Conceito formal de função
Conceito formal de função
Pergunta disparadora
O que realmente significa dizer que uma grandeza depende de outra de maneira bem definida?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- definir formalmente uma função como uma relação entre conjuntos;
- distinguir domínio, contradomínio, imagem e lei de formação de uma função;
- reconhecer quando uma relação é ou não é uma função, usando exemplos algébricos, tabulares e gráficos.
Desenvolvimento
Na unidade anterior, revisamos os principais elementos de pré-cálculo: números reais, intervalos, valor absoluto, equações, inequações e funções elementares. A partir de agora, vamos organizar esses conceitos em torno de um objeto central do Cálculo Diferencial e Integral: a função.
O Cálculo estuda, em grande parte, como funções variam. Antes de falar em limite, continuidade, derivada ou integral, precisamos compreender com precisão o que é uma função.
Intuitivamente, uma função é uma regra que associa a cada valor de entrada exatamente um valor de saída.
Por exemplo, considere a regra:
\[ f(x)=x^2. \]
Se escolhemos:
\[ x=3, \]
então:
\[ f(3)=3^2=9. \]
Se escolhemos:
\[ x=-3, \]
então:
\[ f(-3)=(-3)^2=9. \]
Nesse caso, a função associa tanto \(3\) quanto \(-3\) ao valor \(9\). Isso é permitido. O que não seria permitido é um mesmo valor de entrada produzir dois valores de saída diferentes.
Essa é a ideia fundamental: em uma função, cada entrada deve ter uma única saída.
Definição formal de função
Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios. Uma função de \(A\) em \(B\) é uma regra que associa a cada elemento de \(A\) exatamente um elemento de \(B\).
Escrevemos:
\[ f:A\to B. \]
Essa notação é lida como:
\(f\) é uma função de \(A\) em \(B\).
O conjunto \(A\) é chamado domínio da função.
O conjunto \(B\) é chamado contradomínio da função.
Se \(x\in A\), então \(f(x)\) representa o elemento de \(B\) associado a \(x\) pela função \(f\).
Dizemos que \(x\) é a variável independente, pois escolhemos seu valor dentro do domínio.
Dizemos que \(f(x)\) é a variável dependente, pois seu valor depende do valor escolhido para \(x\).
No contexto deste curso, trabalharemos principalmente com funções reais de uma variável real, isto é, funções do tipo:
\[ f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}. \]
Isso significa que o domínio é um subconjunto dos números reais e que os valores produzidos pela função também são reais.
Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida.
Por exemplo, considere:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Essa expressão pode ser calculada para qualquer número real \(x\). Portanto:
\[ \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Agora considere:
\[ g(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Essa expressão não está definida quando o denominador é zero:
\[ x-2=0. \]
Logo:
\[ x=2. \]
Portanto, o domínio é:
\[ \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Em notação de intervalos:
\[ \operatorname{Dom}(g)=(-\infty,2)\cup(2,+\infty). \]
Considere agora:
\[ h(x)=\sqrt{x+3}. \]
Para que a raiz quadrada esteja definida nos reais, precisamos ter:
\[ x+3\geq 0. \]
Logo:
\[ x\geq -3. \]
Portanto:
\[ \operatorname{Dom}(h)=[-3,+\infty). \]
Esses exemplos mostram que o domínio não é um detalhe secundário. Ele faz parte da própria definição da função.
A expressão algébrica sozinha nem sempre determina completamente uma função. Para definir uma função com precisão, precisamos informar também seu domínio e seu contradomínio.
Por exemplo, as funções:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2, \]
e
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb{R},\quad g(x)=x^2, \]
possuem a mesma fórmula, mas não são exatamente a mesma função, pois possuem domínios diferentes.
Na primeira função, podemos usar qualquer número real como entrada.
Na segunda, apenas números reais não negativos são permitidos como entrada.
Contradomínio
O contradomínio é o conjunto onde os valores de saída da função são considerados.
Na notação:
\[ f:A\to B, \]
o conjunto \(B\) é o contradomínio.
Por exemplo:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2. \]
Aqui, o contradomínio é:
\[ \mathbb{R}. \]
Isso significa que estamos considerando os valores da função dentro do conjunto dos números reais.
Mas observe que, embora o contradomínio seja \(\mathbb{R}\), a função \(f(x)=x^2\) nunca assume valores negativos.
Não existe \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ x^2=-1. \]
Portanto, nem todo elemento do contradomínio precisa ser atingido pela função.
Essa observação nos leva ao conceito de imagem.
Imagem
A imagem de uma função é o conjunto dos valores que a função realmente assume.
Se:
\[ f:A\to B, \]
então a imagem de \(f\) é:
\[ \operatorname{Im}(f)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Em palavras, a imagem é o conjunto de todos os valores \(f(x)\) obtidos quando \(x\) percorre o domínio.
Por exemplo, considere:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2. \]
Como o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero, temos:
\[ f(x)\geq 0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Além disso, qualquer número real não negativo pode ser obtido como quadrado de algum número real. Se \(y\geq 0\), então:
\[ y=(\sqrt{y})^2. \]
Logo:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Assim, para essa função:
\[ \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}, \]
\[ \operatorname{Contradomínio}(f)=\mathbb{R}, \]
e
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty). \]
A imagem é sempre um subconjunto do contradomínio:
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq B. \]
Em alguns casos, a imagem coincide com o contradomínio. Em outros, não.
Por exemplo, para:
\[ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad p(x)=2x+1, \]
a imagem é:
\[ \mathbb{R}. \]
Isso acontece porque, dado qualquer número real \(y\), podemos resolver:
\[ y=2x+1. \]
Então:
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
Como esse \(x\) é real para qualquer \(y\in\mathbb{R}\), a função assume todos os valores reais.
Logo:
\[ \operatorname{Im}(p)=\mathbb{R}. \]
Lei de formação
A lei de formação é a regra que associa cada elemento do domínio a um elemento do contradomínio.
Essa regra pode ser dada por uma fórmula, uma tabela, um gráfico ou uma descrição verbal.
Por exemplo, a função:
\[ f(x)=3x-2 \]
possui uma lei de formação algébrica.
A função que associa a cada pessoa sua idade atual possui uma lei de formação descritiva.
Uma tabela como:
\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{array} \]
também pode representar uma função, desde que cada valor de entrada apareça associado a exatamente um valor de saída.
Nesse exemplo, podemos perceber que a regra é:
\[ f(x)=2x \]
para os valores listados.
No entanto, uma tabela pode representar uma função mesmo que não conheçamos uma fórmula simples para ela.
O ponto essencial é que cada entrada tenha uma única saída.
Relações que são funções
Uma relação entre dois conjuntos associa elementos de um conjunto a elementos de outro. Nem toda relação é uma função.
Para ser uma função, a relação deve obedecer a duas condições:
- Todo elemento do domínio deve estar associado a algum elemento do contradomínio.
- Cada elemento do domínio deve estar associado a um único elemento do contradomínio.
Considere os conjuntos:
\[ A=\{1,2,3\} \]
e
\[ B=\{a,b,c,d\}. \]
A relação:
\[ 1\mapsto a,\quad 2\mapsto b,\quad 3\mapsto b \]
é uma função de \(A\) em \(B\).
Observe que dois elementos diferentes do domínio podem ter a mesma imagem. Os elementos \(2\) e \(3\) foram associados ao mesmo elemento \(b\). Isso é permitido.
Agora considere:
\[ 1\mapsto a,\quad 2\mapsto b. \]
Essa relação não define uma função de \(A\) em \(B\), pois o elemento \(3\) do domínio não foi associado a nenhum elemento de \(B\).
Agora considere:
\[ 1\mapsto a,\quad 2\mapsto b,\quad 2\mapsto c,\quad 3\mapsto d. \]
Essa relação também não define uma função, pois o elemento \(2\) do domínio foi associado a dois valores diferentes, \(b\) e \(c\).
Portanto, uma função pode repetir valores de saída, mas não pode atribuir duas saídas diferentes à mesma entrada.
Exemplos algébricos
Considere a relação definida por:
\[ y=x^2. \]
Para cada valor real de \(x\), existe um único valor real de \(y\). Portanto, essa relação define uma função de \(x\) em \(y\).
Podemos escrever:
\[ f(x)=x^2. \]
Agora considere a relação:
\[ x=y^2. \]
Se tentarmos interpretar \(y\) como função de \(x\), teremos:
\[ y=\pm\sqrt{x}. \]
Para \(x=4\), por exemplo, existem dois valores possíveis de \(y\):
\[ y=2 \]
e
\[ y=-2. \]
Assim, essa relação não define uma função de \(x\) em \(y\) se considerarmos os dois ramos ao mesmo tempo.
No entanto, podemos criar funções a partir dessa relação restringindo a escolha.
Por exemplo:
\[ f(x)=\sqrt{x},\quad x\geq 0, \]
define uma função.
Também:
\[ g(x)=-\sqrt{x},\quad x\geq 0, \]
define outra função.
Esse exemplo mostra que uma relação pode não ser função inicialmente, mas pode originar funções quando restringimos domínio, contradomínio ou escolhemos um ramo específico.
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função \(f:A\to\mathbb{R}\) é o conjunto dos pontos do plano cartesiano da forma:
\[ (x,f(x)), \]
com:
\[ x\in A. \]
Em notação de conjunto:
\[ G_f=\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^2\mid x\in A\}. \]
O gráfico permite visualizar como a saída da função varia conforme a entrada muda.
Por exemplo, o gráfico de:
\[ f(x)=x^2 \]
é uma parábola.
O gráfico de:
\[ g(x)=2x+1 \]
é uma reta.
O gráfico de:
\[ h(x)=\frac{1}{x} \]
é uma hipérbole com dois ramos.
Uma curva no plano cartesiano representa o gráfico de uma função de \(x\) se, para cada valor de \(x\), existe no máximo um valor de \(y\) correspondente.
Isso nos leva ao teste da reta vertical.
Teste da reta vertical
O teste da reta vertical é um critério geométrico para decidir se uma curva representa ou não o gráfico de uma função de \(x\).
Uma curva representa o gráfico de uma função de \(x\) quando qualquer reta vertical intercepta a curva em no máximo um ponto.
Se alguma reta vertical intercepta a curva em dois ou mais pontos, então a curva não representa uma função de \(x\).
Por exemplo, a parábola:
\[ y=x^2 \]
representa uma função de \(x\), pois cada valor de \(x\) produz um único valor de \(y\).
Já a circunferência:
\[ x^2+y^2=1 \]
não representa uma função de \(x\) em todo seu conjunto, pois, para muitos valores de \(x\), existem dois valores de \(y\).
Por exemplo, se:
\[ x=0, \]
temos:
\[ y^2=1. \]
Logo:
\[ y=1 \]
ou
\[ y=-1. \]
Assim, a mesma entrada \(x=0\) está associada a duas saídas diferentes.
No entanto, a parte superior da circunferência pode ser descrita por uma função:
\[ y=\sqrt{1-x^2}, \quad -1\leq x\leq 1. \]
E a parte inferior pode ser descrita por outra função:
\[ y=-\sqrt{1-x^2}, \quad -1\leq x\leq 1. \]
Igualdade de funções
Duas funções são iguais quando possuem o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de associação para todos os elementos do domínio.
Por exemplo, considere:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2-1, \]
e
\[ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(x)=(x-1)(x+1). \]
Como:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), as funções \(f\) e \(g\) são iguais.
Agora considere:
\[ p:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R},\quad p(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \]
e
\[ q:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad q(x)=x+1. \]
Para \(x\neq 1\), temos:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Mas as funções não são iguais, pois seus domínios são diferentes.
A função \(p\) não está definida em \(x=1\), enquanto \(q\) está.
Esse exemplo será muito importante no estudo de limites. Duas expressões podem coincidir em quase todos os pontos, mas ainda assim representar funções diferentes por causa do domínio.
Funções definidas por partes
Uma função definida por partes é uma função cuja regra muda dependendo da região do domínio.
Por exemplo:
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & \text{se } x<0,\\ x^2, & \text{se } x\geq 0. \end{cases} \]
Nesse caso, para calcular \(f(x)\), primeiro precisamos verificar em qual parte do domínio está o valor de \(x\).
Se \(x=-3\), usamos a primeira regra:
\[ f(-3)=-3+2=-1. \]
Se \(x=2\), usamos a segunda regra:
\[ f(2)=2^2=4. \]
Se \(x=0\), também usamos a segunda regra, pois a condição é:
\[ x\geq 0. \]
Logo:
\[ f(0)=0^2=0. \]
Funções definidas por partes são muito importantes porque permitem modelar mudanças de comportamento.
Por exemplo, a função valor absoluto pode ser definida por partes:
\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\geq 0,\\ -x, & \text{se } x<0. \end{cases} \]
Essa função tem uma regra à direita da origem e outra à esquerda da origem.
No estudo de limites e continuidade, funções definidas por partes aparecerão frequentemente, pois permitem construir exemplos com saltos, quebras e mudanças bruscas de comportamento.
Funções reais e modelagem
Uma função pode ser vista como um modelo matemático de dependência.
Por exemplo, se o custo total \(C\) de produzir \(x\) unidades de um produto é dado por:
\[ C(x)=500+20x, \]
então \(C\) é uma função da quantidade produzida.
O número \(500\) pode representar um custo fixo, enquanto \(20x\) representa um custo variável proporcional à quantidade produzida.
Se um objeto se move em linha reta e sua posição no instante \(t\) é dada por:
\[ s(t)=t^2+3t, \]
então \(s\) é uma função do tempo.
Se a temperatura de uma cidade ao longo do dia é aproximada por:
\[ T(t)=25+5\sin\left(\frac{2\pi}{24}t\right), \]
então \(T\) é uma função periódica do tempo.
Em todos esses exemplos, uma variável independente determina uma variável dependente.
No Cálculo, o interesse principal será estudar como essas funções mudam.
Queremos saber, por exemplo:
- o que acontece com \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de um ponto;
- se a função varia de maneira contínua;
- qual é a taxa de variação instantânea;
- onde a função cresce ou decresce;
- onde atinge máximos e mínimos;
- como acumular valores de uma função ao longo de um intervalo.
Todas essas perguntas dependem da noção formal de função.
Notação funcional
A notação \(f(x)\) não significa \(f\) multiplicado por \(x\). Ela representa o valor da função \(f\) no ponto \(x\).
Por exemplo, se:
\[ f(x)=x^2+1, \]
então:
\[ f(2)=2^2+1=5. \]
Também podemos calcular:
\[ f(a)=a^2+1. \]
Ou:
\[ f(x+h)=(x+h)^2+1. \]
Expandindo:
\[ f(x+h)=x^2+2xh+h^2+1. \]
Expressões como \(f(x+h)\) serão muito importantes no estudo de derivadas, especialmente no quociente de diferenças:
\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \]
Por isso, é importante se acostumar com a notação funcional desde o início.
Exemplo completo
Considere a função:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x+1}{x-2}. \]
Vamos identificar seus elementos principais.
O domínio é:
\[ \mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Isso significa que todos os números reais são permitidos como entrada, exceto \(2\).
O contradomínio informado é:
\[ \mathbb{R}. \]
A lei de formação é:
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-2}. \]
Para calcular alguns valores:
\[ f(0)=\frac{0+1}{0-2}=-\frac{1}{2}. \]
Também:
\[ f(1)=\frac{1+1}{1-2}=-2. \]
E:
\[ f(3)=\frac{3+1}{3-2}=4. \]
Mas \(f(2)\) não existe, pois:
\[ f(2)=\frac{2+1}{2-2}=\frac{3}{0}, \]
e divisão por zero não está definida.
Portanto, \(2\) não pode pertencer ao domínio.
Esse tipo de cuidado será fundamental no estudo de funções racionais, limites e continuidade.
Exemplo com função definida por partes
Considere:
\[ g(x)= \begin{cases} 2x+1, & \text{se } x<1,\\ x^2, & \text{se } x\geq 1. \end{cases} \]
Vamos calcular alguns valores.
Como \(0<1\), usamos a primeira regra:
\[ g(0)=2\cdot 0+1=1. \]
Como \(1\geq 1\), usamos a segunda regra:
\[ g(1)=1^2=1. \]
Como \(3\geq 1\), usamos a segunda regra:
\[ g(3)=3^2=9. \]
Observe que o ponto \(x=1\) pertence à segunda parte da definição, pois a condição é \(x\geq 1\).
Esse detalhe é importante. Em funções definidas por partes, cada ponto do domínio deve estar associado a uma única regra.
Se escrevêssemos:
\[ g(x)= \begin{cases} 2x+1, & \text{se } x\leq 1,\\ x^2, & \text{se } x\geq 1, \end{cases} \]
teríamos um problema se as duas regras dessem valores diferentes em \(x=1\).
Nesse caso, teríamos:
\[ 2\cdot 1+1=3, \]
mas:
\[ 1^2=1. \]
Então \(x=1\) estaria associado a dois valores diferentes, e a relação não seria uma função.
Por isso, em definições por partes, as condições devem ser organizadas de modo que cada entrada pertença a uma única parte ou, se pertencer a mais de uma, que as regras forneçam o mesmo valor.
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos o conceito formal de função.
Vimos que uma função \(f:A\to B\) associa a cada elemento do domínio \(A\) exatamente um elemento do contradomínio \(B\). Destacamos que domínio, contradomínio, imagem e lei de formação são partes essenciais da definição de uma função.
Também vimos que a imagem é o conjunto dos valores que a função realmente assume e que ela sempre está contida no contradomínio.
Analisamos relações que são funções e relações que não são funções, tanto por meio de exemplos com conjuntos quanto por meio de equações e gráficos. Estudamos o teste da reta vertical, a igualdade de funções, funções definidas por partes e a importância da notação funcional.
Por fim, observamos que funções são modelos matemáticos de dependência entre grandezas e que todo o estudo posterior de limites, continuidade, derivadas e integrais depende dessa noção.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos domínio, contradomínio e imagem com mais profundidade. Vamos aprender a determinar esses conjuntos em diferentes tipos de funções e interpretar seu significado algébrico, geométrico e gráfico.