Definição de continuidade
Definição de continuidade
Pergunta disparadora
O que significa, matematicamente, dizer que o gráfico de uma função não tem buracos, saltos ou quebras em um ponto?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- compreender a definição formal de continuidade em um ponto usando limites;
- verificar se uma função é contínua em um ponto a partir das três condições fundamentais;
- distinguir funções contínuas de funções com buracos, saltos ou assíntotas verticais.
Desenvolvimento
Na unidade anterior, estudamos limites. Vimos que o limite de uma função descreve o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de um ponto \(a\), independentemente do valor da função exatamente nesse ponto.
Agora vamos usar essa ideia para definir um dos conceitos mais importantes do Cálculo: a continuidade.
Intuitivamente, uma função é contínua quando seu gráfico pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel, pelo menos em certo intervalo. Essa imagem mental é útil, mas não é suficientemente precisa.
Matematicamente, a continuidade em um ponto depende da relação entre três elementos:
- o valor da função no ponto;
- o limite da função quando \(x\) se aproxima do ponto;
- a igualdade entre esse limite e o valor da função.
A ideia principal é:
uma função é contínua em um ponto quando o comportamento da função perto do ponto combina com o valor da função no ponto.
Continuidade em um ponto
Seja \(f\) uma função real e seja \(a\) um ponto do domínio de \(f\).
Dizemos que \(f\) é contínua em \(x=a\) quando:
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
Essa é a definição central.
Ela diz que, quando \(x\) se aproxima de \(a\), os valores de \(f(x)\) se aproximam exatamente de \(f(a)\).
Em outras palavras, o valor da função no ponto coincide com o valor para o qual a função tende ao redor desse ponto.
Essa igualdade envolve três condições.
As três condições de continuidade
Para que uma função \(f\) seja contínua em \(x=a\), é necessário que:
- \(f(a)\) exista;
- \(\lim_{x\to a}f(x)\) exista;
- \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Se qualquer uma dessas três condições falhar, a função não é contínua em \(x=a\).
Vamos analisar cada uma delas.
Primeira condição: \(f(a)\) existe
A primeira condição exige que o ponto \(a\) pertença ao domínio da função.
Se \(f(a)\) não existe, então a função não pode ser contínua em \(a\).
Por exemplo, considere:
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Essa função não está definida em:
\[ x=2. \]
De fato:
\[ f(2)=\frac{1}{2-2}=\frac{1}{0}, \]
e divisão por zero não está definida.
Portanto, \(f(2)\) não existe.
Assim, a função não é contínua em \(x=2\).
Nesse caso, além de não estar definida no ponto, a função possui uma assíntota vertical em:
\[ x=2. \]
Segunda condição: o limite existe
A segunda condição exige que exista o limite bilateral:
\[ \lim_{x\to a}f(x). \]
Para que esse limite exista, os limites laterais precisam existir e ser iguais:
\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x). \]
Se os limites laterais forem diferentes, o limite bilateral não existe, e a função não é contínua em \(a\).
Por exemplo, considere:
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & \text{se } x<0,\\ 2, & \text{se } x\geq 0. \end{cases} \]
Vamos analisar a continuidade em \(x=0\).
Pela esquerda, temos:
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Pela direita, temos:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Como:
\[ 1\neq 2, \]
o limite bilateral não existe:
\[ \lim_{x\to 0}f(x) \]
não existe.
Portanto, \(f\) não é contínua em \(x=0\).
Graficamente, a função apresenta um salto em \(x=0\).
Terceira condição: o limite é igual ao valor da função
A terceira condição exige que o limite exista e seja igual ao valor da função no ponto.
Pode acontecer de \(f(a)\) existir e o limite também existir, mas os dois valores serem diferentes.
Nesse caso, a função não é contínua em \(a\).
Considere:
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & \text{se } x\neq 1,\\ 10, & \text{se } x=1. \end{cases} \]
Vamos analisar a continuidade em \(x=1\).
Primeiro, o valor da função no ponto existe:
\[ f(1)=10. \]
Agora, para \(x\) próximo de \(1\), mas diferente de \(1\), usamos:
\[ f(x)=x+2. \]
Logo:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+2)=3. \]
Temos então:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3 \]
mas:
\[ f(1)=10. \]
Como:
\[ 3\neq 10, \]
a função não é contínua em \(x=1\).
Nesse caso, há uma descontinuidade removível: o comportamento da função ao redor de \(1\) aponta para \(3\), mas o valor definido no ponto é \(10\).
Exemplo de função contínua em um ponto
Considere:
\[ f(x)=x^2+3x. \]
Vamos verificar se \(f\) é contínua em \(x=2\).
Primeiro, calculamos o valor da função:
\[ f(2)=2^2+3\cdot 2=4+6=10. \]
Agora calculamos o limite:
\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x). \]
Como \(f\) é polinomial, podemos calcular por substituição direta:
\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x)=2^2+3\cdot 2=10. \]
Assim:
\[ \lim_{x\to 2}f(x)=10=f(2). \]
Portanto, \(f\) é contínua em \(x=2\).
Na verdade, como polinômios são contínuos em todos os números reais, essa função é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Continuidade e substituição direta
Quando uma função é contínua em \(x=a\), podemos calcular o limite por substituição direta:
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
Essa propriedade é muito útil.
Por exemplo, se sabemos que a função:
\[ f(x)=\sqrt{x+5} \]
é contínua em \(x=4\), então:
\[ \lim_{x\to 4}\sqrt{x+5}=f(4). \]
Calculando:
\[ f(4)=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3. \]
Logo:
\[ \lim_{x\to 4}\sqrt{x+5}=3. \]
A continuidade justifica a substituição direta.
Porém, é importante ter cuidado: a substituição direta só é segura quando a função está definida e é contínua no ponto considerado.
Funções polinomiais
Toda função polinomial é contínua em todos os números reais.
Se:
\[ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \]
então \(p\) é contínua em todo ponto \(a\in\mathbb{R}\).
Isso significa que:
\[ \lim_{x\to a}p(x)=p(a) \]
para todo \(a\in\mathbb{R}\).
Por exemplo:
\[ p(x)=4x^3-2x+7 \]
é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Assim:
\[ \lim_{x\to -1}(4x^3-2x+7) = 4(-1)^3-2(-1)+7. \]
Calculando:
\[ 4(-1)+2+7=-4+2+7=5. \]
Portanto:
\[ \lim_{x\to -1}(4x^3-2x+7)=5. \]
Funções racionais
Uma função racional tem a forma:
\[ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}, \]
em que \(p\) e \(q\) são polinômios.
Funções racionais são contínuas em todos os pontos de seu domínio, isto é, em todos os pontos onde o denominador não se anula.
Se:
\[ q(a)\neq 0, \]
então:
\[ \lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}. \]
Por exemplo:
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-3}. \]
Essa função é contínua em todos os pontos reais exceto:
\[ x=3, \]
pois o denominador se anula nesse ponto.
Logo, \(f\) é contínua em:
\[ (-\infty,3)\cup(3,+\infty). \]
Por exemplo, em \(x=1\):
\[ f(1)=\frac{1^2+1}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1. \]
Assim:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x-3}=-1. \]
Funções com raízes
Funções envolvendo raízes pares são contínuas em seus domínios naturais.
Por exemplo:
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
é contínua em:
\[ [0,+\infty). \]
A função:
\[ g(x)=\sqrt{x-2} \]
é contínua em seu domínio:
\[ [2,+\infty). \]
Em um ponto interior do domínio, podemos usar substituição direta.
Por exemplo:
\[ \lim_{x\to 6}\sqrt{x-2}=\sqrt{6-2}=\sqrt{4}=2. \]
Em uma extremidade do domínio, usamos continuidade lateral.
Por exemplo, em \(x=2\), a função \(g(x)=\sqrt{x-2}\) está definida e:
\[ g(2)=0. \]
Além disso:
\[ \lim_{x\to 2^+}\sqrt{x-2}=0. \]
Como a função só está definida para \(x\geq 2\), dizemos que ela é contínua à direita em \(x=2\).
Continuidade lateral
Quando um ponto é extremidade do domínio, usamos a ideia de continuidade lateral.
Uma função \(f\) é contínua à direita em \(x=a\) quando:
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \]
Uma função \(f\) é contínua à esquerda em \(x=a\) quando:
\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=f(a). \]
Por exemplo, a função:
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
tem domínio:
\[ [0,+\infty). \]
No ponto \(x=0\), não há valores do domínio à esquerda de \(0\).
Por isso, verificamos a continuidade à direita:
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
Como:
\[ f(0)=0, \]
temos:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0). \]
Logo, \(f\) é contínua à direita em \(x=0\).
Quando dizemos que \(\sqrt{x}\) é contínua em seu domínio, entendemos continuidade lateral nas extremidades do domínio.
Funções exponenciais e logarítmicas
A função exponencial natural:
\[ f(x)=e^x \]
é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Assim:
\[ \lim_{x\to a}e^x=e^a \]
para todo \(a\in\mathbb{R}\).
Por exemplo:
\[ \lim_{x\to 2}e^x=e^2. \]
Mais geralmente, se \(g\) é contínua em \(a\), então:
\[ e^{g(x)} \]
é contínua em \(a\).
Por exemplo:
\[ f(x)=e^{x^2+1} \]
é contínua em todo \(\mathbb{R}\), pois \(x^2+1\) é polinomial e \(e^u\) é contínua.
Assim:
\[ \lim_{x\to 1}e^{x^2+1}=e^{1^2+1}=e^2. \]
A função logarítmica natural:
\[ f(x)=\ln x \]
é contínua em seu domínio:
\[ (0,+\infty). \]
Portanto:
\[ \lim_{x\to a}\ln x=\ln a \]
para todo \(a>0\).
Por exemplo:
\[ \lim_{x\to 3}\ln x=\ln 3. \]
A função:
\[ g(x)=\ln(x-2) \]
é contínua em seu domínio:
\[ (2,+\infty). \]
Assim, em \(x=5\):
\[ \lim_{x\to 5}\ln(x-2)=\ln(5-2)=\ln 3. \]
Funções trigonométricas
As funções seno e cosseno são contínuas em todo \(\mathbb{R}\).
Assim:
\[ \lim_{x\to a}\sin x=\sin a \]
e:
\[ \lim_{x\to a}\cos x=\cos a. \]
Por exemplo:
\[ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x = \sin\frac{\pi}{2} = 1. \]
Também:
\[ \lim_{x\to \pi}\cos x = \cos\pi = -1. \]
A função tangente é contínua em todos os pontos em que está definida.
Como:
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \]
a tangente não está definida quando:
\[ \cos x=0. \]
Isso ocorre em:
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \]
Logo, \(\tan x\) é contínua em cada intervalo de seu domínio:
\[ \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \]
Continuidade de composições
A composição de funções contínuas também é contínua.
Se \(g\) é contínua em \(a\) e \(f\) é contínua em \(g(a)\), então a função composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
é contínua em \(a\).
Além disso:
\[ \lim_{x\to a}f(g(x))=f(g(a)). \]
Por exemplo, considere:
\[ h(x)=\sqrt{x^2+3}. \]
Podemos ver essa função como composição de:
\[ g(x)=x^2+3 \]
e:
\[ f(u)=\sqrt{u}. \]
A função \(g\) é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Além disso, para todo \(x\) real:
\[ x^2+3>0. \]
A raiz quadrada é contínua em valores positivos.
Logo, \(h\) é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Assim:
\[ \lim_{x\to 1}\sqrt{x^2+3} = \sqrt{1^2+3} = 2. \]
Outro exemplo:
\[ p(x)=\ln(x^2+1). \]
Como:
\[ x^2+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), a função está definida para todos os reais.
A função interna \(x^2+1\) é contínua, e \(\ln u\) é contínua para \(u>0\).
Logo, \(p\) é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Continuidade em funções definidas por partes
Funções definidas por partes precisam de cuidado especial nos pontos onde a regra muda.
Em cada intervalo, a função pode ser contínua por ser polinomial, racional, exponencial ou de outro tipo conhecido.
Mas nos pontos de transição, precisamos verificar as três condições de continuidade.
Considere:
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & \text{se } x<2,\\ x^2-1, & \text{se } x\geq 2. \end{cases} \]
Queremos saber se \(f\) é contínua em \(x=2\).
Primeiro, calculamos o valor da função:
Como \(x=2\) pertence à segunda regra,
\[ f(2)=2^2-1=3. \]
Agora calculamos o limite pela esquerda:
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x+1)=3. \]
Calculamos o limite pela direita:
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(x^2-1)=3. \]
Como os limites laterais são iguais, temos:
\[ \lim_{x\to 2}f(x)=3. \]
Além disso:
\[ f(2)=3. \]
Portanto:
\[ \lim_{x\to 2}f(x)=f(2). \]
Logo, \(f\) é contínua em \(x=2\).
Exemplo de descontinuidade de salto
Considere:
\[ g(x)= \begin{cases} x+1, & \text{se } x<2,\\ x^2+1, & \text{se } x\geq 2. \end{cases} \]
Vamos verificar a continuidade em \(x=2\).
O valor da função é:
\[ g(2)=2^2+1=5. \]
O limite pela esquerda é:
\[ \lim_{x\to 2^-}g(x)=2+1=3. \]
O limite pela direita é:
\[ \lim_{x\to 2^+}g(x)=2^2+1=5. \]
Como:
\[ 3\neq 5, \]
o limite bilateral não existe.
Portanto, \(g\) não é contínua em \(x=2\).
O gráfico apresenta um salto.
Exemplo de descontinuidade removível
Considere:
\[ h(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & \text{se } x\neq 1,\\ 5, & \text{se } x=1. \end{cases} \]
Queremos verificar a continuidade em \(x=1\).
Primeiro, o valor da função existe:
\[ h(1)=5. \]
Agora calculamos o limite.
Para \(x\neq 1\):
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Logo:
\[ \lim_{x\to 1}h(x) = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]
Temos:
\[ \lim_{x\to 1}h(x)=2 \]
mas:
\[ h(1)=5. \]
Como:
\[ 2\neq 5, \]
a função não é contínua em \(x=1\).
Essa descontinuidade é removível, pois bastaria redefinir:
\[ h(1)=2 \]
para tornar a função contínua em \(x=1\).
Exemplo de descontinuidade infinita
Considere:
\[ p(x)=\frac{1}{x-4}. \]
A função não está definida em:
\[ x=4. \]
Logo, a primeira condição de continuidade falha.
Além disso, os limites laterais são infinitos:
\[ \lim_{x\to 4^+}\frac{1}{x-4}=+\infty \]
e:
\[ \lim_{x\to 4^-}\frac{1}{x-4}=-\infty. \]
Portanto, \(p\) não é contínua em \(x=4\).
Nesse caso, a função possui uma descontinuidade infinita e uma assíntota vertical em:
\[ x=4. \]
Continuidade em intervalos
Dizemos que uma função é contínua em um intervalo aberto \((a,b)\) quando ela é contínua em todos os pontos desse intervalo.
Por exemplo:
\[ f(x)=x^2 \]
é contínua em qualquer intervalo real, como:
\[ (-1,3), \]
pois é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Dizemos que uma função é contínua em um intervalo fechado \([a,b]\) quando:
- é contínua em todos os pontos internos \((a,b)\);
- é contínua à direita em \(a\);
- é contínua à esquerda em \(b\).
Por exemplo, a função:
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
é contínua em:
\[ [0,+\infty). \]
Ela é contínua à direita em \(0\) e contínua nos pontos internos do domínio.
Continuidade no domínio
Muitas vezes dizemos simplesmente que uma função é contínua em seu domínio.
Isso significa que ela é contínua em todos os pontos onde está definida, considerando continuidade lateral em extremidades de domínio.
Por exemplo:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
é contínua em seu domínio:
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Isso não significa que ela seja contínua em \(x=0\), pois \(0\) nem pertence ao domínio.
Significa apenas que, em cada ponto do domínio, a função é contínua.
Outro exemplo:
\[ g(x)=\ln x \]
é contínua em seu domínio:
\[ (0,+\infty). \]
A função não é contínua em \(x=0\), pois nem está definida nesse ponto.
Continuidade e gráficos
Graficamente, uma função contínua em um ponto não apresenta interrupção naquele ponto.
Se \(f\) é contínua em \(x=a\), então o gráfico se aproxima do ponto:
\[ (a,f(a)) \]
tanto pela esquerda quanto pela direita.
Não há buraco, salto ou assíntota vertical naquele ponto.
Por outro lado, a função pode deixar de ser contínua por diferentes razões:
- não estar definida no ponto;
- ter limite inexistente;
- ter limite diferente do valor da função;
- crescer ou decrescer sem limite perto do ponto;
- ter limites laterais diferentes.
A continuidade transforma a ideia intuitiva de “gráfico sem quebra” em uma condição matemática precisa.
Continuidade e modelagem
Em muitos modelos, a continuidade representa ausência de mudanças instantâneas abruptas.
Por exemplo, a posição de um objeto em movimento geralmente é modelada por uma função contínua do tempo. Isso significa que o objeto não desaparece de um lugar e aparece instantaneamente em outro.
A temperatura de um corpo, em muitos modelos físicos simples, também varia continuamente com o tempo.
Por outro lado, há situações em que funções descontínuas fazem sentido.
Uma tarifa pode mudar subitamente quando o consumo ultrapassa certo limite.
Um imposto pode mudar de faixa.
Um sistema eletrônico pode alternar de desligado para ligado.
Um modelo definido por partes pode representar uma mudança brusca de regra.
Portanto, continuidade é tanto um conceito matemático quanto uma propriedade interpretável em aplicações.
Exemplo completo 1
Verifique se a função:
\[ f(x)=3x^2-2x+1 \]
é contínua em \(x=1\).
Como \(f\) é polinomial, ela é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Mesmo assim, vamos verificar pela definição.
Primeiro:
\[ f(1)=3\cdot 1^2-2\cdot 1+1=3-2+1=2. \]
Agora:
\[ \lim_{x\to 1}(3x^2-2x+1) = 3\cdot 1^2-2\cdot 1+1=2. \]
Logo:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=f(1). \]
Portanto, \(f\) é contínua em \(x=1\).
Exemplo completo 2
Verifique se:
\[ g(x)=\frac{x+2}{x-1} \]
é contínua em \(x=1\).
A função não está definida em \(x=1\), pois:
\[ x-1=0. \]
Logo:
\[ g(1) \]
não existe.
A primeira condição de continuidade falha.
Portanto, \(g\) não é contínua em \(x=1\).
Além disso, como o numerador em \(x=1\) vale:
\[ 1+2=3, \]
e o denominador tende a zero, há uma assíntota vertical em:
\[ x=1. \]
Exemplo completo 3
Verifique se:
\[ h(x)= \begin{cases} x^2+1, & \text{se } x<1,\\ 2, & \text{se } x=1,\\ 3x-1, & \text{se } x>1 \end{cases} \]
é contínua em \(x=1\).
Primeiro, calculamos:
\[ h(1)=2. \]
Agora, o limite pela esquerda:
\[ \lim_{x\to 1^-}h(x)=\lim_{x\to 1^-}(x^2+1)=1^2+1=2. \]
O limite pela direita:
\[ \lim_{x\to 1^+}h(x)=\lim_{x\to 1^+}(3x-1)=3\cdot 1-1=2. \]
Como os limites laterais são iguais:
\[ \lim_{x\to 1}h(x)=2. \]
E como:
\[ h(1)=2, \]
temos:
\[ \lim_{x\to 1}h(x)=h(1). \]
Portanto, \(h\) é contínua em \(x=1\).
Exemplo completo 4
Verifique se:
\[ p(x)= \begin{cases} x+3, & \text{se } x<2,\\ 10, & \text{se } x=2,\\ x^2-1, & \text{se } x>2 \end{cases} \]
é contínua em \(x=2\).
Primeiro:
\[ p(2)=10. \]
Pela esquerda:
\[ \lim_{x\to 2^-}p(x)=2+3=5. \]
Pela direita:
\[ \lim_{x\to 2^+}p(x)=2^2-1=3. \]
Como:
\[ 5\neq 3, \]
o limite bilateral não existe.
Portanto, \(p\) não é contínua em \(x=2\).
Nesse caso, há uma descontinuidade de salto, e o valor isolado \(p(2)=10\) não resolve a diferença entre os comportamentos laterais.
Exemplo completo 5
Determine o valor de \(k\) para que a função seja contínua em \(x=2\):
\[ f(x)= \begin{cases} kx+1, & \text{se } x<2,\\ x^2+1, & \text{se } x\geq 2. \end{cases} \]
Para continuidade em \(x=2\), precisamos que:
\[ \lim_{x\to 2}f(x)=f(2). \]
Pela direita, e também no ponto \(x=2\), usamos:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Então:
\[ f(2)=2^2+1=5. \]
O limite pela direita é:
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=5. \]
O limite pela esquerda é:
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(kx+1)=2k+1. \]
Para continuidade, precisamos que:
\[ 2k+1=5. \]
Logo:
\[ 2k=4. \]
Portanto:
\[ k=2. \]
Com \(k=2\), os limites laterais coincidem e são iguais ao valor da função no ponto.
Exemplo completo 6
Determine o valor de \(c\) para que a função:
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{se } x\neq 2,\\ c, & \text{se } x=2 \end{cases} \]
seja contínua em \(x=2\).
Para \(x\neq 2\), fatoramos:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Então:
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. \]
Logo:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4. \]
Para que a função seja contínua em \(x=2\), precisamos que:
\[ f(2)=4. \]
Mas, pela definição:
\[ f(2)=c. \]
Portanto:
\[ c=4. \]
Com esse valor, a descontinuidade removível é eliminada.
Roteiro para verificar continuidade em um ponto
Para verificar se uma função é contínua em \(x=a\), siga este roteiro:
- calcule \(f(a)\);
- calcule \(\lim_{x\to a}f(x)\);
- compare os dois valores.
Se:
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a), \]
então \(f\) é contínua em \(a\).
Se \(f(a)\) não existe, a função não é contínua em \(a\).
Se o limite não existe, a função não é contínua em \(a\).
Se o limite existe, mas é diferente de \(f(a)\), a função não é contínua em \(a\).
Em funções definidas por partes, calcule os limites laterais:
\[ \lim_{x\to a^-}f(x) \]
e:
\[ \lim_{x\to a^+}f(x). \]
Se eles forem diferentes, o limite bilateral não existe.
Erros comuns
Um erro comum é achar que uma função é contínua em \(a\) apenas porque \(f(a)\) existe.
Isso não basta.
Também é necessário que o limite exista e seja igual a \(f(a)\).
Outro erro comum é achar que uma função não é contínua apenas porque sua fórmula parece complicada.
Na verdade, muitas funções complicadas são contínuas em seus domínios por serem composições de funções contínuas.
Por exemplo:
\[ f(x)=\ln(x^2+1)+e^{\sin x} \]
é contínua em todo \(\mathbb{R}\).
Isso ocorre porque:
- \(x^2+1>0\) para todo \(x\);
- \(\ln(x^2+1)\) é composição de funções contínuas;
- \(\sin x\) é contínua;
- \(e^{\sin x}\) é contínua;
- soma de funções contínuas é contínua.
Outro erro comum é esquecer que funções racionais são contínuas apenas onde o denominador não se anula.
Por exemplo:
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
é contínua em seu domínio, mas não em \(x=3\).
A importância da continuidade
A continuidade será essencial para os próximos resultados do Cálculo.
Funções contínuas têm propriedades importantes.
Uma delas é a ideia de que, se uma função contínua passa de um valor negativo para um valor positivo em um intervalo, então ela precisa passar por zero em algum ponto intermediário.
Esse é o conteúdo do Teorema do Valor Intermediário, que estudaremos mais adiante.
A continuidade também será importante para derivadas.
Toda função derivável em um ponto é contínua nesse ponto.
No entanto, nem toda função contínua é derivável.
Por exemplo, a função:
\[ f(x)=|x| \]
é contínua em \(x=0\), mas não possui derivada nesse ponto, pois o gráfico tem uma ponta.
Portanto, continuidade é uma condição básica de regularidade, mas não é a condição mais forte possível.
Conexão com limites
A continuidade é uma aplicação direta do conceito de limite.
Na unidade anterior, estudamos limites separadamente do valor da função no ponto.
Agora, juntamos essas ideias.
A continuidade exige que:
\[ \lim_{x\to a}f(x) \]
exista e coincida com:
\[ f(a). \]
Isso significa que a função não tem interrupção no ponto.
Assim, podemos pensar na continuidade como uma harmonia entre:
- o comportamento à esquerda;
- o comportamento à direita;
- o valor definido no ponto.
Quando esses três aspectos concordam, a função é contínua.
Quando algum deles falha, temos uma descontinuidade.
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos a definição de continuidade.
Vimos que uma função \(f\) é contínua em \(x=a\) quando:
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
Essa definição envolve três condições: \(f(a)\) deve existir, o limite \(\lim_{x\to a}f(x)\) deve existir, e o limite deve ser igual ao valor da função no ponto.
Estudamos exemplos de funções contínuas, como polinômios, funções racionais em seus domínios, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas.
Também analisamos funções definidas por partes e vimos como verificar continuidade em pontos de mudança de regra usando limites laterais.
Distinguimos três tipos importantes de falha de continuidade: buracos ou descontinuidades removíveis, saltos e descontinuidades infinitas associadas a assíntotas verticais.
Por fim, vimos que continuidade é uma ponte entre limites e os próximos temas do Cálculo, especialmente o Teorema do Valor Intermediário e o estudo das derivadas.
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos continuidade em intervalos e em domínios. Vamos aprender a identificar onde uma função é contínua, como tratar extremidades de domínio e como descrever conjuntos de continuidade usando intervalos.