Crescimento e decrescimento

Pergunta disparadora

Como a derivada nos ajuda a descobrir onde uma função está crescendo ou decrescendo sem precisar desenhar seu gráfico completo?

Objetivos da aula

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

relacionar o sinal da derivada com o crescimento e o decrescimento de uma função;
determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada;
interpretar o comportamento de uma função a partir de uma tabela de sinais de \(f'(x)\).

Desenvolvimento

Na unidade anterior, estudamos a derivada como taxa instantânea de variação.

Vimos que, se uma função \(f\) é derivável em um ponto \(x=a\), então \(f'(a)\) representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) nesse ponto.

Agora vamos usar essa ideia para estudar o comportamento das funções.

A pergunta central desta aula é:

Como saber onde uma função cresce e onde ela decresce?

Graficamente, uma função cresce quando seu gráfico sobe da esquerda para a direita. Ela decresce quando seu gráfico desce da esquerda para a direita.

A derivada nos ajuda justamente porque mede a inclinação local do gráfico.

Se a inclinação é positiva, o gráfico tende a subir.

Se a inclinação é negativa, o gráfico tende a descer.

Assim, o sinal da derivada contém informação sobre crescimento e decrescimento.

Função crescente

Dizemos que uma função \(f\) é crescente em um intervalo \(I\) quando, para quaisquer dois pontos \(x_1\) e \(x_2\) de \(I\), com:

\[ x_1<x_2, \]

temos:

\[ f(x_1)\leq f(x_2). \]

Isso significa que, ao aumentar o valor de \(x\), o valor da função não diminui.

Se a desigualdade for estrita, isto é, se:

\[ x_1<x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)<f(x_2), \]

dizemos que \(f\) é estritamente crescente em \(I\).

Por exemplo, a função:

\[ f(x)=x^2 \]

não é crescente em toda a reta real, pois ela diminui em \((-\infty,0)\) e aumenta em \((0,+\infty)\).

Já a função:

\[ g(x)=2x+1 \]

é estritamente crescente em todo \(\mathbb{R}\), pois seu gráfico é uma reta de inclinação positiva.

Função decrescente

Dizemos que uma função \(f\) é decrescente em um intervalo \(I\) quando, para quaisquer dois pontos \(x_1\) e \(x_2\) de \(I\), com:

\[ x_1<x_2, \]

temos:

\[ f(x_1)\geq f(x_2). \]

Isso significa que, ao aumentar \(x\), o valor da função não aumenta.

Se a desigualdade for estrita, isto é, se:

\[ x_1<x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)>f(x_2), \]

dizemos que \(f\) é estritamente decrescente em \(I\).

Por exemplo:

\[ f(x)=-3x+5 \]

é estritamente decrescente em todo \(\mathbb{R}\), pois seu gráfico é uma reta de inclinação negativa.

Crescimento, decrescimento e inclinação

A derivada mede a inclinação da reta tangente.

Se:

\[ f'(x)>0 \]

em um intervalo, então as retas tangentes ao gráfico têm inclinação positiva nesse intervalo.

Isso indica que o gráfico sobe da esquerda para a direita.

Portanto, a função é crescente nesse intervalo.

Se:

\[ f'(x)<0 \]

em um intervalo, então as retas tangentes têm inclinação negativa nesse intervalo.

Isso indica que o gráfico desce da esquerda para a direita.

Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.

Se:

\[ f'(x)=0 \]

em um ponto, a reta tangente é horizontal nesse ponto.

Esse ponto pode ser um máximo, um mínimo, ou apenas um ponto onde a função momentaneamente fica com tangente horizontal.

Critério da primeira derivada para crescimento e decrescimento

Se \(f\) é derivável em um intervalo \(I\), então:

se \(f'(x)>0\) para todo \(x\in I\), então \(f\) é crescente em \(I\);
se \(f'(x)<0\) para todo \(x\in I\), então \(f\) é decrescente em \(I\).

Esse é o principal critério desta aula.

Em linguagem simples:

\[ f'(x)>0 \quad \Longrightarrow \quad f \text{ cresce}, \]

\[ f'(x)<0 \quad \Longrightarrow \quad f \text{ decresce}. \]

Esse critério permite estudar o gráfico de uma função sem desenhá-lo diretamente.

Basta analisar o sinal da derivada.

Exemplo inicial: função quadrática

Considere:

\[ f(x)=x^2. \]

A derivada é:

\[ f'(x)=2x. \]

Agora analisamos o sinal de \(f'(x)\).

Se:

\[ x<0, \]

então:

\[ 2x<0. \]

Logo:

\[ f'(x)<0. \]

Portanto, \(f\) é decrescente em:

\[ (-\infty,0). \]

Se:

\[ x>0, \]

então:

\[ 2x>0. \]

Logo:

\[ f'(x)>0. \]

Portanto, \(f\) é crescente em:

\[ (0,+\infty). \]

Em \(x=0\):

\[ f'(0)=0. \]

A reta tangente é horizontal.

Assim, a função \(x^2\) decresce até \(x=0\) e cresce depois de \(x=0\).

Isso corresponde ao gráfico da parábola, que tem um mínimo em \(x=0\).

Exemplo com função cúbica simples

Considere:

\[ f(x)=x^3. \]

A derivada é:

\[ f'(x)=3x^2. \]

Como:

\[ x^2\geq 0 \]

para todo \(x\), temos:

\[ 3x^2\geq 0. \]

Além disso:

\[ 3x^2>0 \]

para todo:

\[ x\neq 0. \]

Em \(x=0\):

\[ f'(0)=0. \]

Apesar disso, a função \(x^3\) é crescente em toda a reta real.

O ponto \(x=0\) tem tangente horizontal, mas a função não muda de crescente para decrescente.

Esse exemplo mostra que derivada zero em um ponto não significa necessariamente máximo ou mínimo.

Exemplo com função afim

Considere:

\[ f(x)=3x-7. \]

A derivada é:

\[ f'(x)=3. \]

Como:

\[ 3>0, \]

temos:

\[ f'(x)>0 \]

para todo \(x\in\mathbb{R}\).

Logo, \(f\) é crescente em todo \(\mathbb{R}\).

Agora considere:

\[ g(x)=-2x+5. \]

A derivada é:

\[ g'(x)=-2. \]

Como:

\[ -2<0, \]

temos:

\[ g'(x)<0 \]

para todo \(x\in\mathbb{R}\).

Logo, \(g\) é decrescente em todo \(\mathbb{R}\).

Para funções afins, isso coincide com a interpretação conhecida do coeficiente angular da reta.

Pontos críticos

Para estudar crescimento e decrescimento, é importante identificar os pontos onde o sinal da derivada pode mudar.

Chamamos de pontos críticos os pontos do domínio da função onde:

\[ f'(x)=0 \]

ou onde:

\[ f'(x) \]

não existe.

Esses pontos são candidatos a mudanças no comportamento da função.

Eles dividem o domínio em intervalos.

Em cada intervalo, analisamos o sinal de \(f'(x)\).

A partir disso, descobrimos onde a função cresce e onde decresce.

Roteiro para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento

Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, podemos seguir este roteiro:

determine o domínio da função;
calcule a derivada \(f'(x)\);
encontre os pontos críticos, isto é, onde \(f'(x)=0\) ou \(f'(x)\) não existe;
use esses pontos para dividir o domínio em intervalos;
escolha um ponto de teste em cada intervalo;
avalie o sinal de \(f'(x)\) em cada ponto de teste;
conclua onde \(f\) cresce e onde \(f\) decresce.

Esse procedimento é chamado, muitas vezes, de análise do sinal da primeira derivada.

Tabela de sinais da derivada

Uma tabela de sinais é uma forma organizada de estudar o sinal de uma expressão.

Por exemplo, para:

\[ f'(x)=2x, \]

o ponto crítico é:

\[ x=0. \]

A tabela de sinais pode ser representada assim:

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & 0 & (0,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f & \text{decresce} & & \text{cresce} \end{array} \]

Essa tabela nos diz que:

em \((-\infty,0)\), a função decresce;
em \((0,+\infty)\), a função cresce;
em \(x=0\), a derivada é zero.

Para \(f(x)=x^2\), isso corresponde ao comportamento esperado da parábola.

Exemplo completo 1

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x^2-4x+3. \]

Primeiro, calculamos a derivada:

\[ f'(x)=2x-4. \]

Agora encontramos os pontos críticos:

\[ 2x-4=0. \]

Então:

\[ 2x=4. \]

Logo:

\[ x=2. \]

Esse ponto divide a reta em dois intervalos:

\[ (-\infty,2) \]

\[ (2,+\infty). \]

Agora analisamos o sinal de:

\[ f'(x)=2x-4. \]

Se escolhermos \(x=0\), que pertence a \((-\infty,2)\):

\[ f'(0)=2\cdot 0-4=-4<0. \]

Logo, a função decresce em:

\[ (-\infty,2). \]

Se escolhermos \(x=3\), que pertence a \((2,+\infty)\):

\[ f'(3)=2\cdot 3-4=2>0. \]

Logo, a função cresce em:

\[ (2,+\infty). \]

Portanto, \(f\) é decrescente em \((-\infty,2)\) e crescente em \((2,+\infty)\).

O ponto \(x=2\) é o vértice da parábola e corresponde a um mínimo.

Exemplo completo 2

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x^3-3x. \]

Primeiro, calculamos a derivada:

\[ f'(x)=3x^2-3. \]

Fatorando:

\[ f'(x)=3(x^2-1). \]

Como:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]

temos:

\[ f'(x)=3(x-1)(x+1). \]

Agora encontramos os pontos críticos:

\[ 3(x-1)(x+1)=0. \]

Logo:

\[ x=-1 \]

ou:

\[ x=1. \]

Esses pontos dividem a reta em três intervalos:

\[ (-\infty,-1), \]

\[ (-1,1), \]

\[ (1,+\infty). \]

Agora fazemos a tabela de sinais.

Para \(x<-1\), escolha \(x=-2\):

\[ f'(-2)=3((-2)^2-1)=3(4-1)=9>0. \]

Logo, \(f\) cresce em:

\[ (-\infty,-1). \]

Para \(-1<x<1\), escolha \(x=0\):

\[ f'(0)=3(0^2-1)=-3<0. \]

Logo, \(f\) decresce em:

\[ (-1,1). \]

Para \(x>1\), escolha \(x=2\):

\[ f'(2)=3(2^2-1)=3(4-1)=9>0. \]

Logo, \(f\) cresce em:

\[ (1,+\infty). \]

Podemos resumir:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f & \text{cresce} & & \text{decresce} & & \text{cresce} \end{array} \]

Assim, a função cresce, depois decresce, depois cresce novamente.

Interpretação dos sinais

Quando o sinal de \(f'(x)\) muda de positivo para negativo, a função passa de crescente para decrescente.

Isso sugere a presença de um máximo local.

Quando o sinal de \(f'(x)\) muda de negativo para positivo, a função passa de decrescente para crescente.

Isso sugere a presença de um mínimo local.

No exemplo:

\[ f(x)=x^3-3x, \]

vimos que:

em \(x=-1\), \(f'(x)\) muda de positivo para negativo;
em \(x=1\), \(f'(x)\) muda de negativo para positivo.

Assim, \(x=-1\) corresponde a um máximo local e \(x=1\) corresponde a um mínimo local.

Estudaremos máximos e mínimos com mais profundidade na próxima aula.

Nesta aula, o foco é reconhecer crescimento e decrescimento a partir do sinal da derivada.

Exemplo completo 3

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x^4-4x^2. \]

Primeiro, calculamos a derivada:

\[ f'(x)=4x^3-8x. \]

Fatorando:

\[ f'(x)=4x(x^2-2). \]

Os pontos críticos são obtidos de:

\[ 4x(x^2-2)=0. \]

Logo:

\[ x=0 \]

ou:

\[ x^2-2=0. \]

Assim:

\[ x=\pm\sqrt{2}. \]

Os pontos críticos são:

\[ -\sqrt{2}, \quad 0, \quad \sqrt{2}. \]

Eles dividem a reta em quatro intervalos:

\[ (-\infty,-\sqrt{2}), \]

\[ (-\sqrt{2},0), \]

\[ (0,\sqrt{2}), \]

\[ (\sqrt{2},+\infty). \]

Agora analisamos o sinal de:

\[ f'(x)=4x(x^2-2). \]

Para \(x<-\sqrt{2}\), escolha \(x=-2\):

\[ 4x<0 \]

\[ x^2-2>0. \]

Logo:

\[ f'(x)<0. \]

A função decresce em:

\[ (-\infty,-\sqrt{2}). \]

Para \(-\sqrt{2}<x<0\), escolha \(x=-1\):

\[ 4x<0 \]

\[ x^2-2<0. \]

Produto de dois negativos é positivo, então:

\[ f'(x)>0. \]

A função cresce em:

\[ (-\sqrt{2},0). \]

Para \(0<x<\sqrt{2}\), escolha \(x=1\):

\[ 4x>0 \]

\[ x^2-2<0. \]

Logo:

\[ f'(x)<0. \]

A função decresce em:

\[ (0,\sqrt{2}). \]

Para \(x>\sqrt{2}\), escolha \(x=2\):

\[ 4x>0 \]

\[ x^2-2>0. \]

Logo:

\[ f'(x)>0. \]

A função cresce em:

\[ (\sqrt{2},+\infty). \]

Podemos resumir:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2},0) & 0 & (0,\sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2},+\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f & \text{decresce} & & \text{cresce} & & \text{decresce} & & \text{cresce} \end{array} \]

Funções com derivada nunca nula

Algumas funções têm derivada sempre positiva ou sempre negativa.

Por exemplo:

\[ f(x)=e^x. \]

A derivada é:

\[ f'(x)=e^x. \]

Como:

\[ e^x>0 \]

para todo \(x\in\mathbb{R}\), temos:

\[ f'(x)>0 \]

em toda a reta real.

Logo:

\[ e^x \]

é crescente em todo \(\mathbb{R}\).

Agora considere:

\[ g(x)=e^{-x}. \]

A derivada é:

\[ g'(x)=-e^{-x}. \]

Como:

\[ e^{-x}>0 \]

para todo \(x\), temos:

\[ g'(x)<0. \]

Logo:

\[ e^{-x} \]

é decrescente em todo \(\mathbb{R}\).

Exemplo com logaritmo

Considere:

\[ f(x)=\ln x. \]

O domínio é:

\[ (0,+\infty). \]

A derivada é:

\[ f'(x)=\frac{1}{x}. \]

Como:

\[ x>0 \]

no domínio da função, temos:

\[ \frac{1}{x}>0. \]

Portanto:

\[ f'(x)>0 \]

em todo o domínio.

Logo, \(\ln x\) é crescente em:

\[ (0,+\infty). \]

Isso confirma o comportamento conhecido do logaritmo natural: ele cresce, mas cada vez mais lentamente.

A derivada positiva indica crescimento; o fato de ela diminuir em valor está relacionado a outro conceito, a concavidade, que estudaremos adiante.

Exemplo com função racional

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

O domínio é:

\[ (-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]

A derivada é:

\[ f'(x)=-\frac{1}{x^2}. \]

Como:

\[ x^2>0 \]

para todo \(x\neq 0\), temos:

\[ -\frac{1}{x^2}<0 \]

em todo o domínio.

Logo, \(f\) é decrescente em cada intervalo de seu domínio:

\[ (-\infty,0) \]

\[ (0,+\infty). \]

É importante não dizer simplesmente que \(f\) é decrescente em todo:

\[ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) \]

como se fosse um único intervalo contínuo.

O domínio é separado em dois intervalos, pois a função não está definida em \(x=0\).

Cuidado com domínios interrompidos

Quando o domínio da função tem interrupções, devemos analisar crescimento e decrescimento em cada intervalo do domínio.

Por exemplo:

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

tem derivada negativa para todo \(x\neq 0\).

Mas isso não significa que a função seja decrescente no conjunto inteiro:

\[ (-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]

De fato, escolha:

\[ x_1=-1 \]

\[ x_2=1. \]

Temos:

\[ x_1<x_2, \]

mas:

\[ f(-1)=-1 \]

\[ f(1)=1. \]

Como:

\[ -1<1, \]

a função não satisfaz a condição de decrescimento no conjunto inteiro.

Por isso, falamos em decrescimento em cada intervalo do domínio:

\[ (-\infty,0) \]

\[ (0,+\infty). \]

Exemplo completo 4

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]

Primeiro, o domínio é:

\[ \mathbb{R}, \]

pois:

\[ x^2+1>0 \]

para todo \(x\).

Agora calculamos a derivada usando a regra do quociente.

Se:

\[ u(x)=x \]

\[ v(x)=x^2+1, \]

então:

\[ u'(x)=1 \]

\[ v'(x)=2x. \]

Logo:

\[ f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}. \]

Simplificando o numerador:

\[ x^2+1-2x^2=1-x^2. \]

Então:

\[ f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. \]

Como o denominador é sempre positivo, o sinal de \(f'(x)\) depende apenas do numerador:

\[ 1-x^2. \]

Agora resolvemos:

\[ 1-x^2=0. \]

Logo:

\[ x^2=1, \]

portanto:

\[ x=-1 \]

ou:

\[ x=1. \]

Esses pontos dividem a reta em:

\[ (-\infty,-1), \]

\[ (-1,1), \]

\[ (1,+\infty). \]

Analisamos o sinal de \(1-x^2\).

Se \(x<-1\), por exemplo \(x=-2\):

\[ 1-x^2=1-4=-3<0. \]

Logo, \(f'(x)<0\), e \(f\) decresce em:

\[ (-\infty,-1). \]

Se \(-1<x<1\), por exemplo \(x=0\):

\[ 1-x^2=1>0. \]

Logo, \(f'(x)>0\), e \(f\) cresce em:

\[ (-1,1). \]

Se \(x>1\), por exemplo \(x=2\):

\[ 1-x^2=1-4=-3<0. \]

Logo, \(f'(x)<0\), e \(f\) decresce em:

\[ (1,+\infty). \]

Portanto:

\(f\) decresce em \((-\infty,-1)\);
\(f\) cresce em \((-1,1)\);
\(f\) decresce em \((1,+\infty)\).

Exemplo completo 5

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x+\frac{1}{x}. \]

O domínio é:

\[ (-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]

A derivada é:

\[ f'(x)=1-\frac{1}{x^2}. \]

Podemos escrever:

\[ f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}. \]

Como:

\[ x^2>0 \]

para todo \(x\neq 0\), o sinal de \(f'(x)\) depende de:

\[ x^2-1. \]

Fatorando:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]

Os pontos críticos são:

\[ x=-1 \]

\[ x=1. \]

Além disso, \(x=0\) não pertence ao domínio.

Então dividimos a reta considerando os pontos:

\[ -1,\quad 0,\quad 1. \]

Os intervalos do domínio são:

\[ (-\infty,-1), \]

\[ (-1,0), \]

\[ (0,1), \]

\[ (1,+\infty). \]

Agora analisamos o sinal.

Se \(x<-1\), por exemplo \(x=-2\):

\[ x^2-1=4-1=3>0. \]

Logo, \(f'(x)>0\), e \(f\) cresce em:

\[ (-\infty,-1). \]

Se \(-1<x<0\), por exemplo \(x=-\frac{1}{2}\):

\[ x^2-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}<0. \]

Logo, \(f'(x)<0\), e \(f\) decresce em:

\[ (-1,0). \]

Se \(0<x<1\), por exemplo \(x=\frac{1}{2}\):

\[ x^2-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}<0. \]

Logo, \(f'(x)<0\), e \(f\) decresce em:

\[ (0,1). \]

Se \(x>1\), por exemplo \(x=2\):

\[ x^2-1=4-1=3>0. \]

Logo, \(f'(x)>0\), e \(f\) cresce em:

\[ (1,+\infty). \]

Portanto, a função cresce em:

\[ (-\infty,-1) \]

e em:

\[ (1,+\infty), \]

e decresce em:

\[ (-1,0) \]

e em:

\[ (0,1). \]

Funções trigonométricas

Também podemos estudar crescimento e decrescimento de funções trigonométricas.

Considere:

\[ f(x)=\sin x. \]

A derivada é:

\[ f'(x)=\cos x. \]

A função seno cresce onde:

\[ \cos x>0, \]

e decresce onde:

\[ \cos x<0. \]

Sabemos que:

\[ \cos x>0 \]

nos intervalos:

\[ \left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \]

Logo, \(\sin x\) cresce nesses intervalos.

Também:

\[ \cos x<0 \]

nos intervalos:

\[ \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \]

Logo, \(\sin x\) decresce nesses intervalos.

Isso corresponde ao comportamento periódico do gráfico do seno.

Exemplo com cosseno

Considere:

\[ f(x)=\cos x. \]

A derivada é:

\[ f'(x)=-\sin x. \]

A função cresce onde:

\[ -\sin x>0. \]

Isso equivale a:

\[ \sin x<0. \]

A função decresce onde:

\[ -\sin x<0. \]

Isso equivale a:

\[ \sin x>0. \]

Assim, \(\cos x\) cresce nos intervalos onde o seno é negativo e decresce onde o seno é positivo.

Por exemplo, em um período:

em \((0,\pi)\), temos \(\sin x>0\), então \(\cos x\) decresce;
em \((\pi,2\pi)\), temos \(\sin x<0\), então \(\cos x\) cresce.

Isso corresponde ao gráfico conhecido do cosseno.

Derivada zero em um intervalo

Se:

\[ f'(x)=0 \]

para todo \(x\) em um intervalo \(I\), então a função é constante nesse intervalo.

Por exemplo:

\[ f(x)=5 \]

tem derivada:

\[ f'(x)=0 \]

para todo \(x\).

Mas também pode acontecer de uma função ter derivada zero em alguns pontos isolados sem ser constante.

Por exemplo:

\[ f(x)=x^3 \]

tem:

\[ f'(x)=3x^2. \]

A derivada é zero em:

\[ x=0. \]

Mas a função não é constante.

Portanto, derivada zero em um intervalo implica função constante nesse intervalo. Derivada zero em um ponto isolado apenas indica tangente horizontal naquele ponto.

Tangente horizontal e mudança de comportamento

Um ponto onde:

\[ f'(x)=0 \]

é um candidato a mudança de crescimento para decrescimento ou de decrescimento para crescimento.

Mas nem sempre há mudança.

Considere:

\[ f(x)=x^2. \]

Temos:

\[ f'(x)=2x. \]

A derivada muda de negativa para positiva em \(x=0\).

A função passa de decrescente para crescente. Há um mínimo local.

Agora considere:

\[ g(x)=x^3. \]

Temos:

\[ g'(x)=3x^2. \]

A derivada é zero em \(x=0\), mas é positiva nos dois lados.

A função cresce antes e depois de \(0\).

Logo, não há máximo nem mínimo.

Esse exemplo mostra que precisamos analisar o sinal da derivada nos intervalos, não apenas resolver \(f'(x)=0\).

Exemplo completo 6

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x^3-6x^2+9x+1. \]

Primeiro, calculamos a derivada:

\[ f'(x)=3x^2-12x+9. \]

Fatoramos:

\[ f'(x)=3(x^2-4x+3). \]

Agora:

\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]

Logo:

\[ f'(x)=3(x-1)(x-3). \]

Os pontos críticos são:

\[ x=1 \]

\[ x=3. \]

Eles dividem a reta em:

\[ (-\infty,1), \]

\[ (1,3), \]

\[ (3,+\infty). \]

Analisamos os sinais.

Para \(x<1\), escolha \(x=0\):

\[ f'(0)=3(-1)(-3)=9>0. \]

Logo, \(f\) cresce em:

\[ (-\infty,1). \]

Para \(1<x<3\), escolha \(x=2\):

\[ f'(2)=3(1)(-1)=-3<0. \]

Logo, \(f\) decresce em:

\[ (1,3). \]

Para \(x>3\), escolha \(x=4\):

\[ f'(4)=3(3)(1)=9>0. \]

Logo, \(f\) cresce em:

\[ (3,+\infty). \]

Assim, \(f\) cresce em \((-\infty,1)\), decresce em \((1,3)\) e cresce em \((3,+\infty)\).

Exemplo completo 7

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x^4-4x^3. \]

Primeiro, derivamos:

\[ f'(x)=4x^3-12x^2. \]

Fatorando:

\[ f'(x)=4x^2(x-3). \]

Os pontos críticos são obtidos por:

\[ 4x^2(x-3)=0. \]

Logo:

\[ x=0 \]

ou:

\[ x=3. \]

Os intervalos são:

\[ (-\infty,0), \]

\[ (0,3), \]

\[ (3,+\infty). \]

Agora analisamos o sinal de:

\[ f'(x)=4x^2(x-3). \]

Observe que:

\[ 4x^2\geq 0 \]

e é positivo para:

\[ x\neq 0. \]

Logo, fora de \(x=0\), o sinal de \(f'(x)\) depende de:

\[ x-3. \]

Para \(x<0\), por exemplo \(x=-1\):

\[ x-3<0. \]

Logo:

\[ f'(x)<0. \]

A função decresce em:

\[ (-\infty,0). \]

Para \(0<x<3\), por exemplo \(x=1\):

\[ x-3<0. \]

Logo:

\[ f'(x)<0. \]

A função decresce em:

\[ (0,3). \]

Para \(x>3\), por exemplo \(x=4\):

\[ x-3>0. \]

Logo:

\[ f'(x)>0. \]

A função cresce em:

\[ (3,+\infty). \]

Note que em \(x=0\) a derivada é zero, mas o sinal não muda. A função continua decrescendo antes e depois de \(0\).

Já em \(x=3\), a derivada muda de negativa para positiva. Ali ocorre uma mudança de decrescimento para crescimento.

Exemplo completo 8

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=\ln(x^2+1). \]

O domínio é:

\[ \mathbb{R}, \]

pois:

\[ x^2+1>0 \]

para todo \(x\).

Agora derivamos usando a regra da cadeia:

\[ f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}. \]

Como:

\[ x^2+1>0 \]

para todo \(x\), o sinal de \(f'(x)\) depende apenas do numerador:

\[ 2x. \]

Então:

se \(x<0\), temos \(f'(x)<0\);
se \(x>0\), temos \(f'(x)>0\);
se \(x=0\), temos \(f'(0)=0\).

Logo, \(f\) decresce em:

\[ (-\infty,0) \]

e cresce em:

\[ (0,+\infty). \]

Portanto, \(x=0\) é um ponto onde a função muda de decrescente para crescente.

Exemplo completo 9

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=xe^{-x}. \]

O domínio é:

\[ \mathbb{R}. \]

Usamos a regra do produto.

Se:

\[ u(x)=x \]

\[ v(x)=e^{-x}, \]

então:

\[ u'(x)=1. \]

Agora:

\[ v'(x)=-e^{-x}. \]

Logo:

\[ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x(-e^{-x}). \]

Assim:

\[ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}. \]

Colocando \(e^{-x}\) em evidência:

\[ f'(x)=e^{-x}(1-x). \]

Como:

\[ e^{-x}>0 \]

para todo \(x\), o sinal de \(f'(x)\) depende apenas de:

\[ 1-x. \]

Então:

\[ 1-x>0 \]

quando:

\[ x<1. \]

\[ 1-x<0 \]

quando:

\[ x>1. \]

Logo, \(f\) cresce em:

\[ (-\infty,1) \]

e decresce em:

\[ (1,+\infty). \]

Em \(x=1\), a derivada é zero.

Exemplo completo 10

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=x-\ln x. \]

O domínio é:

\[ (0,+\infty). \]

A derivada é:

\[ f'(x)=1-\frac{1}{x}. \]

Podemos escrever:

\[ f'(x)=\frac{x-1}{x}. \]

Como estamos no domínio:

\[ x>0, \]

o denominador é positivo.

Logo, o sinal de \(f'(x)\) depende de:

\[ x-1. \]

Temos:

se \(0<x<1\), então \(x-1<0\), logo \(f'(x)<0\);
se \(x>1\), então \(x-1>0\), logo \(f'(x)>0\).

Portanto, \(f\) decresce em:

\[ (0,1) \]

e cresce em:

\[ (1,+\infty). \]

Em \(x=1\), a derivada é zero.

Interpretação gráfica

Depois de encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, já temos uma boa ideia do formato geral do gráfico.

Se uma função cresce em um intervalo, o gráfico sobe da esquerda para a direita nesse intervalo.

Se decresce, o gráfico desce.

Se passa de crescente para decrescente, temos um candidato a máximo local.

Se passa de decrescente para crescente, temos um candidato a mínimo local.

Assim, a derivada nos fornece um primeiro mapa do comportamento da função.

Esse mapa será ampliado nas próximas aulas com o estudo de máximos, mínimos, concavidade e esboço de gráficos.

Relação com taxa instantânea de variação

Como a derivada é uma taxa instantânea de variação, o sinal da derivada tem interpretação direta.

Se:

\[ f'(x)>0, \]

a taxa instantânea de variação é positiva.

Isso significa que, naquele ponto, a função está aumentando.

Se:

\[ f'(x)<0, \]

a taxa instantânea de variação é negativa.

Isso significa que, naquele ponto, a função está diminuindo.

Se:

\[ f'(x)=0, \]

a taxa instantânea de variação é zero.

Isso significa que, naquele ponto, a função tem tangente horizontal.

Em modelos, essa interpretação é muito importante.

Por exemplo, se \(P(t)\) é uma população, então:

\(P'(t)>0\) indica crescimento populacional;
\(P'(t)<0\) indica queda populacional;
\(P'(t)=0\) indica taxa instantânea nula naquele instante.

Aplicação em movimento

Se \(s(t)\) representa a posição de uma partícula em uma reta, então:

\[ s'(t)=v(t) \]

é a velocidade.

Se:

\[ v(t)>0, \]

a posição está aumentando. A partícula se move no sentido positivo da reta.

Se:

\[ v(t)<0, \]

a posição está diminuindo. A partícula se move no sentido negativo.

Se:

\[ v(t)=0, \]

a partícula está instantaneamente em repouso.

Portanto, crescimento e decrescimento de \(s(t)\) correspondem ao sinal da velocidade.

Exemplo aplicado em movimento

Considere:

\[ s(t)=t^3-6t^2+9t, \]

para \(t\geq 0\).

A velocidade é:

\[ v(t)=s'(t). \]

Calculando:

\[ v(t)=3t^2-12t+9. \]

Fatorando:

\[ v(t)=3(t^2-4t+3). \]

Como:

\[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3), \]

temos:

\[ v(t)=3(t-1)(t-3). \]

Os pontos críticos são:

\[ t=1 \]

\[ t=3. \]

Como o domínio físico é:

\[ t\geq 0, \]

analisamos os intervalos:

\[ [0,1), \]

\[ (1,3), \]

\[ (3,+\infty). \]

Para \(0<t<1\), escolha \(t=0,5\):

\[ (t-1)<0 \]

\[ (t-3)<0. \]

O produto é positivo, então:

\[ v(t)>0. \]

A posição cresce.

Para \(1<t<3\), escolha \(t=2\):

\[ (t-1)>0 \]

\[ (t-3)<0. \]

O produto é negativo, então:

\[ v(t)<0. \]

A posição decresce.

Para \(t>3\), escolha \(t=4\):

\[ (t-1)>0 \]

\[ (t-3)>0. \]

O produto é positivo, então:

\[ v(t)>0. \]

A posição cresce novamente.

Isso significa que a partícula se move no sentido positivo, depois no sentido negativo, e depois volta a se mover no sentido positivo.

Aplicação em economia

Se \(L(q)\) representa o lucro em função da quantidade produzida \(q\), então:

\[ L'(q) \]

representa a taxa marginal de variação do lucro.

Se:

\[ L'(q)>0, \]

o lucro aumenta quando a produção cresce um pouco.

Se:

\[ L'(q)<0, \]

o lucro diminui quando a produção cresce um pouco.

Se:

\[ L'(q)=0, \]

temos um candidato a quantidade ótima, dependendo da mudança de sinal.

Por exemplo, suponha:

\[ L(q)=-q^2+20q-50. \]

A derivada é:

\[ L'(q)=-2q+20. \]

Resolvendo:

\[ -2q+20=0, \]

temos:

\[ q=10. \]

Se \(q<10\), então:

\[ L'(q)>0. \]

O lucro cresce.

Se \(q>10\), então:

\[ L'(q)<0. \]

O lucro decresce.

Logo, o lucro cresce até \(q=10\) e depois decresce.

Assim, \(q=10\) é candidato a ponto de lucro máximo.

Aplicação em crescimento populacional

Suponha que a população seja modelada por:

\[ P(t)=t^3-12t^2+36t+100, \]

em determinado intervalo de tempo.

A taxa instantânea de crescimento é:

\[ P'(t)=3t^2-24t+36. \]

Fatorando:

\[ P'(t)=3(t^2-8t+12). \]

Como:

\[ t^2-8t+12=(t-2)(t-6), \]

temos:

\[ P'(t)=3(t-2)(t-6). \]

Os pontos críticos são:

\[ t=2 \]

\[ t=6. \]

A população cresce onde:

\[ P'(t)>0 \]

e decresce onde:

\[ P'(t)<0. \]

Analisando sinais:

para \(t<2\), \(P'(t)>0\);
para \(2<t<6\), \(P'(t)<0\);
para \(t>6\), \(P'(t)>0\).

Assim, o modelo indica crescimento, depois queda, depois crescimento novamente.

Dependendo do contexto, isso pode representar mudanças de regime, sazonalidade ou limitações do modelo.

Cuidado com interpretação global

Saber que a derivada é positiva em um ponto indica crescimento local, mas para concluir crescimento em um intervalo precisamos analisar o sinal da derivada no intervalo inteiro.

Por exemplo, se:

\[ f'(2)>0, \]

isso diz que a função está crescendo localmente perto de \(x=2\).

Mas não diz, por si só, que a função cresce em todo um intervalo grande.

Para afirmar que \(f\) é crescente em um intervalo \(I\), precisamos saber que:

\[ f'(x)>0 \]

para todo, ou pelo menos de forma apropriada, em todo \(x\in I\).

Essa distinção é importante.

Crescimento estrito e derivada positiva

Se:

\[ f'(x)>0 \]

para todo \(x\) em um intervalo \(I\), então \(f\) é estritamente crescente em \(I\).

Se:

\[ f'(x)<0 \]

para todo \(x\) em um intervalo \(I\), então \(f\) é estritamente decrescente em \(I\).

Mas há funções estritamente crescentes cuja derivada pode ser zero em alguns pontos isolados.

Por exemplo:

\[ f(x)=x^3 \]

é estritamente crescente em todo \(\mathbb{R}\), mas:

\[ f'(0)=0. \]

Por isso, derivada positiva em todo o intervalo é uma condição suficiente para crescimento estrito, mas não é a única situação possível.

Exemplo de derivada não definida

Considere:

\[ f(x)=|x|. \]

A função não é derivável em \(x=0\).

Para \(x<0\):

\[ f(x)=-x, \]

logo:

\[ f'(x)=-1. \]

Para \(x>0\):

\[ f(x)=x, \]

logo:

\[ f'(x)=1. \]

Assim, a função decresce em:

\[ (-\infty,0) \]

e cresce em:

\[ (0,+\infty). \]

No ponto \(x=0\), a derivada não existe.

Mesmo assim, conseguimos estudar crescimento e decrescimento analisando os intervalos onde a função é derivável.

O ponto \(x=0\) é um ponto crítico porque a derivada não existe ali, embora a função esteja definida.

Exemplo com valor absoluto deslocado

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de:

\[ f(x)=|x-2|. \]

A função tem uma ponta em:

\[ x=2. \]

Para \(x<2\):

\[ |x-2|=-(x-2)=2-x. \]

Logo:

\[ f'(x)=-1. \]

Portanto, a função decresce em:

\[ (-\infty,2). \]

Para \(x>2\):

\[ |x-2|=x-2. \]

Logo:

\[ f'(x)=1. \]

Portanto, a função cresce em:

\[ (2,+\infty). \]

Em \(x=2\), a função não é derivável.

Assim, o gráfico desce até \(x=2\) e depois sobe.

Esse ponto é um mínimo, embora a derivada não exista ali.

Roteiro final da aula

Para estudar crescimento e decrescimento:

determine o domínio de \(f\);
calcule \(f'(x)\);
encontre pontos onde \(f'(x)=0\);
encontre pontos onde \(f'(x)\) não existe, mas \(f\) existe;
inclua pontos onde o domínio se interrompe;
divida o domínio em intervalos;
analise o sinal de \(f'(x)\) em cada intervalo;
conclua:
- \(f'(x)>0\): função crescente;
- \(f'(x)<0\): função decrescente;
- \(f'(x)=0\) em ponto isolado: tangente horizontal, mas não conclusão automática.

Esse roteiro será reutilizado nas próximas aulas, especialmente no estudo de máximos e mínimos.

Erros comuns

Um erro comum é achar que basta resolver:

\[ f'(x)=0 \]

para conhecer todo o comportamento da função.

Na verdade, depois de encontrar os pontos críticos, é necessário analisar o sinal de \(f'(x)\) nos intervalos.

Outro erro é esquecer os pontos onde a derivada não existe.

Funções como:

\[ |x| \]

podem ter máximos ou mínimos em pontos onde a derivada não existe.

Outro erro é ignorar o domínio da função.

Por exemplo, em funções racionais ou logarítmicas, o domínio pode ter interrupções. Essas interrupções devem aparecer na análise.

Também é comum confundir derivada zero com função constante.

Derivada zero em um ponto significa tangente horizontal naquele ponto.

Derivada zero em todo um intervalo significa função constante nesse intervalo.

Por que crescimento e decrescimento são importantes?

O estudo de crescimento e decrescimento é uma das principais aplicações da derivada.

Ele permite entender o comportamento de uma função sem depender apenas do gráfico.

Com a derivada, podemos determinar:

onde uma função aumenta;
onde uma função diminui;
onde podem ocorrer máximos e mínimos;
como uma grandeza evolui ao longo do tempo;
quando uma taxa de variação muda de sinal;
como interpretar modelos de movimento, custo, lucro e crescimento.

Nesta aula, usamos a primeira derivada para construir um primeiro mapa do comportamento da função.

Nas próximas aulas, esse mapa será ampliado com máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e esboço de gráficos.

Síntese da aula

Nesta aula, estudamos a relação entre derivada, crescimento e decrescimento.

Vimos que, se \(f'(x)>0\) em um intervalo, então \(f\) é crescente nesse intervalo. Se \(f'(x)<0\), então \(f\) é decrescente.

Aprendemos a encontrar pontos críticos, isto é, pontos onde \(f'(x)=0\) ou onde a derivada não existe, e a usar esses pontos para dividir o domínio em intervalos.

Estudamos tabelas de sinais da derivada e vimos como elas indicam o comportamento da função.

Também analisamos exemplos com funções polinomiais, racionais, logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e funções com valor absoluto.

Por fim, vimos que derivada zero em um ponto não garante máximo ou mínimo: é necessário observar a mudança de sinal da derivada.

Próximo passo

Na próxima aula, estudaremos máximos e mínimos locais. Vamos usar as mudanças de sinal da primeira derivada para identificar pontos onde uma função atinge valores maiores ou menores em relação aos pontos próximos.