=2, \]
\[ x_3=\frac{5}{2}. \]
Então:
\[ L_4= \left[ f(1)+f\left(\frac{3}{2}\right)+f(2)+f\left(\frac{5}{2}\right) \right]\frac{1}{2}. \]
Calculando:
\[ f(1)=1^2+2=3, \]
\[ f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{17}{4}, \]
\[ f(2)=6, \]
e:
\[ f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{33}{4}. \]
Logo:
\[ L_4= \left( 3+\frac{17}{4}+6+\frac{33}{4} \right)\frac{1}{2}. \]
Como:
\[ 3+6=9=\frac{36}{4}, \]
temos:
\[ \frac{36}{4}+\frac{17}{4}+\frac{33}{4} = \frac{86}{4} = \frac{43}{2}. \]
Então:
\[ L_4=\frac{43}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{43}{4}. \]
Portanto:
\[ L_4=10{,}75. \]
Como \(f(x)=x^2+2\) é crescente em \([1,3]\), a soma à esquerda subestima e a soma à direita superestima.
Exemplo final 3: limite de soma
Calcule a área sob:
\[ f(x)=x \]
em:
\[ [0,2] \]
usando soma à direita.
Temos:
\[ \Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}. \]
Os pontos à direita são:
\[ x_i=0+i\Delta x=\frac{2i}{n}. \]
A soma é:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{2i}{n}\right)\frac{2}{n}. \]
Como \(f(x)=x\):
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{2i}{n}\cdot\frac{2}{n}. \]
Logo:
\[ R_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{4i}{n^2}. \]
Então:
\[ R_n=\frac{4}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i. \]
Usando:
\[ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}, \]
temos:
\[ R_n=\frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}. \]
Simplificando:
\[ R_n=\frac{2n(n+1)}{n^2}. \]
Logo:
\[ R_n=2\cdot\frac{n+1}{n}. \]
Ou:
\[ R_n=2\left(1+\frac{1}{n}\right). \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{n\to\infty}R_n=2. \]
Portanto:
\[ \int_0^2 x\,dx=2. \]
Geometricamente, a região é um triângulo de base \(2\) e altura \(2\):
\[ A=\frac{2\cdot 2}{2}=2. \]
Síntese da aula
Nesta aula, iniciamos o estudo da integral definida por meio das somas de Riemann.
Vimos que a área sob uma curva pode ser aproximada por retângulos.
Para isso, dividimos o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de largura:
\[ \Delta x=\frac{b-a}{n}. \]
Em cada subintervalo, escolhemos um ponto \(x_i^*\) e formamos retângulos de área:
\[ f(x_i^*)\Delta x. \]
A soma:
\[ \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x \]
é uma soma de Riemann.
Estudamos somas à esquerda, à direita e pelo ponto médio.
Também vimos que, quando o número de retângulos aumenta e \(\Delta x\to 0\), a soma de Riemann tende à integral definida:
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x. \]
Quando \(f(x)\geq 0\), essa integral representa a área sob o gráfico de \(f\) no intervalo \([a,b]\).
Por fim, interpretamos a integral também como acumulação, não apenas como área.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos a integral definida com mais detalhes. Vamos formalizar sua notação, interpretar áreas orientadas e começar a explorar propriedades fundamentais da integral em intervalos.