Áreas entre curvas
Áreas entre curvas
Pergunta disparadora
Como calcular a área de uma região limitada por dois gráficos quando nenhum deles é necessariamente o eixo \(x\)?
Objetivos da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
- interpretar a área entre duas curvas como a integral da diferença entre a função superior e a função inferior;
- encontrar pontos de interseção entre curvas para determinar os limites de integração;
- calcular áreas entre curvas em intervalos dados ou em regiões delimitadas pelos próprios gráficos.
Desenvolvimento
Na unidade anterior, estudamos a integral definida e vimos que ela pode ser usada para calcular áreas.
Quando uma função contínua \(f\) é não negativa em um intervalo \([a,b]\), a área sob o gráfico de \(f\) e acima do eixo \(x\) é:
\[ A=\int_a^b f(x)\,dx. \]
Também vimos que, quando a função fica abaixo do eixo \(x\), a integral definida representa área orientada, e não área geométrica.
Agora vamos ampliar essa ideia.
Em vez de calcular apenas a área entre uma curva e o eixo \(x\), vamos calcular a área entre duas curvas.
Por exemplo, podemos querer a área da região limitada pelos gráficos:
\[ y=f(x) \]
e:
\[ y=g(x). \]
A ideia central será simples:
a área entre duas curvas é obtida integrando a diferença entre a função de cima e a função de baixo.
A ideia geométrica
Considere duas funções contínuas em um intervalo \([a,b]\).
Suponha que, nesse intervalo, o gráfico de \(f\) esteja sempre acima do gráfico de \(g\).
Isto é:
\[ f(x)\geq g(x) \]
para todo:
\[ x\in[a,b]. \]
Em cada ponto \(x\), a distância vertical entre as curvas é:
\[ f(x)-g(x). \]
Se tomarmos uma faixa vertical muito estreita, de largura \(dx\), sua área aproximada será:
\[ [f(x)-g(x)]\,dx. \]
Somando todas essas faixas de \(a\) até \(b\), obtemos:
\[ A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx. \]
Portanto, quando \(f\) está acima de \(g\) em todo o intervalo:
\[ A=\int_a^b [\text{função superior}-\text{função inferior}]\,dx. \]
Fórmula principal
Se:
\[ f(x)\geq g(x) \]
em \([a,b]\), então a área entre os gráficos de \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) nesse intervalo é:
\[ A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx. \]
Essa fórmula é uma generalização da área sob o gráfico.
De fato, se a função inferior for o eixo \(x\), isto é, se:
\[ g(x)=0, \]
então:
\[ A=\int_a^b [f(x)-0]\,dx=\int_a^b f(x)\,dx. \]
Assim, área sob o gráfico é um caso particular de área entre duas curvas.
Exemplo 1: duas retas simples
Calcule a área entre as curvas:
\[ y=2x \]
e:
\[ y=x \]
no intervalo:
\[ [0,3]. \]
Primeiro identificamos qual função está acima.
Em \([0,3]\), temos:
\[ 2x\geq x. \]
Logo, a função superior é:
\[ f(x)=2x, \]
e a função inferior é:
\[ g(x)=x. \]
A área é:
\[ A=\int_0^3 (2x-x)\,dx. \]
Simplificando:
\[ A=\int_0^3 x\,dx. \]
Uma antiderivada de \(x\) é:
\[ \frac{x^2}{2}. \]
Então:
\[ A=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3. \]
Calculando:
\[ A=\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{9}{2}. \]
Portanto, a área entre as duas retas é:
\[ \frac{9}{2}. \]
Exemplo 2: curva e reta horizontal
Calcule a área entre:
\[ y=x^2+1 \]
e:
\[ y=1 \]
no intervalo:
\[ [0,2]. \]
A função superior é:
\[ f(x)=x^2+1. \]
A função inferior é:
\[ g(x)=1. \]
A área é:
\[ A=\int_0^2 [(x^2+1)-1]\,dx. \]
Simplificando:
\[ A=\int_0^2 x^2\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ \frac{x^3}{3}. \]
Logo:
\[ A=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2. \]
Calculando:
\[ A=\frac{2^3}{3}-0=\frac{8}{3}. \]
Portanto, a área entre as curvas é:
\[ \frac{8}{3}. \]
Exemplo 3: reta acima de parábola em intervalo dado
Calcule a área entre:
\[ y=x+2 \]
e:
\[ y=x^2+2 \]
no intervalo:
\[ [0,1]. \]
Vamos comparar as funções.
Temos:
\[ x+2 \]
e:
\[ x^2+2. \]
No intervalo \([0,1]\), vale:
\[ x\geq x^2. \]
Portanto:
\[ x+2\geq x^2+2. \]
Logo, a função superior é:
\[ f(x)=x+2, \]
e a função inferior é:
\[ g(x)=x^2+2. \]
A área é:
\[ A=\int_0^1 [(x+2)-(x^2+2)]\,dx. \]
Simplificando:
\[ A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ F(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}. \]
Então:
\[ A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1. \]
Calculando em \(1\):
\[ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}. \]
Calculando em \(0\):
\[ 0. \]
Logo:
\[ A=\frac{1}{6}. \]
Quando o intervalo não é dado
Muitas vezes, o problema não fornece o intervalo.
Ele pede a área da região limitada por duas curvas.
Nesse caso, os limites de integração geralmente são os pontos de interseção dos gráficos.
Para encontrá-los, resolvemos:
\[ f(x)=g(x). \]
As soluções dessa equação fornecem os valores de \(x\) onde as curvas se cruzam.
Depois, usamos esses valores como limites de integração.
Roteiro inicial
Para calcular a área entre duas curvas quando o intervalo não é dado:
- resolva:
\[ f(x)=g(x); \]
- encontre os pontos de interseção;
- determine qual função está acima em cada intervalo;
- monte a integral:
\[ A=\int_a^b [\text{superior}-\text{inferior}]\,dx; \]
- calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Exemplo 4: área entre \(y=x\) e \(y=x^2\)
Calcule a área limitada pelas curvas:
\[ y=x \]
e:
\[ y=x^2. \]
Primeiro encontramos os pontos de interseção:
\[ x=x^2. \]
Então:
\[ x^2-x=0. \]
Fatorando:
\[ x(x-1)=0. \]
Logo:
\[ x=0 \]
ou:
\[ x=1. \]
As curvas se cruzam em \(x=0\) e \(x=1\).
Agora identificamos qual curva está acima no intervalo \([0,1]\).
Tomando, por exemplo:
\[ x=\frac{1}{2}, \]
temos:
\[ x=\frac{1}{2} \]
e:
\[ x^2=\frac{1}{4}. \]
Logo:
\[ x>x^2 \]
em \([0,1]\).
A função superior é:
\[ f(x)=x, \]
e a inferior é:
\[ g(x)=x^2. \]
A área é:
\[ A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx. \]
Calculando:
\[ A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1. \]
Em \(1\):
\[ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}. \]
Em \(0\):
\[ 0. \]
Portanto:
\[ A=\frac{1}{6}. \]
Exemplo 5: área entre \(y=2x\) e \(y=x^2\)
Calcule a área limitada pelas curvas:
\[ y=2x \]
e:
\[ y=x^2. \]
Primeiro encontramos as interseções:
\[ 2x=x^2. \]
Então:
\[ x^2-2x=0. \]
Fatorando:
\[ x(x-2)=0. \]
Logo:
\[ x=0 \]
ou:
\[ x=2. \]
As curvas se cruzam em \(x=0\) e \(x=2\).
Agora verificamos qual está acima em \([0,2]\).
Tomando:
\[ x=1, \]
temos:
\[ 2x=2 \]
e:
\[ x^2=1. \]
Logo:
\[ 2x>x^2. \]
A função superior é:
\[ f(x)=2x, \]
e a inferior é:
\[ g(x)=x^2. \]
A área é:
\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ F(x)=x^2-\frac{x^3}{3}. \]
Logo:
\[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2. \]
Calculando em \(2\):
\[ 2^2-\frac{2^3}{3}=4-\frac{8}{3}. \]
Como:
\[ 4=\frac{12}{3}, \]
temos:
\[ 4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}. \]
Em \(0\), o valor é \(0\).
Portanto:
\[ A=\frac{4}{3}. \]
Exemplo 6: reta e parábola
Calcule a área limitada por:
\[ y=x+2 \]
e:
\[ y=x^2. \]
Primeiro encontramos as interseções:
\[ x+2=x^2. \]
Reorganizando:
\[ x^2-x-2=0. \]
Fatorando:
\[ (x-2)(x+1)=0. \]
Logo:
\[ x=2 \]
ou:
\[ x=-1. \]
Os limites de integração são:
\[ -1 \]
e:
\[ 2. \]
Agora identificamos a função superior.
Tomando:
\[ x=0, \]
temos:
\[ x+2=2 \]
e:
\[ x^2=0. \]
Logo, a reta:
\[ y=x+2 \]
está acima da parábola:
\[ y=x^2 \]
nesse intervalo.
A área é:
\[ A=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]\,dx. \]
Ou:
\[ A=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x. \]
Logo:
\[ A=[F(x)]_{-1}^{2}. \]
Calculando em \(2\):
\[ F(2)=-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4. \]
Logo:
\[ F(2)=-\frac{8}{3}+2+4=-\frac{8}{3}+6. \]
Como:
\[ 6=\frac{18}{3}, \]
temos:
\[ F(2)=\frac{10}{3}. \]
Calculando em \(-1\):
\[ F(-1)=-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2(-1). \]
Então:
\[ F(-1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2. \]
Com denominador comum \(6\):
\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 = \frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6} = -\frac{7}{6}. \]
Logo:
\[ A=F(2)-F(-1). \]
Assim:
\[ A=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right). \]
Como:
\[ \frac{10}{3}=\frac{20}{6}, \]
obtemos:
\[ A=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}. \]
Portanto, a área é:
\[ \frac{9}{2}. \]
Quando as curvas trocam de posição
Às vezes, as curvas se cruzam dentro de um intervalo dado e trocam de posição.
Nesse caso, não podemos usar uma única expressão:
\[ f(x)-g(x) \]
sem verificar o sinal.
A área entre duas curvas em \([a,b]\) é sempre:
\[ A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. \]
Na prática, calculamos por partes.
Dividimos o intervalo nos pontos onde:
\[ f(x)=g(x). \]
Em cada subintervalo, identificamos qual função está acima.
Exemplo 7: troca de posição em intervalo dado
Calcule a área entre:
\[ y=x \]
e:
\[ y=x^2 \]
no intervalo:
\[ [-1,2]. \]
As interseções são dadas por:
\[ x=x^2. \]
Então:
\[ x(x-1)=0. \]
Logo:
\[ x=0 \]
ou:
\[ x=1. \]
Esses pontos estão dentro do intervalo \([-1,2]\).
Portanto, dividimos:
\[ [-1,0],\quad [0,1],\quad [1,2]. \]
Agora identificamos a função superior em cada parte.
Em \([-1,0]\), testamos:
\[ x=-\frac{1}{2}. \]
Temos:
\[ x=-\frac{1}{2} \]
e:
\[ x^2=\frac{1}{4}. \]
Logo, \(x^2\) está acima de \(x\).
Em \([0,1]\), testamos:
\[ x=\frac{1}{2}. \]
Temos:
\[ x=\frac{1}{2} \]
e:
\[ x^2=\frac{1}{4}. \]
Logo, \(x\) está acima de \(x^2\).
Em \([1,2]\), testamos:
\[ x=\frac{3}{2}. \]
Temos:
\[ x=\frac{3}{2} \]
e:
\[ x^2=\frac{9}{4}. \]
Logo, \(x^2\) está acima de \(x\).
A área total é:
\[ A= \int_{-1}^{0}(x^2-x)\,dx + \int_0^1(x-x^2)\,dx + \int_1^2(x^2-x)\,dx. \]
Vamos calcular cada parte.
Primeira parte:
\[ \int_{-1}^{0}(x^2-x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}. \]
Em \(0\):
\[ 0. \]
Em \(-1\):
\[ \frac{(-1)^3}{3}-\frac{(-1)^2}{2} = -\frac{1}{3}-\frac{1}{2} = -\frac{5}{6}. \]
Logo:
\[ \int_{-1}^{0}(x^2-x)\,dx = 0-\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{6}. \]
Segunda parte:
\[ \int_0^1(x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1. \]
Em \(1\):
\[ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}. \]
Em \(0\):
\[ 0. \]
Logo:
\[ \int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{1}{6}. \]
Terceira parte:
\[ \int_1^2(x^2-x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2. \]
Em \(2\):
\[ \frac{8}{3}-2=\frac{8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3}. \]
Em \(1\):
\[ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}. \]
Logo:
\[ \int_1^2(x^2-x)\,dx = \frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{6}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6}. \]
Portanto:
\[ A=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}. \]
Assim:
\[ A=\frac{11}{6}. \]
A importância do módulo
O exemplo anterior mostra por que a área entre duas curvas é:
\[ A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. \]
A diferença:
\[ f(x)-g(x) \]
pode ser positiva em uma parte do intervalo e negativa em outra.
Mas área geométrica deve ser sempre não negativa.
Por isso, quando há troca de posição, precisamos dividir o intervalo ou usar o valor absoluto.
Interpretação por faixas verticais
A fórmula:
\[ A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx \]
usa faixas verticais.
Cada faixa tem:
- largura \(dx\);
- altura \(f(x)-g(x)\).
Essa abordagem é adequada quando conseguimos descrever a região usando funções de \(x\), isto é, curvas do tipo:
\[ y=f(x). \]
Mas há casos em que é mais conveniente usar faixas horizontais.
Nesse caso, escrevemos as curvas como funções de \(y\).
Faixas horizontais
Se uma região é descrita melhor por funções:
\[ x=R(y) \]
e:
\[ x=L(y), \]
em que \(R(y)\) é a curva da direita e \(L(y)\) é a curva da esquerda, então a área é:
\[ A=\int_c^d [R(y)-L(y)]\,dy. \]
Aqui:
- \(R(y)\) é a função da direita;
- \(L(y)\) é a função da esquerda;
- \(c\) e \(d\) são os limites em \(y\).
Nesta aula, vamos focar principalmente em faixas verticais, mas é bom conhecer a ideia das faixas horizontais.
Exemplo 8: área por faixas horizontais simples
Considere a região entre:
\[ x=y \]
e:
\[ x=y^2 \]
para:
\[ 0\leq y\leq 1. \]
No intervalo \([0,1]\), temos:
\[ y\geq y^2. \]
Como estamos olhando em função de \(y\), a curva da direita é:
\[ x=y, \]
e a curva da esquerda é:
\[ x=y^2. \]
A área é:
\[ A=\int_0^1 (y-y^2)\,dy. \]
Calculando:
\[ A=\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^1. \]
Logo:
\[ A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}. \]
Esse valor coincide com o exemplo entre \(y=x\) e \(y=x^2\), apenas escrito com outra variável.
Escolhendo entre vertical e horizontal
Em problemas de área, pergunte:
É mais fácil expressar as curvas como funções de \(x\) ou como funções de \(y\)?
Se for mais fácil escrever:
\[ y=f(x) \]
e:
\[ y=g(x), \]
use faixas verticais:
\[ A=\int_a^b [\text{superior}-\text{inferior}]\,dx. \]
Se for mais fácil escrever:
\[ x=R(y) \]
e:
\[ x=L(y), \]
use faixas horizontais:
\[ A=\int_c^d [\text{direita}-\text{esquerda}]\,dy. \]
Nesta primeira aula da unidade, o foco principal será o caso vertical.
Exemplo 9: região entre parábola e reta horizontal
Calcule a área limitada por:
\[ y=4 \]
e:
\[ y=x^2. \]
Primeiro encontramos as interseções:
\[ x^2=4. \]
Logo:
\[ x=-2 \]
ou:
\[ x=2. \]
No intervalo \([-2,2]\), a função superior é:
\[ f(x)=4, \]
e a função inferior é:
\[ g(x)=x^2. \]
A área é:
\[ A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx. \]
Como \(4-x^2\) é função par, podemos escrever:
\[ A=2\int_0^2(4-x^2)\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ F(x)=4x-\frac{x^3}{3}. \]
Então:
\[ A=2\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2. \]
Calculando em \(2\):
\[ 4(2)-\frac{2^3}{3}=8-\frac{8}{3}. \]
Como:
\[ 8=\frac{24}{3}, \]
temos:
\[ 8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}. \]
Portanto:
\[ A=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}. \]
Exemplo 10: região entre duas parábolas
Calcule a área entre:
\[ y=4-x^2 \]
e:
\[ y=x^2. \]
Primeiro encontramos os pontos de interseção:
\[ 4-x^2=x^2. \]
Então:
\[ 4=2x^2. \]
Logo:
\[ x^2=2. \]
Assim:
\[ x=-\sqrt{2} \]
ou:
\[ x=\sqrt{2}. \]
Agora identificamos a função superior.
Em \(x=0\):
\[ 4-x^2=4 \]
e:
\[ x^2=0. \]
Logo, a curva superior é:
\[ f(x)=4-x^2, \]
e a inferior é:
\[ g(x)=x^2. \]
A área é:
\[ A=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}[(4-x^2)-x^2]\,dx. \]
Simplificando:
\[ A=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(4-2x^2)\,dx. \]
A função \(4-2x^2\) é par, então:
\[ A=2\int_0^{\sqrt{2}}(4-2x^2)\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ F(x)=4x-\frac{2x^3}{3}. \]
Logo:
\[ A=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}}. \]
Calculando em \(\sqrt{2}\):
\[ 4\sqrt{2}-\frac{2(\sqrt{2})^3}{3}. \]
Como:
\[ (\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}, \]
temos:
\[ 4\sqrt{2}-\frac{2\cdot 2\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}. \]
Com denominador comum \(3\):
\[ 4\sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}}{3}. \]
Logo:
\[ 4\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}. \]
Em \(0\), o valor é \(0\).
Portanto:
\[ A=2\cdot\frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3}. \]
Exemplo 11: intervalo dado sem interseção interna
Calcule a área entre:
\[ y=x^2+3 \]
e:
\[ y=x+3 \]
no intervalo:
\[ [1,2]. \]
Comparamos as funções.
A diferença é:
\[ (x^2+3)-(x+3)=x^2-x. \]
Em \([1,2]\):
\[ x^2-x=x(x-1)\geq 0. \]
Logo:
\[ x^2+3\geq x+3. \]
A função superior é:
\[ f(x)=x^2+3, \]
e a inferior é:
\[ g(x)=x+3. \]
A área é:
\[ A=\int_1^2 [(x^2+3)-(x+3)]\,dx. \]
Simplificando:
\[ A=\int_1^2 (x^2-x)\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}. \]
Então:
\[ A=[F(x)]_1^2. \]
Calculando em \(2\):
\[ F(2)=\frac{8}{3}-2=\frac{8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3}. \]
Calculando em \(1\):
\[ F(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}. \]
Logo:
\[ A=\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{6}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6}. \]
Exemplo 12: intervalo dado com interseção interna
Calcule a área entre:
\[ y=x^2 \]
e:
\[ y=1 \]
no intervalo:
\[ [0,2]. \]
Primeiro encontramos as interseções:
\[ x^2=1. \]
Logo:
\[ x=\pm 1. \]
No intervalo \([0,2]\), a interseção relevante é:
\[ x=1. \]
Agora analisamos a posição relativa.
Em \([0,1]\):
\[ x^2\leq 1. \]
Logo, a função superior é:
\[ 1. \]
Em \([1,2]\):
\[ x^2\geq 1. \]
Logo, a função superior é:
\[ x^2. \]
A área é:
\[ A=\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx. \]
Primeira parte:
\[ \int_0^1(1-x^2)\,dx = \left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1. \]
Calculando:
\[ 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. \]
Segunda parte:
\[ \int_1^2(x^2-1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2. \]
Em \(2\):
\[ \frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}. \]
Em \(1\):
\[ \frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}. \]
Logo:
\[ \int_1^2(x^2-1)\,dx = \frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}. \]
Portanto:
\[ A=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2. \]
Área entre curvas e valor absoluto
O exemplo anterior também poderia ser escrito como:
\[ A=\int_0^2 |x^2-1|\,dx. \]
Mas, para calcular, precisamos remover o valor absoluto dividindo o intervalo nos pontos onde:
\[ x^2-1=0. \]
Ou seja, dividimos no ponto:
\[ x=1. \]
Essa é uma estratégia geral.
Roteiro completo para áreas entre curvas
Para calcular áreas entre curvas, use este roteiro:
- identifique as funções envolvidas;
- se o intervalo não for dado, encontre as interseções resolvendo:
\[ f(x)=g(x); \]
- se o intervalo for dado, verifique se há interseções internas;
- determine qual função está acima em cada subintervalo;
- monte a integral como:
\[ A=\int [\text{superior}-\text{inferior}]\,dx; \]
- se houver troca de posição, divida a integral;
- calcule com o Teorema Fundamental do Cálculo;
- confira se o resultado é positivo.
Erros comuns
Um erro comum é calcular:
\[ \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx \]
sem verificar se \(f\) está acima de \(g\) em todo o intervalo.
Se as funções trocam de posição, essa integral pode gerar cancelamentos e não representar a área geométrica.
Outro erro comum é inverter a ordem:
\[ \text{inferior}-\text{superior}. \]
Isso produz valor negativo.
Também é comum esquecer de encontrar os pontos de interseção quando o intervalo não é dado.
Por fim, é importante lembrar que área geométrica nunca é negativa.
Se o resultado for negativo, a ordem das funções provavelmente foi invertida ou o intervalo precisa ser dividido.
Exemplo final 1
Calcule a área entre:
\[ y=3x \]
e:
\[ y=x \]
em:
\[ [0,2]. \]
Em \([0,2]\):
\[ 3x\geq x. \]
Logo:
\[ A=\int_0^2(3x-x)\,dx. \]
Assim:
\[ A=\int_0^2 2x\,dx. \]
Uma antiderivada é:
\[ x^2. \]
Logo:
\[ A=[x^2]_0^2=4. \]
Exemplo final 2
Calcule a área limitada por:
\[ y=x \]
e:
\[ y=x^2. \]
As interseções são:
\[ x=x^2. \]
Logo:
\[ x(x-1)=0. \]
Assim:
\[ x=0 \]
ou:
\[ x=1. \]
Em \([0,1]\), temos:
\[ x\geq x^2. \]
Então:
\[ A=\int_0^1(x-x^2)\,dx. \]
Calculando:
\[ A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \]
Exemplo final 3
Calcule a área entre:
\[ y=4 \]
e:
\[ y=x^2 \]
em:
\[ [-2,2]. \]
Em \([-2,2]\):
\[ 4\geq x^2. \]
Logo:
\[ A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx. \]
Como a função \(4-x^2\) é par:
\[ A=2\int_0^2(4-x^2)\,dx. \]
Calculando:
\[ A=2\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2. \]
Em \(2\):
\[ 4(2)-\frac{8}{3}=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}. \]
Logo:
\[ A=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}. \]
Exemplo final 4
Calcule a área entre:
\[ y=x^2 \]
e:
\[ y=1 \]
em:
\[ [0,2]. \]
As curvas se cruzam quando:
\[ x^2=1. \]
No intervalo \([0,2]\), isso ocorre em:
\[ x=1. \]
Em \([0,1]\), a função superior é \(1\).
Em \([1,2]\), a função superior é \(x^2\).
Logo:
\[ A=\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx. \]
Já calculamos:
\[ \int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac{2}{3}, \]
e:
\[ \int_1^2(x^2-1)\,dx=\frac{4}{3}. \]
Portanto:
\[ A=2. \]
Síntese da aula
Nesta aula, estudamos o cálculo de áreas entre curvas.
Vimos que, se \(f(x)\geq g(x)\) em \([a,b]\), então a área entre os gráficos de \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) é:
\[ A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx. \]
A ideia central é integrar a diferença entre a função superior e a função inferior.
Quando o intervalo não é dado, encontramos os limites de integração resolvendo:
\[ f(x)=g(x). \]
Esses pontos são as interseções das curvas.
Também vimos que, quando as curvas trocam de posição dentro do intervalo, precisamos dividir a integral nos pontos de interseção.
Nesse caso, a forma geral é:
\[ A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. \]
Na prática, calculamos por partes.
Por fim, vimos que algumas regiões podem ser descritas com faixas verticais ou horizontais. Nesta aula, trabalhamos principalmente com faixas verticais, usando:
\[ \text{superior}-\text{inferior}. \]
Próximo passo
Na próxima aula, estudaremos o valor médio de uma função. Vamos interpretar a integral definida como uma acumulação distribuída ao longo de um intervalo e definir a altura média de uma função em \([a,b]\).