Taxa média de variação
Taxa média de variação
Pergunta disparadora
Como medir, em média, quanto uma grandeza muda quando outra grandeza varia?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender o conceito de taxa média de variação de uma função em um intervalo;
- calcular taxas médias de variação usando valores de uma função;
- interpretar geometricamente a taxa média de variação como inclinação da reta secante.
Desenvolvimento
Nas unidades anteriores, estudamos limites e continuidade. Agora iniciaremos uma nova etapa do Cálculo Diferencial: o estudo das derivadas.
A derivada nasce de uma pergunta muito simples:
Como medir a variação de uma função?
Antes de estudar a variação instantânea, isto é, a derivada propriamente dita, precisamos entender a taxa média de variação.
A taxa média de variação mede quanto uma função muda, em média, quando a variável independente passa de um valor para outro.
Esse conceito aparece em muitos contextos:
- velocidade média;
- crescimento médio;
- custo médio adicional;
- variação média de temperatura;
- taxa média de lucro;
- variação média de uma população;
- inclinação média de um gráfico.
A ideia básica é comparar a variação da saída com a variação da entrada.
Se uma função é dada por:
\[ y=f(x), \]
e a variável \(x\) passa de \(a\) para \(b\), então a saída passa de:
\[ f(a) \]
para:
\[ f(b). \]
A variação da entrada é:
\[ b-a. \]
A variação da saída é:
\[ f(b)-f(a). \]
A taxa média de variação é a razão entre essas duas variações:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
Essa expressão será uma das bases para a definição de derivada.
Variação da entrada e variação da saída
Considere uma função:
\[ f(x)=2x+1. \]
Vamos comparar os valores da função quando \(x\) passa de \(1\) para \(4\).
Primeiro, calculamos:
\[ f(1)=2\cdot 1+1=3. \]
Depois:
\[ f(4)=2\cdot 4+1=9. \]
A variação da entrada foi:
\[ 4-1=3. \]
A variação da saída foi:
\[ f(4)-f(1)=9-3=6. \]
Assim, a taxa média de variação no intervalo \([1,4]\) é:
\[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{9-3}{3} = \frac{6}{3} = 2. \]
Isso significa que, nesse intervalo, para cada aumento de \(1\) unidade em \(x\), a função aumentou, em média, \(2\) unidades.
Nesse caso, como a função é uma reta, essa taxa média é sempre a mesma em qualquer intervalo.
Definição de taxa média de variação
Seja \(f\) uma função definida em um intervalo que contém os pontos \(a\) e \(b\), com:
\[ a\neq b. \]
A taxa média de variação de \(f\) no intervalo \([a,b]\) é:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
Também podemos escrever:
\[ \text{taxa média de variação} = \frac{\Delta y}{\Delta x}, \]
em que:
\[ \Delta y=f(b)-f(a) \]
e:
\[ \Delta x=b-a. \]
A letra grega \(\Delta\) representa variação.
Assim, \(\Delta x\) significa “variação de \(x\)” e \(\Delta y\) significa “variação de \(y\)”.
Portanto:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
significa:
variação da saída dividida pela variação da entrada.
Interpretação geométrica
A taxa média de variação tem uma interpretação geométrica muito importante.
Considere o gráfico de uma função \(f\).
Os pontos correspondentes a \(x=a\) e \(x=b\) são:
\[ (a,f(a)) \]
e:
\[ (b,f(b)). \]
A reta que passa por esses dois pontos é chamada reta secante ao gráfico de \(f\).
A taxa média de variação:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
é exatamente a inclinação dessa reta secante.
Portanto:
a taxa média de variação de uma função em um intervalo é a inclinação da reta secante que liga os extremos do gráfico nesse intervalo.
Essa interpretação será fundamental para entender a derivada.
A derivada surgirá quando fizermos o ponto \(b\) se aproximar de \(a\), transformando a reta secante em uma reta tangente.
Exemplo geométrico
Considere:
\[ f(x)=x^2. \]
Vamos calcular a taxa média de variação no intervalo \([1,3]\).
Primeiro:
\[ f(1)=1^2=1. \]
Depois:
\[ f(3)=3^2=9. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = \frac{8}{2} = 4. \]
Isso significa que a reta secante que passa pelos pontos:
\[ (1,1) \]
e:
\[ (3,9) \]
tem inclinação:
\[ 4. \]
Embora a função \(f(x)=x^2\) não seja uma reta, podemos medir sua inclinação média entre dois pontos.
Essa inclinação média depende do intervalo escolhido.
Taxa média em intervalos diferentes
Ainda com:
\[ f(x)=x^2, \]
vamos calcular a taxa média de variação em alguns intervalos diferentes.
No intervalo \([0,2]\):
\[ f(0)=0 \]
e:
\[ f(2)=4. \]
Logo:
\[ \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{4-0}{2} = 2. \]
No intervalo \([1,3]\):
\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4. \]
No intervalo \([2,4]\):
\[ f(2)=4 \]
e:
\[ f(4)=16. \]
Então:
\[ \frac{f(4)-f(2)}{4-2} = \frac{16-4}{2} = 6. \]
Observe que as taxas médias foram:
\[ 2,\quad 4,\quad 6. \]
Isso mostra que, para a função \(x^2\), a taxa média de variação aumenta conforme o intervalo se desloca para a direita.
Esse comportamento está ligado ao fato de que o gráfico de \(x^2\) fica cada vez mais inclinado à medida que \(x\) aumenta.
Função crescente e taxa média positiva
Se a taxa média de variação em um intervalo é positiva, isso significa que a função aumentou nesse intervalo.
Por exemplo, se:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0 \]
com \(b>a\), então:
\[ f(b)>f(a). \]
Ou seja, a saída final é maior que a saída inicial.
Considere:
\[ f(x)=3x+2. \]
No intervalo \([1,5]\):
\[ f(1)=5 \]
e:
\[ f(5)=17. \]
A taxa média é:
\[ \frac{17-5}{5-1} = \frac{12}{4} = 3. \]
Como a taxa média é positiva, a função cresceu no intervalo.
Função decrescente e taxa média negativa
Se a taxa média de variação em um intervalo é negativa, isso significa que a função diminuiu nesse intervalo.
Considere:
\[ f(x)=-2x+7. \]
No intervalo \([1,4]\):
\[ f(1)=-2\cdot 1+7=5. \]
E:
\[ f(4)=-2\cdot 4+7=-8+7=-1. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{-1-5}{3} = \frac{-6}{3} = -2. \]
Como a taxa média é negativa, a função diminuiu no intervalo.
Nesse caso, a cada aumento de \(1\) unidade em \(x\), a função diminui, em média, \(2\) unidades.
Taxa média igual a zero
Se a taxa média de variação é zero, então a função tem o mesmo valor nos extremos do intervalo.
Isto é:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \]
implica:
\[ f(b)-f(a)=0, \]
logo:
\[ f(b)=f(a). \]
Por exemplo, considere:
\[ f(x)=x^2. \]
No intervalo \([-2,2]\):
\[ f(-2)=4 \]
e:
\[ f(2)=4. \]
Logo:
\[ \frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \frac{4-4}{4} = 0. \]
A taxa média de variação é zero.
Isso não significa que a função ficou constante em todo o intervalo.
De fato, \(x^2\) diminui de \(4\) até \(0\) e depois aumenta de \(0\) até \(4\).
A taxa média zero significa apenas que os valores inicial e final foram iguais.
Velocidade média
Um dos exemplos mais importantes de taxa média de variação é a velocidade média.
Se \(s(t)\) representa a posição de um objeto no instante \(t\), então a velocidade média no intervalo de tempo \([t_1,t_2]\) é:
\[ \frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}. \]
Essa expressão mede a variação da posição dividida pela variação do tempo.
Por exemplo, suponha que um carro esteja na posição:
\[ s(1)=20 \]
quilômetros no instante \(t=1\) hora, e na posição:
\[ s(3)=140 \]
quilômetros no instante \(t=3\) horas.
A velocidade média entre \(1\) e \(3\) horas é:
\[ \frac{s(3)-s(1)}{3-1} = \frac{140-20}{2} = \frac{120}{2} = 60. \]
Portanto, a velocidade média foi:
\[ 60\ \text{km/h}. \]
Observe que essa velocidade média não diz que o carro manteve exatamente \(60\) km/h durante todo o intervalo. Ela apenas mede a razão média entre deslocamento e tempo.
Unidades da taxa média
As unidades da taxa média de variação dependem das unidades das grandezas envolvidas.
Se \(y=f(x)\) representa distância em quilômetros e \(x\) representa tempo em horas, então:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
tem unidade:
\[ \frac{\text{quilômetros}}{\text{hora}}. \]
Ou seja, km/h.
Se \(f(t)\) representa temperatura em graus Celsius e \(t\) representa tempo em minutos, então a taxa média tem unidade:
\[ \frac{^\circ\text{C}}{\text{minuto}}. \]
Se \(C(q)\) representa custo em reais e \(q\) representa quantidade produzida, então a taxa média tem unidade:
\[ \frac{\text{reais}}{\text{unidade}}. \]
Sempre que calcular uma taxa média em um contexto aplicado, é importante interpretar a unidade.
A taxa média não é apenas um número: ela expressa uma razão entre grandezas.
Taxa média de crescimento populacional
Suponha que uma população seja modelada por uma função \(P(t)\), em que \(t\) representa o tempo em anos e \(P(t)\) representa o número de habitantes.
Se:
\[ P(0)=10000 \]
e:
\[ P(5)=13000, \]
então a taxa média de crescimento populacional no intervalo \([0,5]\) é:
\[ \frac{P(5)-P(0)}{5-0} = \frac{13000-10000}{5} = \frac{3000}{5} = 600. \]
Portanto, a população cresceu, em média:
\[ 600 \]
habitantes por ano.
Isso não significa que a população tenha aumentado exatamente \(600\) habitantes em cada ano. Significa apenas que, no balanço médio do período, o crescimento foi equivalente a \(600\) habitantes por ano.
Taxa média de variação de temperatura
Suponha que a temperatura de uma cidade seja dada por uma função \(T(t)\), em que \(t\) é o tempo em horas.
Se:
\[ T(6)=18 \]
e:
\[ T(12)=30, \]
então a taxa média de variação da temperatura entre \(6\) e \(12\) horas é:
\[ \frac{T(12)-T(6)}{12-6} = \frac{30-18}{6} = 2. \]
A taxa média foi:
\[ 2^\circ\text{C/h}. \]
Isso significa que, nesse intervalo, a temperatura aumentou, em média, \(2^\circ\)C por hora.
Taxa média de custo
Suponha que o custo de produção de \(q\) unidades seja dado por uma função \(C(q)\).
A taxa média de variação do custo entre \(q=a\) e \(q=b\) é:
\[ \frac{C(b)-C(a)}{b-a}. \]
Essa taxa representa o aumento médio do custo por unidade adicional produzida nesse intervalo.
Por exemplo, se:
\[ C(100)=5000 \]
e:
\[ C(150)=6500, \]
então a taxa média de variação do custo entre \(100\) e \(150\) unidades é:
\[ \frac{6500-5000}{150-100} = \frac{1500}{50} = 30. \]
Portanto, nesse intervalo, o custo aumentou em média:
\[ 30 \]
reais por unidade adicional.
Essa ideia será importante mais adiante, quando estudarmos custo marginal, que é uma taxa instantânea de variação.
Taxa média e inclinação da reta secante
Vamos voltar à interpretação geométrica.
Dados dois pontos do gráfico:
\[ (a,f(a)) \]
e:
\[ (b,f(b)), \]
a inclinação da reta que passa por eles é:
\[ m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
Essa é exatamente a taxa média de variação.
Por isso, a reta secante representa a variação média da função no intervalo.
Se a secante sobe da esquerda para a direita, sua inclinação é positiva.
Se desce da esquerda para a direita, sua inclinação é negativa.
Se é horizontal, sua inclinação é zero.
Assim, a taxa média de variação conecta álgebra, geometria e interpretação aplicada.
Forma com incremento \(h\)
Além de usar os pontos \(a\) e \(b\), é muito comum escrever a taxa média usando um incremento \(h\).
Tomamos:
\[ b=a+h. \]
Então o intervalo vai de:
\[ a \]
até:
\[ a+h. \]
A taxa média de variação é:
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}. \]
Como:
\[ (a+h)-a=h, \]
temos:
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]
Essa expressão é chamada quociente de diferenças ou razão incremental.
Ela será essencial para definir a derivada.
A taxa média entre \(a\) e \(a+h\) é:
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]
Quando fizermos \(h\) tender a zero, obteremos a taxa instantânea de variação.
Exemplo com incremento \(h\)
Considere:
\[ f(x)=x^2. \]
Vamos calcular a taxa média de variação entre \(x=a\) e \(x=a+h\).
Temos:
\[ f(a)=a^2. \]
E:
\[ f(a+h)=(a+h)^2. \]
Logo:
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2-a^2}{h}. \]
Expandindo:
\[ (a+h)^2=a^2+2ah+h^2. \]
Então:
\[ \frac{(a+h)^2-a^2}{h} = \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}. \]
Simplificando:
\[ \frac{2ah+h^2}{h}. \]
Fatorando \(h\):
\[ \frac{h(2a+h)}{h}. \]
Para \(h\neq 0\), podemos cancelar \(h\):
\[ 2a+h. \]
Portanto, a taxa média de variação de \(f(x)=x^2\) entre \(a\) e \(a+h\) é:
\[ 2a+h. \]
Esse resultado será usado na próxima aula para obter a taxa instantânea.
Quando \(h\) fica muito pequeno, essa taxa média se aproxima de:
\[ 2a. \]
Esse será justamente o valor da derivada de \(x^2\) no ponto \(a\).
Exemplo numérico com incremento
Considere novamente:
\[ f(x)=x^2. \]
Vamos calcular a taxa média entre \(a=2\) e \(a+h=2+h\).
Pela fórmula anterior, a taxa média é:
\[ 2a+h. \]
Como:
\[ a=2, \]
temos:
\[ 2a+h=4+h. \]
Se \(h=1\), o intervalo é \([2,3]\), e a taxa média é:
\[ 4+1=5. \]
De fato:
\[ \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{9-4}{1} = 5. \]
Se \(h=0,1\), o intervalo é \([2,2,1]\), e a taxa média é:
\[ 4+0,1=4,1. \]
Se \(h=0,01\), a taxa média é:
\[ 4+0,01=4,01. \]
À medida que \(h\) se aproxima de \(0\), a taxa média se aproxima de \(4\).
Essa aproximação antecipa a ideia de derivada.
Taxa média e não linearidade
Para funções lineares, a taxa média é constante.
Por exemplo:
\[ f(x)=3x-2. \]
Em qualquer intervalo \([a,b]\):
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=3. \]
Isso acontece porque o gráfico é uma reta de inclinação \(3\).
Já para funções não lineares, a taxa média depende do intervalo.
Por exemplo:
\[ f(x)=x^2. \]
No intervalo \([0,1]\):
\[ \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{1-0}{1} = 1. \]
No intervalo \([2,3]\):
\[ \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{9-4}{1} = 5. \]
No intervalo \([5,6]\):
\[ \frac{f(6)-f(5)}{6-5} = \frac{36-25}{1} = 11. \]
A taxa média aumenta porque a parábola fica mais inclinada para valores maiores de \(x\).
Taxa média negativa em função não linear
Considere:
\[ f(x)=-x^2. \]
No intervalo \([1,3]\):
\[ f(1)=-1 \]
e:
\[ f(3)=-9. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{-9-(-1)}{2} = \frac{-8}{2} = -4. \]
A taxa média negativa indica que a função diminuiu no intervalo.
Geometricamente, a reta secante entre os pontos:
\[ (1,-1) \]
e:
\[ (3,-9) \]
tem inclinação negativa.
Taxa média em intervalos simétricos
Considere:
\[ f(x)=x^2. \]
No intervalo \([-1,1]\):
\[ f(-1)=1 \]
e:
\[ f(1)=1. \]
A taxa média é:
\[ \frac{1-1}{1-(-1)} = \frac{0}{2} = 0. \]
A reta secante entre os pontos:
\[ (-1,1) \]
e:
\[ (1,1) \]
é horizontal.
No entanto, a função não ficou constante no intervalo. Ela diminuiu de \(1\) até \(0\) e depois aumentou de \(0\) até \(1\).
Esse exemplo mostra que a taxa média resume a variação total entre os extremos, mas não descreve todos os detalhes do comportamento interno.
Taxa média e crescimento relativo ao intervalo
A taxa média de variação depende tanto da variação da função quanto do tamanho do intervalo.
Por exemplo, se uma função aumenta \(100\) unidades em \(10\) unidades de \(x\), a taxa média é:
\[ \frac{100}{10}=10. \]
Se ela aumenta as mesmas \(100\) unidades em apenas \(2\) unidades de \(x\), a taxa média é:
\[ \frac{100}{2}=50. \]
Portanto, não basta saber quanto a função mudou. Também precisamos saber em quanto a variável independente mudou.
Taxa é sempre uma comparação entre duas variações.
Exemplo completo 1
Calcule a taxa média de variação de:
\[ f(x)=x^2+1 \]
no intervalo \([1,4]\).
Primeiro:
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Depois:
\[ f(4)=4^2+1=17. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{17-2}{3} = \frac{15}{3} = 5. \]
Portanto, a taxa média de variação é:
\[ 5. \]
Exemplo completo 2
Calcule a taxa média de variação de:
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
no intervalo \([1,9]\).
Calculamos:
\[ f(1)=\sqrt{1}=1. \]
E:
\[ f(9)=\sqrt{9}=3. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(9)-f(1)}{9-1} = \frac{3-1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \]
Portanto, a taxa média de variação é:
\[ \frac{1}{4}. \]
Exemplo completo 3
Calcule a taxa média de variação de:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
no intervalo \([1,4]\).
Calculamos:
\[ f(1)=1. \]
E:
\[ f(4)=\frac{1}{4}. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{\frac{1}{4}-1}{3}. \]
Como:
\[ \frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}, \]
temos:
\[ \frac{-\frac{3}{4}}{3} = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{4}. \]
Portanto, a taxa média de variação é:
\[ -\frac{1}{4}. \]
O sinal negativo indica que a função diminuiu no intervalo.
Exemplo completo 4
A posição de um objeto é dada por:
\[ s(t)=t^2+2t, \]
em metros, com \(t\) em segundos.
Calcule a velocidade média no intervalo \([1,4]\).
Primeiro:
\[ s(1)=1^2+2\cdot 1=1+2=3. \]
Depois:
\[ s(4)=4^2+2\cdot 4=16+8=24. \]
A velocidade média é:
\[ \frac{s(4)-s(1)}{4-1} = \frac{24-3}{3} = \frac{21}{3} = 7. \]
Portanto, a velocidade média no intervalo foi:
\[ 7\ \text{m/s}. \]
Exemplo completo 5
Uma população passa de \(5000\) habitantes para \(6200\) habitantes em \(4\) anos.
Calcule a taxa média de crescimento.
A variação da população foi:
\[ 6200-5000=1200. \]
A variação do tempo foi:
\[ 4. \]
Logo, a taxa média de crescimento foi:
\[ \frac{1200}{4}=300. \]
Portanto, a população cresceu, em média:
\[ 300 \]
habitantes por ano.
Exemplo completo 6
O custo de produção é dado por:
\[ C(q)=q^2+10q+100. \]
Calcule a taxa média de variação do custo entre \(q=10\) e \(q=20\).
Primeiro:
\[ C(10)=10^2+10\cdot 10+100=100+100+100=300. \]
Depois:
\[ C(20)=20^2+10\cdot 20+100=400+200+100=700. \]
A taxa média é:
\[ \frac{C(20)-C(10)}{20-10} = \frac{700-300}{10} = \frac{400}{10} = 40. \]
Portanto, nesse intervalo, o custo aumentou em média:
\[ 40 \]
unidades monetárias por unidade produzida.
Exemplo completo 7
Calcule a taxa média de variação de:
\[ f(x)=x^3 \]
entre \(x=a\) e \(x=a+h\).
Temos:
\[ f(a)=a^3. \]
E:
\[ f(a+h)=(a+h)^3. \]
A taxa média é:
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{(a+h)^3-a^3}{h}. \]
Expandindo:
\[ (a+h)^3=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3. \]
Então:
\[ \frac{(a+h)^3-a^3}{h} = \frac{a^3+3a^2h+3ah^2+h^3-a^3}{h}. \]
Simplificando:
\[ \frac{3a^2h+3ah^2+h^3}{h}. \]
Fatorando \(h\):
\[ \frac{h(3a^2+3ah+h^2)}{h}. \]
Para \(h\neq 0\), cancelamos \(h\):
\[ 3a^2+3ah+h^2. \]
Portanto, a taxa média de variação de \(f(x)=x^3\) entre \(a\) e \(a+h\) é:
\[ 3a^2+3ah+h^2. \]
Quando \(h\) se aproximar de zero, essa expressão se aproximará de:
\[ 3a^2. \]
Esse será o valor da derivada de \(x^3\) em \(a\).
Roteiro para calcular taxa média de variação
Para calcular a taxa média de variação de uma função \(f\) no intervalo \([a,b]\), siga este roteiro:
- calcule \(f(a)\);
- calcule \(f(b)\);
- calcule a variação da saída:
\[ f(b)-f(a); \]
- calcule a variação da entrada:
\[ b-a; \]
- divida:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
Se o problema tiver contexto, interprete o resultado com unidade.
Erros comuns
Um erro comum é inverter a ordem da razão.
A taxa média de variação é:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \]
não:
\[ \frac{b-a}{f(b)-f(a)}. \]
Outro erro comum é calcular apenas:
\[ f(b)-f(a) \]
e esquecer de dividir por:
\[ b-a. \]
Isso fornece apenas a variação total da função, não a taxa média.
Também é comum esquecer as unidades em problemas aplicados.
Se a posição está em metros e o tempo em segundos, a taxa média está em metros por segundo.
Outro erro é achar que taxa média igual a zero significa que a função foi constante no intervalo. Isso não é verdade. Significa apenas que os valores inicial e final foram iguais.
Por que a taxa média é importante?
A taxa média de variação é o primeiro passo para entender a derivada.
Ela mede a variação média de uma função em um intervalo.
A derivada, por sua vez, medirá a variação instantânea em um ponto.
Geometricamente:
- taxa média de variação corresponde à inclinação de uma reta secante;
- derivada corresponde à inclinação de uma reta tangente.
A passagem da secante para a tangente será feita por um limite.
Por isso, a taxa média de variação é a ponte entre álgebra, geometria, aplicações e o conceito de derivada.
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos a taxa média de variação.
Vimos que, para uma função \(f\), a taxa média de variação no intervalo \([a,b]\) é:
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
Essa razão compara a variação da saída com a variação da entrada.
Interpretamos essa taxa como a inclinação da reta secante que liga os pontos:
\[ (a,f(a)) \]
e:
\[ (b,f(b)). \]
Estudamos exemplos com funções lineares, quadráticas, radicais, racionais e funções em contextos aplicados.
Vimos que, em problemas de movimento, a taxa média de variação corresponde à velocidade média; em problemas de população, corresponde ao crescimento médio; em problemas de custo, representa o aumento médio do custo por unidade adicional.
Também introduzimos a forma com incremento \(h\):
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \]
que será essencial para definir a taxa instantânea de variação e a derivada.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos a taxa instantânea de variação. Vamos investigar o que acontece com a taxa média quando o intervalo fica cada vez menor, preparando a definição formal de derivada.