Integrais impróprias em intervalos infinitos
Integrais impróprias em intervalos infinitos
Pergunta disparadora
Como podemos atribuir sentido a uma integral quando o intervalo de integração se estende até o infinito?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender o conceito de integral imprópria em intervalos infinitos;
- distinguir integrais impróprias convergentes e divergentes;
- calcular integrais impróprias simples usando limites.
Desenvolvimento
Até agora, estudamos integrais definidas em intervalos fechados e limitados.
Por exemplo:
\[ \int_a^b f(x)\,dx \]
com \(a\) e \(b\) números reais.
Nesse caso, o intervalo de integração é:
\[ [a,b]. \]
Ele tem comprimento finito:
\[ b-a. \]
Além disso, trabalhamos principalmente com funções contínuas nesse intervalo.
Mas muitas situações matemáticas e aplicadas levam naturalmente a integrais em intervalos infinitos.
Por exemplo:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx, \]
ou:
\[ \int_0^\infty e^{-x}\,dx. \]
Essas expressões não são integrais definidas comuns, porque um dos limites de integração é infinito.
Elas são chamadas de integrais impróprias.
Nesta aula, estudaremos integrais impróprias em intervalos infinitos.
A ideia principal será transformar o infinito em um limite.
O que é uma integral imprópria?
Uma integral é chamada de imprópria quando ela não satisfaz as condições usuais de uma integral definida comum.
Nesta aula, o problema será o intervalo infinito.
Por exemplo:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx. \]
O símbolo \(\infty\) não é um número real.
Portanto, não podemos simplesmente aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo substituindo \(x=\infty\) em uma antiderivada.
Em vez disso, interpretamos a integral como um limite:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx. \]
Agora, para cada \(b\) finito, a integral:
\[ \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx \]
é uma integral definida comum.
Depois estudamos o que acontece quando:
\[ b\to\infty. \]
Definição: intervalo infinito à direita
Se \(f\) é contínua em \([a,\infty)\), definimos:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx, \]
desde que esse limite exista como número real.
Se o limite existe e é finito, dizemos que a integral imprópria converge.
Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge.
Assim:
- convergir significa produzir um valor finito;
- divergir significa não produzir um valor finito.
Exemplo 1: uma integral imprópria convergente
Calcule:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx. \]
Reescrevemos:
\[ \frac{1}{x^2}=x^{-2}. \]
Uma antiderivada é:
\[ \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac{1}{x}. \]
Então:
\[ \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b. \]
Calculando:
\[ \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = -\frac{1}{b}-\left(-\frac{1}{1}\right). \]
Logo:
\[ \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{b}+1. \]
Agora tomamos o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right)=1. \]
Portanto:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=1. \]
Essa integral imprópria converge.
Interpretação geométrica
A integral:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx \]
representa a área sob o gráfico de:
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
de \(x=1\) até o infinito.
O fato de essa integral valer \(1\) significa que a área total, mesmo estendendo-se indefinidamente para a direita, é finita.
Isso pode parecer surpreendente.
A região é infinita em extensão horizontal, mas a função decresce tão rapidamente que a área total permanece limitada.
Exemplo 2: uma integral imprópria divergente
Calcule:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x}\,dx. \]
Uma antiderivada de \(\frac{1}{x}\) é:
\[ \ln x. \]
Como estamos em \(x>0\), não precisamos escrever \(\ln|x|\).
Então:
\[ \int_1^b \frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^b. \]
Calculando:
\[ [\ln x]_1^b=\ln b-\ln 1. \]
Como:
\[ \ln 1=0, \]
temos:
\[ \int_1^b \frac{1}{x}\,dx=\ln b. \]
Agora tomamos o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\ln b=\infty. \]
Portanto:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx \]
diverge.
Comparando os exemplos
Os exemplos anteriores são muito importantes.
Vimos que:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx \]
converge, mas:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx \]
diverge.
As duas funções tendem a zero quando \(x\to\infty\).
De fato:
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \]
e:
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]
Mas isso não é suficiente para garantir que a área total seja finita.
A função precisa tender a zero rápido o bastante.
A função \(\frac{1}{x^2}\) decresce mais rapidamente que \(\frac{1}{x}\).
Por isso, sua área total em \([1,\infty)\) é finita.
Cuidado importante
Se:
\[ \lim_{x\to\infty} f(x)\neq 0, \]
então a integral:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx \]
não pode convergir.
Mas se:
\[ \lim_{x\to\infty} f(x)=0, \]
isso não garante convergência.
Em outras palavras:
tender a zero é necessário, mas não é suficiente.
Por exemplo:
\[ \frac{1}{x}\to 0, \]
mas:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx \]
diverge.
Integrais do tipo \(p\)
Um caso muito importante é a integral:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx. \]
Esse tipo de integral é chamado, muitas vezes, de integral p.
O comportamento depende do expoente \(p\).
Temos:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \]
converge se:
\[ p>1, \]
e diverge se:
\[ p\leq 1. \]
Esse resultado é uma referência fundamental para comparar muitas integrais impróprias.
Demonstração para \(p\neq 1\)
Considere:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \int_1^\infty x^{-p}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_1^\infty x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-p}\,dx. \]
Se \(p\neq 1\), então:
\[ \int x^{-p}\,dx=\frac{x^{1-p}}{1-p}. \]
Logo:
\[ \int_1^b x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b. \]
Assim:
\[ \int_1^b x^{-p}\,dx = \frac{b^{1-p}}{1-p}-\frac{1^{1-p}}{1-p}. \]
Como:
\[ 1^{1-p}=1, \]
temos:
\[ \int_1^b x^{-p}\,dx = \frac{b^{1-p}-1}{1-p}. \]
Agora analisamos o limite quando \(b\to\infty\).
Se \(p>1\), então:
\[ 1-p<0. \]
Nesse caso:
\[ b^{1-p}\to 0. \]
Logo, o limite é finito.
Se \(p<1\), então:
\[ 1-p>0. \]
Nesse caso:
\[ b^{1-p}\to\infty. \]
Logo, a integral diverge.
O caso \(p=1\) é separado e corresponde à integral:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx, \]
que diverge.
Portanto:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \]
converge se, e somente se:
\[ p>1. \]
Exemplo 3: integral p convergente
Determine se a integral converge e, se convergir, calcule:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx. \]
Aqui:
\[ p=3. \]
Como:
\[ 3>1, \]
a integral converge.
Vamos calcular.
Pela definição:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-3}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ \int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}. \]
Então:
\[ \int_1^b x^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^b. \]
Calculando:
\[ -\frac{1}{2b^2}-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2b^2}. \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2b^2}\right)=\frac{1}{2}. \]
Portanto:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx=\frac{1}{2}. \]
Exemplo 4: integral p divergente
Determine se a integral converge:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx. \]
Reescrevemos:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. \]
Isso corresponde a:
\[ \frac{1}{x^p} \]
com:
\[ p=\frac{1}{2}. \]
Como:
\[ \frac{1}{2}\leq 1, \]
a integral diverge.
Vamos confirmar por cálculo.
Pela definição:
\[ \int_1^\infty x^{-1/2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-1/2}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ 2\sqrt{x}. \]
Então:
\[ \int_1^b x^{-1/2}\,dx = [2\sqrt{x}]_1^b. \]
Calculando:
\[ 2\sqrt{b}-2. \]
Agora:
\[ \lim_{b\to\infty}(2\sqrt{b}-2)=\infty. \]
Logo:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \]
diverge.
Exemplo 5: integral exponencial
Calcule:
\[ \int_0^\infty e^{-x}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_0^\infty e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b e^{-x}\,dx. \]
Uma antiderivada de \(e^{-x}\) é:
\[ -e^{-x}. \]
Então:
\[ \int_0^b e^{-x}\,dx = [-e^{-x}]_0^b. \]
Calculando:
\[ -e^{-b}-(-e^0). \]
Como:
\[ e^0=1, \]
temos:
\[ -e^{-b}+1. \]
Ou:
\[ 1-e^{-b}. \]
Agora tomamos o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}(1-e^{-b}). \]
Como:
\[ e^{-b}\to 0, \]
obtemos:
\[ 1. \]
Portanto:
\[ \int_0^\infty e^{-x}\,dx=1. \]
Essa integral converge.
Interpretação da exponencial
A função:
\[ e^{-x} \]
decresce rapidamente para zero.
Por isso, a área total sob seu gráfico em \([0,\infty)\) é finita.
Essa integral aparece em probabilidade, estatística, física, engenharia e modelos de decaimento.
Ela é um exemplo clássico de como uma função definida em um intervalo infinito pode ter acumulação total finita.
Exemplo 6: exponencial com constante
Calcule:
\[ \int_0^\infty 3e^{-2x}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_0^\infty 3e^{-2x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b 3e^{-2x}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ -\frac{3}{2}e^{-2x}. \]
Então:
\[ \int_0^b 3e^{-2x}\,dx = \left[-\frac{3}{2}e^{-2x}\right]_0^b. \]
Calculando:
\[ -\frac{3}{2}e^{-2b} - \left(-\frac{3}{2}e^0\right). \]
Como:
\[ e^0=1, \]
temos:
\[ -\frac{3}{2}e^{-2b}+\frac{3}{2}. \]
Ou:
\[ \frac{3}{2}\left(1-e^{-2b}\right). \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\frac{3}{2}\left(1-e^{-2b}\right)=\frac{3}{2}. \]
Portanto:
\[ \int_0^\infty 3e^{-2x}\,dx=\frac{3}{2}. \]
Intervalo infinito à esquerda
Também podemos ter integrais impróprias do tipo:
\[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx. \]
Nesse caso, definimos:
\[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx, \]
desde que esse limite exista e seja finito.
Se o limite existir e for finito, a integral converge.
Caso contrário, diverge.
Exemplo 7: intervalo infinito à esquerda
Calcule:
\[ \int_{-\infty}^0 e^x\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^0 e^x\,dx. \]
Uma antiderivada de \(e^x\) é:
\[ e^x. \]
Então:
\[ \int_a^0 e^x\,dx=[e^x]_a^0. \]
Calculando:
\[ e^0-e^a=1-e^a. \]
Agora tomamos o limite:
\[ \lim_{a\to-\infty}(1-e^a). \]
Como:
\[ e^a\to 0 \]
quando:
\[ a\to-\infty, \]
temos:
\[ 1. \]
Portanto:
\[ \int_{-\infty}^0 e^x\,dx=1. \]
Intervalo infinito nos dois sentidos
Também podemos ter integrais em todo o eixo real:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. \]
Nesse caso, precisamos dividir a integral em duas partes.
Escolhemos um ponto qualquer \(c\) e definimos:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx + \int_c^{\infty} f(x)\,dx. \]
A integral converge somente se as duas integrais do lado direito convergirem.
Se uma delas divergir, a integral total diverge.
Normalmente escolhemos:
\[ c=0. \]
Assim:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx. \]
Exemplo 8: integral em toda a reta
Calcule:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\,dx. \]
A função é par, pois:
\[ e^{-|-x|}=e^{-|x|}. \]
Então podemos usar simetria:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\,dx = 2\int_0^\infty e^{-x}\,dx. \]
Já vimos que:
\[ \int_0^\infty e^{-x}\,dx=1. \]
Logo:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\,dx=2. \]
Portanto, a integral converge e vale:
\[ 2. \]
Cuidado com cancelamentos em intervalos infinitos
Em integrais impróprias de \(-\infty\) a \(\infty\), não podemos simplesmente contar com cancelamentos simétricos sem verificar convergência das duas partes.
Por exemplo, a função:
\[ f(x)=x \]
é ímpar.
Alguém poderia pensar que:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx=0 \]
por simetria.
Mas isso não é correto como integral imprópria usual.
Devemos dividir:
\[ \int_{-\infty}^{0}x\,dx \]
e:
\[ \int_0^\infty x\,dx. \]
A primeira diverge para:
\[ -\infty, \]
e a segunda diverge para:
\[ +\infty. \]
Como as duas partes não convergem como números reais, a integral imprópria diverge.
Portanto, cuidado:
simetria não substitui a definição de integral imprópria.
Exemplo 9: divergência apesar da simetria
Analise:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx = \int_{-\infty}^{0}x\,dx+ \int_0^\infty x\,dx. \]
Vamos olhar a segunda parte:
\[ \int_0^\infty x\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b x\,dx. \]
Calculando:
\[ \int_0^b x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^b=\frac{b^2}{2}. \]
Como:
\[ \lim_{b\to\infty}\frac{b^2}{2}=\infty, \]
a integral diverge.
Logo:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx \]
diverge.
Integral imprópria e valor principal
Existe um conceito chamado valor principal de Cauchy, em que certos cancelamentos simétricos são permitidos.
Por exemplo:
\[ \lim_{b\to\infty}\int_{-b}^{b}x\,dx=0. \]
Mas esse valor principal não é a mesma coisa que a integral imprópria usual.
Nesta aula, trabalhamos com a definição usual de integral imprópria.
Por essa definição, é necessário que as partes separadas convirjam.
Exemplo 10: função racional convergente
Calcule:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(x+1)^2}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b \frac{1}{(x+1)^2}\,dx. \]
Fazemos a antiderivada.
Como:
\[ \frac{1}{(x+1)^2}=(x+1)^{-2}, \]
uma antiderivada é:
\[ -\frac{1}{x+1}. \]
Então:
\[ \int_0^b \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x+1}\right]_0^b. \]
Calculando:
\[ -\frac{1}{b+1}-\left(-\frac{1}{1}\right). \]
Logo:
\[ 1-\frac{1}{b+1}. \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b+1}\right)=1. \]
Portanto:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(x+1)^2}\,dx=1. \]
Exemplo 11: função racional divergente
Analise:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{x+1}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{x+1}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b \frac{1}{x+1}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ \ln(x+1). \]
Então:
\[ \int_0^b \frac{1}{x+1}\,dx = [\ln(x+1)]_0^b. \]
Calculando:
\[ \ln(b+1)-\ln(1). \]
Como:
\[ \ln(1)=0, \]
temos:
\[ \ln(b+1). \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\ln(b+1)=\infty. \]
Logo:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{x+1}\,dx \]
diverge.
Exemplo 12: integral com substituição simples
Calcule:
\[ \int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b xe^{-x^2}\,dx. \]
Para calcular a integral definida, usamos substituição.
Faça:
\[ u=-x^2. \]
Então:
\[ du=-2x\,dx. \]
Logo:
\[ x\,dx=-\frac{1}{2}du. \]
Uma antiderivada de \(xe^{-x^2}\) é:
\[ -\frac{1}{2}e^{-x^2}. \]
Portanto:
\[ \int_0^b xe^{-x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^b. \]
Calculando:
\[ -\frac{1}{2}e^{-b^2} - \left(-\frac{1}{2}e^0\right). \]
Como:
\[ e^0=1, \]
temos:
\[ -\frac{1}{2}e^{-b^2}+\frac{1}{2}. \]
Ou:
\[ \frac{1}{2}\left(1-e^{-b^2}\right). \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac{1}{2}. \]
Portanto:
\[ \int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx=\frac{1}{2}. \]
Como decidir se uma integral converge?
Nesta primeira aula, estamos calculando integrais diretamente pela definição.
O roteiro básico é:
- substituir o limite infinito por uma variável finita;
- calcular a integral definida comum;
- tomar o limite;
- verificar se o resultado é finito.
Por exemplo:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Se esse limite é um número real, a integral converge.
Se o limite é infinito, menos infinito ou não existe, a integral diverge.
Em aulas posteriores, estudaremos critérios de comparação para decidir convergência sem sempre calcular a integral exatamente.
Aplicações de integrais impróprias
Integrais impróprias aparecem em muitos contextos.
Na probabilidade, distribuições contínuas em intervalos infinitos precisam ter área total igual a \(1\).
Por exemplo, a densidade exponencial envolve integrais do tipo:
\[ \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx. \]
Em Física, integrais impróprias aparecem em problemas envolvendo campos, energia, distribuições contínuas e fenômenos em domínios infinitos.
Em engenharia, aparecem em sinais, sistemas e transformadas.
Em matemática, são fundamentais para séries, análise, equações diferenciais e teoria da medida.
Nesta unidade, o foco será desenvolver a base conceitual e computacional necessária para lidar com essas integrais.
Erros comuns
Um erro comum é tentar substituir diretamente:
\[ x=\infty \]
em uma antiderivada.
Isso não é correto.
O infinito não é um número.
Devemos sempre usar limite.
Por exemplo, não escrevemos simplesmente:
\[ \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty. \]
O correto é:
\[ \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b. \]
Depois, podemos calcular o limite.
Outro erro comum é pensar que, se:
\[ f(x)\to 0, \]
então a integral converge.
Isso é falso.
A integral:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx \]
diverge, embora:
\[ \frac{1}{x}\to 0. \]
Também é comum usar simetria em integrais de \(-\infty\) a \(\infty\) sem verificar a convergência das duas partes.
Na definição usual, ambas as partes precisam convergir separadamente.
Roteiro para calcular integrais impróprias em intervalos infinitos
Para calcular:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx, \]
faça:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Depois:
- calcule a integral definida de \(a\) até \(b\);
- simplifique a expressão obtida;
- tome o limite quando \(b\to\infty\);
- se o limite for finito, a integral converge;
- se o limite não for finito, a integral diverge.
Para:
\[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx, \]
faça:
\[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Para:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx, \]
divida:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx+ \int_c^{\infty}f(x)\,dx. \]
As duas partes precisam convergir.
Exemplo final 1
Calcule:
\[ \int_2^\infty \frac{1}{x^2}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_2^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_2^b x^{-2}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ -\frac{1}{x}. \]
Então:
\[ \int_2^b x^{-2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_2^b. \]
Calculando:
\[ -\frac{1}{b}-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{b}. \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{2}. \]
Portanto:
\[ \int_2^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{2}. \]
Exemplo final 2
Determine se a integral converge:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}}\,dx. \]
Aqui:
\[ p=\frac{3}{2}. \]
Como:
\[ \frac{3}{2}>1, \]
a integral converge.
Vamos calcular.
Pela definição:
\[ \int_1^\infty x^{-3/2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-3/2}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}=-2x^{-1/2}. \]
Ou:
\[ -\frac{2}{\sqrt{x}}. \]
Então:
\[ \int_1^b x^{-3/2}\,dx = \left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_1^b. \]
Calculando:
\[ -\frac{2}{\sqrt{b}}-\left(-2\right) = 2-\frac{2}{\sqrt{b}}. \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}\left(2-\frac{2}{\sqrt{b}}\right)=2. \]
Portanto:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}}\,dx=2. \]
Exemplo final 3
Determine se a integral converge:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx. \]
Aqui:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{1/2}}. \]
Então:
\[ p=\frac{1}{2}. \]
Como:
\[ \frac{1}{2}\leq 1, \]
a integral diverge.
Pelo cálculo direto:
\[ \int_1^b x^{-1/2}\,dx=[2\sqrt{x}]_1^b. \]
Logo:
\[ \int_1^b x^{-1/2}\,dx=2\sqrt{b}-2. \]
Como:
\[ \lim_{b\to\infty}(2\sqrt{b}-2)=\infty, \]
a integral diverge.
Exemplo final 4
Calcule:
\[ \int_0^\infty 5e^{-x}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_0^\infty 5e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_0^b 5e^{-x}\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ -5e^{-x}. \]
Então:
\[ \int_0^b 5e^{-x}\,dx = [-5e^{-x}]_0^b. \]
Calculando:
\[ -5e^{-b}-(-5e^0). \]
Como:
\[ e^0=1, \]
temos:
\[ -5e^{-b}+5. \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{b\to\infty}(5-5e^{-b})=5. \]
Portanto:
\[ \int_0^\infty 5e^{-x}\,dx=5. \]
Exemplo final 5
Calcule:
\[ \int_{-\infty}^0 2e^{2x}\,dx. \]
Pela definição:
\[ \int_{-\infty}^0 2e^{2x}\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^0 2e^{2x}\,dx. \]
Uma antiderivada de \(2e^{2x}\) é:
\[ e^{2x}. \]
Então:
\[ \int_a^0 2e^{2x}\,dx = [e^{2x}]_a^0. \]
Calculando:
\[ e^0-e^{2a}=1-e^{2a}. \]
Agora tomamos o limite:
\[ \lim_{a\to-\infty}(1-e^{2a}). \]
Como:
\[ e^{2a}\to 0 \]
quando:
\[ a\to-\infty, \]
temos:
\[ 1. \]
Portanto:
\[ \int_{-\infty}^0 2e^{2x}\,dx=1. \]
Síntese da aula
Nesta aula, introduzimos as integrais impróprias em intervalos infinitos.
Vimos que uma integral como:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx \]
não é uma integral definida comum, pois \(\infty\) não é um número real.
Por isso, definimos:
\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Se esse limite existe e é finito, a integral converge.
Se o limite não existe ou é infinito, a integral diverge.
Também estudamos integrais do tipo:
\[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx, \]
definidas por:
\[ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Para integrais em todo o eixo real, devemos dividir:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx+ \int_c^{\infty} f(x)\,dx. \]
As duas partes precisam convergir.
Vimos ainda o caso fundamental das integrais p:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx. \]
Essa integral converge se \(p>1\) e diverge se \(p\leq 1\).
Por fim, destacamos um cuidado essencial: uma função tender a zero no infinito é condição necessária para a convergência, mas não é suficiente.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos integrais impróprias com descontinuidades infinitas. Veremos como lidar com integrais em que o problema não está no intervalo infinito, mas no comportamento da função perto de um ponto onde ela não é limitada.